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知识点一
空间直角坐标系
空间直角
坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系
坐标轴
x轴、y轴、z轴
坐标原点
点O
坐标向量
i，j，k
坐标平面
Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面
右手直角
坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系
知识点二
空间向量的坐标表示
空间直角坐标系中A点坐标
在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．
记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标
在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z)
知识点三
空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
坐标表示
加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点四
空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b)
a∥b(b≠0)?a＝λb?
垂直(a⊥b)
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
模
|a|＝＝
夹角公式
cos〈a，b〉＝＝
知识点五
向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝||＝.
考点一
空间向量坐标运算
例1：（2021·广东中山市）（多选）已知向量，则下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
考点二
建立空间坐标
例2：（2021·浙江高二单元测试）在正方体中，分别为的中点，则___________；___________.
考点三
空间向量的平行与垂直
例3：正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，
且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
考点四
空间向量中数量积的坐标运算
例4：（2021·福建泉州市）若，，，，，则的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．6
考点五
空间向量的夹角与长度问题
例5：如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；
(3)求证：BN⊥平面C1MN.
一、选择题
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的
( )
A.y轴上
B.Oxy平面上
C.Oxz平面上
D.第一象限内
2.点P(1,,)为空间直角坐标系中的点,过点P作Oxy平面的垂线,垂足为Q,则点Q的坐标为
( )
A.(0,0,)
B.(0,,)
C.(1,0,)
D.(1,,0)
3.点A(1,2,-1),点C与点A关于Oxy平面对称,点B与点A关于x轴对称,则的坐标为
( )
A.(1,2,-1)
B.(1,-2,1)
C.(0,-4,0)
D.(0,4,0)
4.三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以，，方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
5.（2021·浙江）与向量共线的单位向量是（
）．
A．
B．
C．和
D．和
6.（2021·广西钦州市）已知，，若，则等于（
）
A．1
B．2
C．
D．3
7.（2021·浙江高二单元测试）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·全国高二课时练习）设，向量且，则（
）
A．
B．
C．3
D．4
9．（2021·浙江高二单元测试）如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则
（
）
A．
B．2:6
C．
D．
10．（2021·安徽省安庆九一六学校高二开学考试（理））如图，将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
二、多选题
1．（2021·江苏）已知向量，，，?下列等式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2.（2020·全国高二课时练习）已知，且∥，则（
）
A．x＝
B．x＝
C．y＝－
D．y＝－4
三、填空题
1.已知A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段AB中点的坐标为 .?
2.（2021·江苏无锡市·高二期末）已知空间向量，，若，则____________.
3．（2020·全国高二课时练习）若＝(－4，6，－1)，＝(4，3，－2)，，且⊥，⊥，则＝________．
4．（2021·全国高二课时练习）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为________________.
5．（2021·浙江高二单元测试）已知，且与夹角为钝角，则x的取值范围为___________
6．（2021·陕西宝鸡市）在空间直角坐标系中，已知，，点分别在轴，轴上，且，那么的最小值是______.
四、解答题
1.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；
(2)求点N的坐标．
2．（2021·铅山县第一中学高二开学考试（理））已知向量，.
（1）若，求实数；
（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围.
3．（2021·浙江高二单元测试）如图，建立空间直角坐标系.单位正方体顶点A位于坐标原点，其中点，点，点.
（1）若点E是棱的中点，点F是棱的中点，点G是侧面的中心，则分别求出向量，，.的坐标；
（2）在（1）的条件下，分别求出；的值.
4.（2021·浙江高二单元测试）已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标；
(2)若∥，且，求点P的坐标．
5．（2021·全国高二课时练习）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos<>的值；（3）求证：A1B⊥C1M.
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精品试卷·第
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知识点一
空间直角坐标系
空间直角
坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系
坐标轴
x轴、y轴、z轴
坐标原点
点O
坐标向量
i，j，k
坐标平面
Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面
右手直角
坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系
知识点二
空间向量的坐标表示
空间直角坐标系中A点坐标
在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．
记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标
在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z)
知识点三
空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
坐标表示
加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点四
空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b)
a∥b(b≠0)?a＝λb?
垂直(a⊥b)
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
模
|a|＝＝
夹角公式
cos〈a，b〉＝＝
知识点五
向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝||＝.
考点一
空间向量坐标运算
例1：（2021·广东中山市）（多选）已知向量，则下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】向量，，，，故正确；
，1，，故错误；，故错误；，故正确．故选：．
考点二
建立空间坐标
例2：（2021·浙江高二单元测试）在正方体中，分别为的中点，则___________；___________.
【答案】
【解析】以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴?y轴?z轴建立直角坐标系，设正方体棱长为1，
则
，
.，故答案为：；
考点三
空间向量的平行与垂直
例3：正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，
且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
【答案】λ＝－4.
【解析】如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为.
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQ⊥AE，所以·＝0，
所以·＝0，
即－－＝0，解得b＝，所以点Q的坐标为，
因为＝λ，所以＝λ，所以＝－1，故λ＝－4.
考点四
空间向量中数量积的坐标运算
例4：（2021·福建泉州市）若，，，，，则的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．6
【答案】C
【解析】因为，，，，，
所以，则，即，
所以，
当且仅当，即时，取得最小值，则的最小值为.故选：C.
考点五
空间向量的夹角与长度问题
例5：如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；(3)求证：BN⊥平面C1MN.
【答案】(1)；(2)；(3)见解析
【解析】(1)如图所示，建立空间直角坐标系C?xyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴||＝＝，∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝.∴cos〈，〉＝＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
(3)证明：依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，M，∴＝，＝(1,0，－1)，
＝(1，－1,1)，∴·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0，·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.
∴⊥，⊥，∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，
又∵C1M∩C1N＝C1，C1M?平面C1MN，C1N?平面C1MN，∴BN⊥平面C1MN.
一、选择题
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的
( )
A.y轴上
B.Oxy平面上
C.Oxz平面上
D.第一象限内
【答案】C
【解析】选C.点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在Oxz平面上.
2.点P(1,,)为空间直角坐标系中的点,过点P作Oxy平面的垂线,垂足为Q,则点Q的坐标为
( )
A.(0,0,)
B.(0,,)
C.(1,0,)
D.(1,,0)
【答案】D
【解析】选D.由空间点的坐标的定义,知点Q的坐标为(1,,0).
3.点A(1,2,-1),点C与点A关于Oxy平面对称,点B与点A关于x轴对称,则的坐标为
( )
A.(1,2,-1)
B.(1,-2,1)
C.(0,-4,0)
D.(0,4,0)
【答案】D
【解析】选D.点A关于Oxy平面对称的点C的坐标是(1,2,1),点A关于x轴对称的点B的坐标是(1,-2,1),
所以=i-2j+k,=i+2j+k,所以=-=0i+4j+0k,的坐标为(0,4,0).
4.三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以，，方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】 ＝－＝(＋)－(＋)＝－＝，选B．
5.（2021·浙江）与向量共线的单位向量是（
）．
A．
B．
C．和
D．和
【答案】D
【解析】，，，，
且，，故与向量共线的单位向量是或，故选：D
6.（2021·广西钦州市）已知，，若，则等于（
）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】B
【解析】，，即，解得：.故选：B
7.（2021·浙江高二单元测试）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设，由点在直线上，可得存在实数使得，即，
可得,所以,
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.故选：C.
8．（2021·全国高二课时练习）设，向量且，则（
）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】C
【解析】因为，所以存在使得，所以，解得，所以，
因为，所以，得，所以，所以，
所以.故选：C
9．（2021·浙江高二单元测试）如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则
（
）
A．
B．2:6
C．
D．
【答案】A
【解析】如下图，以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，
∴，，
∵，∴，即，∴，解得，
∴，，∴．故选：A
10．（2021·安徽省安庆九一六学校高二开学考试（理））如图，将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】记正方形的对角线交于点，连接，所以，
因为二面角为直二面角，且，平面平面，
所以平面，建立空间直角坐标系如下图所示：
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：A.
二、多选题
1．（2021·江苏）已知向量，，，?下列等式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由题，所以，不相等，所以A选项错误；
，所以，所以B选项正确；
，所以C选项正确；
，
即，，所以D选项正确.故选：BCD
2.（2020·全国高二课时练习）已知，且∥，则（
）
A．x＝
B．x＝
C．y＝－
D．y＝－4
【答案】BD
【解析】因为，所以，，
因为
∥，所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝，y＝－4．
故选：BD
三、填空题
1.已知A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段AB中点的坐标为 .?
【答案】(4,0,-1)
【解析】设中点坐标为(x0,y0,z0),则x0==4,y0==0,z0==-1,所以中点坐标为(4,0,-1).
2.（2021·江苏无锡市·高二期末）已知空间向量，，若，则____________.
【答案】
【解析】因为，，且
所以存在，使得，所以
即解得所以故答案为：
3．（2020·全国高二课时练习）若＝(－4，6，－1)，＝(4，3，－2)，，且⊥，⊥，则＝________．
【答案】或
【解析】解：设＝(x，y，z)，由题意有，解得或
故答案为：或
4．（2021·全国高二课时练习）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为________________.
【答案】
【解析】根据题意，点在直线上运动，，1，；设，，，
，，，，，
当时，取得最小值．此时点的坐标是，，，故答案为：
5．（2021·浙江高二单元测试）已知，且与夹角为钝角，则x的取值范围为___________
【答案】
【解析】由题可知，即，解得且.
故答案为：
6．（2021·陕西宝鸡市）在空间直角坐标系中，已知，，点分别在轴，轴上，且，那么的最小值是______.
【答案】
【解析】设，0，，，，，，0，，，1，-，，，
，，即．，．（当时取最小值）
故答案为：
四、解答题
1.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；
(2)求点N的坐标．
【答案】(1)C1(4,3,5)；(2)(4,3，)．
【解析】(1)由题意知，A(0,0,0)．由于点B在x轴的正半轴上，且AB＝4，所以B(4,0,0)．
同理可得D(0,3,0)，A1(0,0,5)．
由于点C在坐标平面xOy内，且BC⊥AB，CD⊥AD，所以C(4,3,0)．同理可得B1(4,0,5)，D1(0,3,5)．
与点C的坐标相比，点C1的坐标只有竖坐标与点C不同，且CC1＝AA1＝5，所以C1(4,3,5)．
(2)由(1)知，C(4,3,0)，C1(4,3,5)，则CC1的中点N的坐标为(4,3，)．
2．（2021·铅山县第一中学高二开学考试（理））已知向量，.
（1）若，求实数；
（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围.
【答案】（1）；（2）且.
【解析】（1）由已知可得，，，
因为，所以，可得.
（2）由（1）知，，，因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
又当时，，可得实数的范围为且.
3．（2021·浙江高二单元测试）如图，建立空间直角坐标系.单位正方体顶点A位于坐标原点，其中点，点，点.
（1）若点E是棱的中点，点F是棱的中点，点G是侧面的中心，则分别求出向量，，.的坐标；
（2）在（1）的条件下，分别求出；的值.
【答案】（1）；；；（2）；.
【解析】（1）因为点E是棱的中点，点F是棱的中点，点G是侧面的中心，
可得，
所以；；；
（2）由（1）可得；
又由，所以.
4.（2021·浙江高二单元测试）已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标；
(2)若∥，且，求点P的坐标．
【答案】（1）或；（2）或
【解析】(1)=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2）．设=（x，y，z），
∵||=，且分别与、垂直，
∴，解得，或．∴=（1，1，1），（﹣1，﹣1，﹣1）．
(2)因为∥，所以可设．
因为＝(3，－2，－1)，所以＝(3λ，－2λ，－λ)．
又因为，所以，解得λ＝±2.
所以＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y－2，z－3)．
所以或解得或
故所求点P的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)．
5．（2021·全国高二课时练习）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos<>的值；（3）求证：A1B⊥C1M.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】以为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
（1）则，；
（2）则，，，∴﹤﹥=.
（3）则，，，，∴A1B⊥C1M.
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