3.4 相似三角形的判定与性质
3.4.1 相似三角形的判定
第1课时 利用平行判定三角形相似
1.理解并掌握判定三角形相似的预备定理.（重点）
2.运用判定三角形相似的预备定理解决简单问题.（重点，难点）
一、情境导入
观察下列一组图形，观察其中的规律，图①中l1∥l2∥l3，图②中l1，l2，l3不存在平行关系.
图① 图②
试着判断△AB1C1，△AB2C2，△AB3C3之间是否相似，并探究其中规律.
二、合作探究
探究点一：判定三角形相似的预备定理
如图所示，DE∥FG∥BC，图中相似三角形共有（ ）
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
解析：△ADE∽△AFG，△ADE∽△ABC，△AFG∽△ABC，故选B.
方法总结：本题考查判定三角形相似的预备定理，解题时要考虑到所有情况，避免错解.
探究点二：判定三角形相似的预备定理的简单应用
【类型一】利用平行线判定三角形相似
如图，EF在平行四边形ABCD的边AB的延长线上，且EF＝AB，DE交CB于点M.求证：△BME∽△BCF.
解析：要证△BMF∽△BCF，可先证ME∥CF.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.又∵EF在AB的延长线上，且EF＝AB，∴EF∥CD，EF=CD.即四边形CDEF为平行四边形，∴ME∥CF，∴△BME∽△BCF.
方法总结：本题考查判定三角形相似的预备定理的基本运用，与平行四边形的性质相结合，解题时要注意利用平行关系进行转化.
【类型二】利用平行线判定三角形相似求值
如图所示，在平行四边形ABCD中，E是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE∶EB＝2∶3，EF＝4，则CD的长为 Ｗ.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB,EF∥AB∥CD，又∵DE∶EB＝2∶3，∴＝＝，又∵EF＝4，∴AB＝10＝CD.故填10.
方法总结：本题考查应用相似三角形的判定的预备定理求值，解题时利用到比例的性质和平行四边形的性质.
如图，DE∥BC交AB于点D，交AC于E，若AD∶DB＝3∶5，求DE∶BC的值.
解析：由DE∥BC得△ADE∽△ABC，进而推出对应边成比例.
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝.
方法总结：由平行线?三角形相似?线段成比例，上述过程是求线段比值的一个基本思路.
三、板书设计
教学过程中，将对前几课时涉及的问题进行深入学习讨论，在情景导入环节需要引发学生学习兴趣，使学生自发学习，自主探究，在学习过程中形成良好的学习习惯，提升逻辑思维能力.3.4.2 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形对应高、中线、角平分线的性质
1.理解并掌握相似三角形的基本性质.（重点）
2.学会运用相似三角形的高，中线和角平分线解题.（难点）
一、情境导入
下面几组图形，探究其中规律.（各图中△ABC∽△A′B′C′）
试探求与（△ABC与△A′B′C′的相似比）间的关系.
二、合作探究
探究点一：相似三角形对应高的比等于相似比
如图所示，在△ABC中，点E，F在BC边上，点D，G分别在AB，AC边上，四边形DEFG是矩形，若矩形DEFG的面积与△ADG的面积相等，设△ABC的BC边上的高AH与DG相交于点K，求的值.
解析：由矩形DEFG的面积与△ADG的面积相等，可以得到AH与AK的比，由矩形的对边平行，则可找到两个三角形相似，而DG与BC刚好是对应边，进而求解.
解：∵矩形DEFG的面积与△ADG的面积相等，∴＝，∴＝，即＝，又由DG∥BC可得△ADG∽△ABC，∴＝＝.
方法总结：本题考查相似三角形对应高的性质的应用，将已知面积关系转化成相似三角形的对应高的比，进而求解.
探究点二：相似三角形对应中线的比等于相似比
如图所示，已知△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，求证：AD·B′E′＝BE·A′D′.
解析：由△ABC∽△A′B′C′，可以得到，都等于相似比，即可得证.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，设△ABC和△A′B′C′的相似比为k，∵AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴＝k，＝k，∴＝，∴AD·B′E′＝BE·A′D′.
方法总结：本题考查相似三角形对应高和中线的性质，解题时应从三角形的相似出发，寻找对应的比例关系解题.
探究点三：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
如图所示，△ABC∽△DEF，AG，DH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm，EF＝4cm，AG＝4.8cm，求DH的长.
解析：由△ABC∽△DEF，可以得到角平分线，AG∶DH等于相似比，已知BC、EF、AG的长，代入比例式，可求得DH.
解：∵△ABC∽△DEF，AG，DH分别是△ABC和△DEF的角平分线，∴＝，又∵BC＝6cm，EF＝4cm，AG＝4.8cm，∴DH＝＝＝3.2cm.
方法总结：本题考查相似三角形对应角平分线的性质，找准相似三角形，运用对应角平分线的比等于相似比解题.
三、板书设计
教学过程中，就前几课时所学习的理论知识进行进一步深入探讨.要求学生能够灵活运用，因此在自主探究过程中要帮助学生完善思考，形成正确的数学思维和严密的逻辑性，进一步提升学生自主探究和创新的能力.第2课时 相似三角形的判定定理1
1.理解并掌握相似三角形的判定定理1.（重点，难点）
2.运用相似三角形的判定定理1解决简单数学问题.（重点，难点）
一、情境导入
观察下列几组图形，探究其中规律.
试着判断这几组图形是否相似，并探究其中规律.
二、合作探究
探究点一：相似三角形的判定定理1
如图所示，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是（ ）
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：由相似三角形的判定定理1可得△ADE∽△ACB，即可得＝，故选C.
方法总结：在解此题时一定要明确对应关系，由于△ADE∽△ACB，所以AE对应AB，AD对应AC，ED对应BC.
探究点二：相似三角形的判定定理1的应用
【类型一】利用相似三角形的判定定理1求值
如图所示，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，点B，D，C分别为垂足，点C是线段BD的中点，若ED＝1，BD＝4，则AB＝ Ｗ.
解析：由题设可证△ABC∽△CDE，∴＝，又∵ED＝1，BD＝4，C为BD的中点，∴AB＝＝＝4.故填4.
方法总结：根据三角形内角和可判定∠ACB＝∠CED，再结合相似三角形判定定理1得出△ABC与△CDE的相似关系，从而求解.
【类型二】利用相似三角形的判定定理1证明相似
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
解析：已知∠B是公共角，判定两三角形相似，再找一组角相等即可，由题易证AD⊥BC，有∠ADB＝∠CEB＝90°，即可得证.
证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
方法总结：解此类题型时首先要根据题设寻求两三角形相似的条件，再证明两三角形相似，并根据相似获得题目要求的数量关系.
三、板书设计
教学过程中，注重引导学生自主探究并且验证相关定理，在实际学习的过程中反复验证定理的准确性，进而加深学生对定理的理解和记忆，巩固基础知识.为进一步学习打下坚实基础.第2课时 相似三角形对应周长和面积的性质
1.理解并掌握相似三角形的周长和面积的有关性质.（重点）
2.学会综合运用相似三角形的性质解题.（难点）
一、情境导入
如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与AB平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE的面积为10平方米，CE长为4m，BE长为6m.
根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△ABC的面积.
二、合作探究
探究点一：相似三角形的面积的比等于相似比的平方
【类型一】与相似三角形的面积相关的性质
如图所示，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）
A.△ADE∽△ABC
B.S△ABF＝S△AFC
C.S△ADE＝S△ABC
D.DF＝EF
解析：∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1∶2，∴S△ADE＝S△ABC，由AF是中线得S△ABF＝S△AFC.故选D.
方法总结：本题考查运用相似三角形解决面积问题，要注意相似三角形的面积等于相似比的平方.
【类型二】利用相似三角形的性质求面积
如图，在?ABCD中，E为CD的中点，连接AE，BD且AE与BD交于点F，S△DEF＝4cm2，求S△ABF.
解析：先证明△DFE∽△BFA，然后依据相似三角线的性质求出面积比，从而求出S△ABF.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∴S△ABF∶S△DEF＝AB2∶DE2，又AB＝CD＝2DE，∴S△ABF＝4S△DEF＝16（cm2）.
方法总结：熟练运用相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键，避免出现面积比等于相似比的错误.
探究点二：相似三角形的周长的比等于相似比
如图所示，△ABC和△EBD中，＝＝＝，△ABC与△EBD的周长之差为10cm，求△ABC的周长.
解析：首先根据已知条件探索三角形相似，然后依据相似三角形的性质得出比例式，最后求得结果.
解：设△ABC与△EBD的周长分别为p1cm，p2cm.∵＝＝＝，∴△ABC∽△EBD，且＝，又∵△ABC与△EBD的周长之差为10cm，∴p1－p2＝10，∴＝，解得p1＝25，p2＝15，∴△ABC的周长为25cm.
方法总结：本题首先从条件出发判定两个三角形相似，进而利用相似三角形的性质求解.
三、板书设计
教学过程中，归纳总结相似三角形的性质，需要对前一段的学习进行复习.因此在自主探究过程中要帮助学生完善思考，构建完整的知识体系，进一步开发学生潜能，培养严谨的学习态度.第4课时 相似三角形的判定定理3
1.理解并掌握相似三角形的判定定理3.（重点，难点）
2.相似三角形的判定定理3的相关应用.（重点，难点）
一、情境导入
观察下列几组图形，探究其中规律.
试判断与△ABC相似的三角形.
二、合作探究
探究点一：相似三角形的判定定理3
根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.
（1）AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，DE＝18cm，EF＝24cm，DF＝30cm；
（2）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，DE＝12cm，EF＝18cm，DF＝21cm.
解析：已知两个三角形三边边长，只需证三边是否成比例，即可判断是否相似.
解：（1）∵＝＝，＝＝，＝＝∴＝＝，∴△ABC∽△DEF.
（2）∵＝＝，＝＝，＝，∴＝≠，∴△ABC与△DEF不相似.
方法总结：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，首先要找准对应边，可以把两个三角形的边按从小到大排列，再看是否符合三角形相似的判定定理3即可.
探究点二：相似三角形的判定定理3的应用
【类型一】利用相似三角形的判定定理3求值
如图所示，已知＝＝，则∠ABD＝∠ Ｗ.
解析：∵＝＝，∴△ABC∽△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，而∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∴∠ABD＝∠CBE，故填CBE.
方法总结：解答此题时要注意对应边与对应角，根据三组对应边成比例得出相似，再通过转化得到结果.
【类型二】利用相似三角形的判定定理3证明相似
如图所示，在正方形ABCD中，P是BC边上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.
解析：先设参数，求出各边，证明三边成比例，即可证△ADQ∽△QCP.
证明：设正方形ABCD的边长为4a.∵P是BC边上的点，且BP＝3PC，∴PC＝a，∵Q是CD的中点，∴QC＝QD＝2a，AQ＝2a，QP＝a，而＝＝，＝＝，＝＝，即＝＝，∴△ADQ∽△QCP.
方法总结：在确定对应关系时，要注意最长边对应最长边，最短边对应最短边.本题也可以利用相似三角形的判定定理2证明.
三、板书设计
相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似
本次教学过程完成了对相似三角形判定定理的教学，在课程引入时，应注重引导学生就所学知识进行回顾归纳，并系统的回顾相关知识点，形成完整的知识架构，进一步锻炼学生的归纳总结能力，培养良好的逻辑思维能力.第3课时 相似三角形的判定定理2
1.理解并掌握相似三角形的判定定理2.（重点，难点）
2.相似三角形的判定定理2的相关应用.（重点，难点）
一、情境导入
观察下列几组图形，探究其中规律.
二、合作探究
探究点一：相似三角形的判定定理2
根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.
解析：根据已知条件，两夹角相等，证两边是否成比例，即可判断是否相似.
解：∵＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠A′＝120°，∴△ABC∽△A′B′C′. 方法总结：判定两个三角形相似，如果已知条件中给出两组对应边成比例，一般可以考虑判断两边所夹的角是否相等，若相等，则两个三角形相似.
探究点二：相似三角形的判定定理2的应用
【类型一】利用相似三角形的判定定理2求值
如图所示，在△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝＝，BC＝6，则DE＝ Ｗ.
解析：∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ABC.∵△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，又∵BC＝6，∴DE＝3，故填3.
方法总结：此题考查相似三角形判定定理2的应用，首先根据已知条件证明两三角形相似，再利用相似得出相应结论求解.
【类型二】利用相似三角形的判定定理2证明相似
如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且OA＝1，OB＝1.5，OC＝3，OD＝2，求证：△OAD∽△OBC.
解析：已有对顶角相等，再证两边对应成比例，即可得△OAD∽△OBC.
解：∵＝＝，＝，∴＝，且∠AOD＝∠BOC，∴根据相似三角形的判定定理2得△OAD∽△OBC，即证.
方法总结：解答此类问题应先找成比例线段，再利用判定定理2证三角形相似.
三、板书设计
相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
此次教学过程中，对前一课时内容进行拓展.而本课时所涉及的知识点在考试中多出现在综合应用问题中，综合性和变化性强，在教学过程中需学生应用创新意识，结合实际情况灵活运用.
