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知识点一
空间中点、直线和平面的向量表示
点P的位置向量
在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量表示，我们把向量称为点P的位置向量.
空间直线的向量表示式
a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，也可以表示为＝＋t.这两个式子称为空间直线的向量表示式.
空间平面ABC的向量表示式
设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y，这就是空间平面ABC的向量表示式.
知识点二
直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
知识点三
间中平行关系的向量表示
线线平行
设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，
则l1∥l2?u1∥u2?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
线面平行
设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，
则l∥α?u·n＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
面面平行
设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，
则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
考点一
求平面的法向量
例1：四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系A?xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
【答案】＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量；n＝即为平面SCD的一个法向量．
【解析】A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．
∵AD⊥平面SAB，∴＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，则n·＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，
∴y＝－.又n·＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，
∴z＝.∴n＝即为平面SCD的一个法向量．
归纳总结：求平面法向量的步骤
(1)设法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程组
(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
考点二
利用空间向量证明线线平行
例2：(1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2，
B．，
C．－3,2
D．2,2
【答案】A
【解析】若a∥b，则2μ－1＝0且＝，解得μ＝且λ＝2或λ＝－3，故选A.
归纳总结：证明两直线平行的方法
法一：平行直线的传递性
法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn.
法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，
如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.
考点三
利用空间向量证线面、面面平行
例3：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
【答案】见解析
【解析】如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，
于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即
取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD.
归纳总结：向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可
证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β?μ∥v.
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是( )
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
【答案】D
【解析】若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D.
2.平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝( )
A．
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】由题意知，∵α∥β，∴u＝λv，即解得λ＝－4，y＝－，x＝4，
∴x＋y＝4－＝.
3．下列命题中，正确的个数有(
)
(1)直线l的方向向量是唯一的；(2)若点A、B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0；
(3)若向量n1、n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行；
(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】只有①错误，其余都正确．
4．已知点A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵C在线段AB上，∴∥，∴设C(x，y，z)，
则由＝得，(x－4，y－1，z－3)＝(2－4，－5－1，1－3)，即，解得．
故选C．
5．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于B，＝，则n·＝(3,1,2)·＝0，
∴n⊥，则点P在平面α内．
6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2,4)
B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1)
D．(1,2，－2)
【答案】B
【解析】设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)，∴＝(0,2,1)，＝(－1,0,2)
设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量则，
取y＝1，得x＝－4，z＝－2，∴n＝(－4,1，－2)是平面AEF的一个法向量
因此，只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故选B.
7．已知平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，＝(－1,1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为(
)
A．AB⊥α
B．AB?α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
【答案】A
【解析】平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，＝(－1,1，－2)，∴n＝－2，∴n∥，∴⊥α，即直线AB与平面α垂直．故选A．
8．已知线段的两端点坐标为，，则直线（
）
A．与坐标平面平行
B．与坐标平面平行
C．与坐标平面平行
D．与坐标平面相交
【答案】B
【解析】因为，，所以，而坐标平面的法向量为，显然，故直线与坐标平面平行.故选:B.
9．如图，在三棱锥A－BCD中，DA、DB、DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则·等于(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【解析】 如图，建立空间直角坐标系，设DC＝DB＝a，DA＝b，则B(a,0,0)、C(0，a,0)、A(0,0，b)，E，所以＝(－a，a,0)，＝，·＝－＋＋0＝0．
10．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(
)
A．，－，4
B．，－，4
C．，－2,4
D．4，，－15
【答案】B
【解析】 ∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，则解得
二、多选题
1．下面各组向量为直线l1与l2方向向量，则l1与l2平行的是( )
A．a＝(1,2，－2)、b＝(－2，－4,4)
B．a＝(1,0,0)、b＝(－3,0,0)
C．a＝(2,3,0)、b＝(4,6,0)
D．a＝(－2,3,5)、b＝(－4,6,8)
【答案】ABC
【解析】 l1与l2不平行则其方向向量一定不共线．
A中：b＝－2a，B中：b＝－3a，C中：b＝2a．故选ABC．
2．对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，则下列说法正确的是( )
A．a∥b?＝＝
B．若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量
C．a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
D．若a为平面α的法向量，则向量(ka1，ka2，ka3)(k为非零实数)，也为平面α的法向量
【答案】CD
【解析】 由＝＝?a∥b，反之不一定成立，故A不正确；B显然错误；
CD是正确的，故选CD．
3．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(－1,2,3)，B(0，－2,4)，C(2,1,2)，若存在一点P，使得CP⊥平面OAB，则P点坐标可能为( AD )
A．(－12，－3,0)
B．(7,2，－4)
C．(6,3,5)
D．(－5，－1,1)
【答案】AD
【解析】 设P(x，y，z)，由CP⊥平面OAB，可得CP⊥OA，CP⊥OB，
即可得将四个选项代入检验可得正确选项。
将(－12，－3,0)代入满足方程组，所以选项A正确；将(7,2，－4)代入不满足方程组，所以B不正确；
将(6,3,5)代入不满足方程组，所以C不正确；将(－5，－1,1)代入不满足方程组，所以D不正确．
故选AD．
4．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是( ABD )
A．·＝0
B．·＝0
C．·＝0
D．·＝0
【答案】ABD
【解析】∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA．又AC⊥BD，AC∩PA＝A，
∴BD⊥平面PAC，∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD．故ABD成立．
5.已知直线l1的方向向量是a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2)．若|a|＝6，且a·b＝0，则x＋y的值是(
)
A．－1
B．3
C．－3
D．1
【答案】CD
【解析】 由题意知|a|＝＝6，解得x＝±4，
由a·b＝4＋4y＋2x＝0得，x＝－2y－2．当x＝4时，y＝－3，所以x＋y＝1．
当x＝－4时，y＝1，所以x＋y＝－3．综上，x＋y＝－3或1．
三、填空题
1．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为____．
【答案】l∥α或l?α．
【解析】u·v＝2×(－2)＋0×1＋(－1)×(－4)＝0，∴l∥α或l?α．
2．已知△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，其中＝(1，m,2)，＝(2，m，n)(m，n∈R)，则m＋n＝____．
【答案】-1
【解析】由题意得·＝0，且||＝||，所以所以
所以m＋n＝－1．
3．已知A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为____．
【答案】(－1,0,2)．
【解析】由题意得＝(－x,1，－z)，＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，
由⊥，得·＝x－1＋z＝0，
由⊥，得·＝－2x－z＝0，解得故点P的坐标为(－1,0,2)．
4．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若点E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是____．
【答案】垂直
【解析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，E，F，
∴＝，＝(1,1，－1)，＝(0，－1,1)，
设平面PBC的一个法向量n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，即
取y＝1，则z＝1，x＝0，∴n＝(0,1,1)．∵＝－n，∴∥n，∴EF⊥面PBC．
5．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于 ____．
【答案】2
【解析】以A为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，
设Q(1，x,0)，P(0,0，z)，＝(1，x，－z)，＝(－1，a－x,0)．
由·＝0，得－1＋x(a－x)＝0，即x2－ax＋1＝0．当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，点Q只有一个．
6．平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则______.
【答案】0或2
【解析】由题,因为,则,即,解得或,故答案为：或
四、解答题
1.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，
∴＝，＝，＝，＝，∴＝，＝，
∴∥，∥，又∵F?AE，F?EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形.
2．如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM
∶MA＝BN
∶ND＝5
∶8．求证：直线MN∥平面PBC．
【答案】见解析
【解析】＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋
＝－(－)＋＋(＋)＝－＋＝－，
∴与、共面，∴∥平面BCP，
∵MN?平面BCP，∴MN∥平面BCP．
3．如图所示，在直三棱柱中，，为的中点，证明：平面平面.
【答案】证明见解析.
【解答】证明：由题意得两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.可得：，，
则.
设平面的法向量为，则即令，得，.
设平面的法向量为，则即
令，得，.
，∴平面平面.
4．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝BC，将直角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M为的中点．
(1)求证：BM⊥DF；
(2)求异面直线BM与EF所成角的大小．
【答案】见解析
【解析】(1)∵AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE＝B，∴AB⊥平面BCE，
以B为原点，以BE，BC，BA为坐标轴建立空间坐标系Bxyz，如图所示：
设AB＝AD＝1，则D(0,1,1)，F(1,0,1)，B(0,0,0)，M(，，0)，
∴＝(，，0)，＝(1，－1,0)，∴·＝－＋0＝0，∴BM⊥DF．
(2)E(2,0,0)，故＝(－1,0,1)，∴cos〈，〉＝＝＝－，
设异面直线BM与EF所成角为θ，则cos
θ＝|cos〈，〉|＝，故θ＝．
5．如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【解析】（1）证明：因为四棱锥底面是正方形，且平面，
以点为坐标原点，.所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.
则，，
因为是的中点，所以，
所以，所以，且.
所以，，且.所以⊥平面.
（2）假设在线段上存在点，使得//平面.
设，
则.
因为//平面，⊥平面，
所以.
所以.
所以，在线段上存在点，使得//平面.其中.
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精品试卷·第
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知识点一
空间中点、直线和平面的向量表示
点P的位置向量
在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量表示，我们把向量称为点P的位置向量.
空间直线的向量表示式
a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，也可以表示为＝＋t.这两个式子称为空间直线的向量表示式.
空间平面ABC的向量表示式
设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y，这就是空间平面ABC的向量表示式.
知识点二
直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
知识点三
间中平行关系的向量表示
线线平行
设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，
则l1∥l2?u1∥u2?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
线面平行
设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，
则l∥α?u·n＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
面面平行
设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，
则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
考点一
求平面的法向量
例1：四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系A?xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
考点二
利用空间向量证明线线平行
例2：(1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2，
B．，
C．－3,2
D．2,2
考点三
利用空间向量证线面、面面平行
例3：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是( )
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
2.平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝( )
A．
B．
C．3
D．
3．下列命题中，正确的个数有(
)
(1)直线l的方向向量是唯一的；(2)若点A、B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0；
(3)若向量n1、n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行；
(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．已知点A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为(
)
A．
B．
C．
D．
5．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．
B．
C．
D．
6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2,4)
B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1)
D．(1,2，－2)
7．已知平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，＝(－1,1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为(
)
A．AB⊥α
B．AB?α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
8．已知线段的两端点坐标为，，则直线（
）
A．与坐标平面平行
B．与坐标平面平行
C．与坐标平面平行
D．与坐标平面相交
9．如图，在三棱锥A－BCD中，DA、DB、DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则·等于(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
10．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(
)
A．，－，4
B．，－，4
C．，－2,4
D．4，，－15
二、多选题
1．下面各组向量为直线l1与l2方向向量，则l1与l2平行的是( )
A．a＝(1,2，－2)、b＝(－2，－4,4)
B．a＝(1,0,0)、b＝(－3,0,0)
C．a＝(2,3,0)、b＝(4,6,0)
D．a＝(－2,3,5)、b＝(－4,6,8)
2．对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，则下列说法正确的是( )
A．a∥b?＝＝
B．若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量
C．a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
D．若a为平面α的法向量，则向量(ka1，ka2，ka3)(k为非零实数)，也为平面α的法向量
3．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(－1,2,3)，B(0，－2,4)，C(2,1,2)，若存在一点P，使得CP⊥平面OAB，则P点坐标可能为( )
A．(－12，－3,0)
B．(7,2，－4)
C．(6,3,5)
D．(－5，－1,1)
4．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是(
)
A．·＝0
B．·＝0
C．·＝0
D．·＝0
5.已知直线l1的方向向量是a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2)．若|a|＝6，且a·b＝0，则x＋y的值是(
)
A．－1
B．3
C．－3
D．1
三、填空题
1．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为____．
2．已知△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，其中＝(1，m,2)，＝(2，m，n)(m，n∈R)，则m＋n＝____．
3．已知A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为____．
4．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若点E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是____．
5．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于 ____．
6．平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则______.
四、解答题
1.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
2．如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM
∶MA＝BN
∶ND＝5
∶8．求证：直线MN∥平面PBC．
3．如图所示，在直三棱柱中，，为的中点，证明：平面平面.
4．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝BC，将直角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M为的中点．
(1)求证：BM⊥DF；
(2)求异面直线BM与EF所成角的大小．
5．如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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精品试卷·第
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