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知识点一 空间向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
梳理 (1)如果三个向量a，b，c共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量．
(3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的起点．
知识点二 空间向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．
梳理：(1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)．
(2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.
考点一
基底的判断
例1：（2021·河南）设,,，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③}，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】如图所示，令，，则，，，，
.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量也不共面，同理和也不共面，而共面，故选：C.
考点二
用基底表示向量
例2：（2021·湖北十堰市）如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，记点E为BC的中点，连接AE，OE，所以，
又G是的重心，则，所以.
因为，所以
.
考点三 应用空间向量坐标表示解题
例3：（2020·黑龙江高二期末（理））是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意向量，设向量在基底下的坐标为
，
，所以向量在基底下的坐标为，故选A．
考点四
空间向量在几何中运用
例4：（2021·常德市）三棱柱中，，分别是，上的点，且，.若，，，则的长为________.
【答案】
【解析】
如图设，，，所以
，
因为,
所以，故答案为：
一、选择题
1.（2021·陕西渭南市）若、、为空间的一个基底，则下列选项中，能构成基底的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【解析】A中，，不可为基底；
B中，，不可为基底；
D中，，不可为基底，故选：C
2.（2020·全国单元测试）设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（
）
A．7
B．
C．23
D．11
【答案】B
【解析】因为为空间的一个标准正交基底，所以，
所以．
故选：B.
3.（2020·湖北省高二期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则它在下的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设向量，，；则向量，，
又向量，
不妨设，则，
即，解得，所以向量在下的坐标为．故选：．
4.在四面体O-ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,
)=-2),-2).
因为=3=3(),所以OG=OG1.
则)=.
5．（2020·上海市七宝中学高三其他）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设正方体内切球的球心为，则，
，
为球的直径，，，，
又在正方体表面上移动，
当为正方体顶点时，最大，最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小，最小值为，
，即的取值范围为.故选：.
6．（2020·全国单元测试）棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】由，
根据空间向量基本定理知，与，，共面.
则的最小值为三棱锥的高，，设为在面上的射影，
由条件可得三棱锥为正三棱锥.
连接并延长交于点,则,所以,
,所以
故选：A．
7．（2021·全国高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（
）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】∵，，∴
，又，，
∴
．
故选：B．
二、多选题
1．（2021·河北邢台市·高二开学考试）下列命题中，正确的命题有（
）
A．是共线的充要条件
B．若则存在唯一的实数，使得
C．对空间中任意一点和不共线的三点若，则四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
【答案】CD
【解析】对于当时，共线成立，但当同向共线时
所以是共线的充分不必要条件，故不正确
对于B，当时，，不存在唯一的实数使得，故不正确
对于C，由于，而，根据共面向量定理知四点共面，故正确
对于D，若为空间的一个基底，则不共面，由基底的定义可知，不共面，则构成空间的另一个基底，故正确.故选：CD
2．（2021·江苏南通市·高二期末）设构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（
）
A．存在不全为零的实数，，，使得
B．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得
C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有
D．存在另一个基底，使得
【答案】BCD
【解析】A选项，假设存在不全为零的实数，，，使得，不妨令，
则，此时，，共面，不能构成空间的一个基底，与题意矛盾，故A错；
B选项，根据空间向量基本定理可得，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，
使得，即B正确；
C选项，因为，，而不能由，表示出，即向量，，不共面，因此，，可以构成一组基底，即C正确；
D选项，若与都是构成空间的基底，如果，若，，，则，
即与是不同的基底，故D正确．
故选：BCD.
3．（2021·广东广州市·高二期末）（多选）在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】分别是的中点，，
故A正确；
，，，，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.故选：ABD.
4.在正方体中，点为的中点，则与直线不垂直的有（
）
【答案】
【解析】，，
，所以
，所以与不垂直的有.
5.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法正确的是（
）
向量与的夹角是
与所成角的余弦值为
【答案】.
【解析】因为以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，
所以，
，则，所以正确；
，所以正确；显然为等边三角形，则.因为，且向量与的夹角是，所以与的夹角是，所以不正确；因为，
所以，
，
所以，所以不正确，故答案选.
三、填空题
1.（2020·全国课时练习）若，则直线与平面的位置关系为____．
【答案】平面或平面
【解析】由及共面向量定理,可知：向量与向量、共面
即直线可能在平面内，也可能和平面平行。
故答案为：平面或平面
2．（2020·全国单元测试）已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则________.________.
【答案】3
【解析】设，则由题意得：,,
故答案为：3；
3.（2020浙江杭州学军中学高二上期中）棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的大小是____________，线段的长度为________________.
【答案】；.
【解析】设，则是空间的一个基底，
，，
，
，，
异面直线与所成的夹角为.
四、解答题
1．（2020·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，
设．
（1）试用表示出向量；
（2）求的长．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）∵是PC的中点，
∴
（2）
.
2．（2021·浙江高二单元测试）已知、、、、、、、、为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证：
（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】由，
由共面向量的基本定理可得：为共面向量且有公共点
为共面向量且有公共点.
所以、、C、四点共面，、、、四点共面．
（2）因为，，
∵
，∵，又∵，∴．
所以
3．（2021·广西）如图，在直三棱柱'中，，，，分别为，
的中点.
（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】设，，，根据题意得，且
∴，.∴，
∴，即.
（2）∵，∴，，
∵，∴.
∴异面直线与所成角的余弦值为.
4.（2021·云南）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，
（1）用表示；
（2）求对角线的长；
（3）求
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）连接，如图：因为，，
在，根据向量减法法则可得：
因为底面是平行四边形,故,
因为
且,
,
又为线段中点,
,
在中,
（2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是,故,
,,
由（1）可知,故平行四边形中,故：
.故
（3）因为，
又
5.（2021辽宁大连高二上检测）如图，在直三棱柱中，，点在棱上，分别为的中点，与相交于点.
求证：平面；
求证：平面平面；
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1），
因为，所以,
（2）连接
，所以，，所以，
又.
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知识点一 空间向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
梳理 (1)如果三个向量a，b，c共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量．
(3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的起点．
知识点二 空间向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．
梳理：(1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)．
(2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.
考点一
基底的判断
例1：（2021·河南）设,,，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③}，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
考点二
用基底表示向量
例2：（2021·湖北十堰市）如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
考点三 应用空间向量坐标表示解题
例3：（2020·黑龙江高二期末（理））是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
考点四
空间向量在几何中运用
例4：（2021·常德市）三棱柱中，，分别是，上的点，且，.若，，，则的长为________.
一、选择题
1.（2021·陕西渭南市）若、、为空间的一个基底，则下列选项中，能构成基底的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
2.（2020·全国单元测试）设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（
）
A．7
B．
C．23
D．11
3.（2020·湖北省高二期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则它在下的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
4.在四面体O-ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为( )
A.
B.
C.
D.
5．（2020·上海市七宝中学高三其他）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·全国单元测试）棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．1
7．（2021·全国高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（
）
A．1
B．
C．2
D．
二、多选题
1．（2021·河北邢台市·高二开学考试）下列命题中，正确的命题有（
）
A．是共线的充要条件
B．若则存在唯一的实数，使得
C．对空间中任意一点和不共线的三点若，则四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
2．（2021·江苏南通市·高二期末）设构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（
）
A．存在不全为零的实数，，，使得
B．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得
C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有
D．存在另一个基底，使得
3．（2021·广东广州市·高二期末）在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
4.在正方体中，点为的中点，则与直线不垂直的有（
）
5.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法正确的是（
）
向量与的夹角是
与所成角的余弦值为
三、填空题
1.（2020·全国课时练习）若，则直线与平面的位置关系为____．
2．（2020·全国单元测试）已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则________.________.
3.（2020浙江杭州学军中学高二上期中）棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的大小是____________，线段的长度为________________.
四、解答题
1．（2020·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，
设．
（1）试用表示出向量；
（2）求的长．
2．（2021·浙江高二单元测试）已知、、、、、、、、为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证：
（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）．
3．（2021·广西）如图，在直三棱柱'中，，，，分别为，的中点.（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值.
4.（2021·云南）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，
（1）用表示；
（2）求对角线的长；
（3）求
5.（2021辽宁大连高二上检测）如图，在直三棱柱中，，点在棱上，分别为的中点，与相交于点.
求证：平面；
求证：平面平面；
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