2.7.1 二次根式（1） 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
2.7.1二次根式（1）
第二章
实数
2021-2022学年八年级数学上册同步（北师版）
1.了解二次根式的概念及二次根式有意义的条件。
2.理解最简二次根式的定义并会识别。
3.会化简最简二次根式。
学习目标
　
问题1
什么叫做平方根?
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2
什么叫做算术平方根?
如果
x2
=
a（x≥0），那么
x
称为
a
的算术平方根.用
表示.
问题3
什么数有算术平方根?
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
新课导入
二次根式的概念及有意义的条件
（1）如左图所示，礼盒的上面是正方形，其面积为5，则它的边长是
.如果其面积为S，则它的边长是
.
（2）如左图所示，一个长方形的围
栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为
m.
探究新知
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)满足关系式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t
为
.
探究新知
上面问题的结果分别是
问题1
这些式子分别表示什么意义？
分别表示2，S，3，
的算术平方根．
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
问题2
这些式子有什么共同特征？
探究新知
一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式.
“
”称为二次根号.
两个必备特征
①外貌特征：含有“
”
②内在特征：被开方数a
≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
要点归纳
例1
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
例题讲解
下列各式是二次根式吗?
是
是
是
是
是
（1）
（2）
（3）
（4）
（6）
（5）
（7）
（8）
（9）
（10）
不是
不是
不是
不是
不是
针对练习
例2
当x是怎样的实数时,
在实数范围内有意义?
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时，
在实数范围内有意义.
思考
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得x-1＞0，
所以x＞1.
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
（1）
探究新知
解：因为被开方数需大于或等于零，
所以x+3≥0，即x≥-3.
因为分母不能等于零，
所以x-1≠0，即x≠1.
所以x≥-3
且x≠1.
（2）
求二次根式中字母的取值范围的依据：
1.根号内的式子是非负数。
2.若含有分母，则分母不为零.
探究新知
(1)单个二次根式如
有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如
有意义的
条件：
(3)二次根式作为分式的分母如
有意义的条件：
A＞0；
(4)二次根式与分式的和如
有意义的条件：
A≥0且B≠0.
要点归纳
x取何值时,下列二次根式有意义?
（1）
（2）
x≥1
x≤0
（3）
（4）
x为全体实数
x>0
（5）
（6）
x≥0
x≠0
x≥-1且x≠2
(7)
（9）
x>0
x为全体实数
(8)
针对练习
二次根式的性质及化简
=
，
=
；
计算下列各式,
观察计算结果,你发现什么规律？
6
6
20
20
=
，
=
.
.
，
，
；
探究新知
成立吗？为什么？
∵
∴这个等式不成立.
成立吗？为什么？
∵
∴这个等式不成立.
探究新知
　
（a≥0，b≥0）
，
（a≥0，
b＞0）．
商的算术平方根等于算术平方根的商
积的算术平方根等于算术平方根的积
a、b必须都是非负数！
a必须是非负数，b必须是正数！
要点归纳
　
例3
化简：
（2）
（3）
（1）
解：
结果应化为最简二次根式
例题讲解
　
最简二次根式：
　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
要点归纳
例4
下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由．
解：(1)不是，因为被开方数中含有分母．
(3)不是,因为被开方数是小数(即含有分母)．
(4)不是，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22.
(5)不是，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x
＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．
(6)不是,因为分母中有二次根式．
(2)是．
例题讲解
　
最简二次根式的条件：
①是二次根式；
②被开方数中不含分母；
③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
要点归纳
化简：
如何把
化成最简二次根式？
=
=
=
1.将被开方数分解成平方因数与其他因数相乘的形式；
2.根据积的算术平方根的性质写成
的形式；
3.把平方数开方，将结果化为最简二次根式。
被开方数是整数
探究新知
如何把
化成最简二次根式？
=
=
1.根据
把被开方数整数化；
2.根据被开方数是整数的步骤计算，将平方因数开方。
化简：
被开方数是分数
探究新知
如何把
化成最简二次根式？
=
=
1.根据
把被开方数整数化；
2.根据被开方数是整数的步骤计算，将平方因数开方。
化简：
=
=
3.分母有理化，把分母中的根号化去。
被开方数是分数
探究新知
如何把
化成最简二次根式？
=
=
化简：
被开方数是分数
=
=
=
=
=
=
1.根据分数性质，把分母变成平方因数的形式；
2.将被开方数整数化；
3.根据被开方数是整数的步骤计算，将结果化为最简二次根式。
探究新知
如何把
和
化成最简二次根式？
化简：
被开方数是分数
探究新知
　化简二次根式的步骤:
1.把被开方数分解因式(或因数)
；
2.将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替后移到根号外面
.
3.将被开方数中的分母化去
4.被开方数是带分数或小数时要化成假分数.
要点归纳
2.式子
有意义的条件是
（
）
A.x＞2
B.x≥2
C.x＜2
D.x≤2
3.若
是整数，则自然数n的值有
（
）
A.7个
B.8个
C.9个
D.10个
D
1.
下列式子中，不属于二次根式的是（
）
C
A
课堂练习
4.要使式子
有意义，a的取值范围是（
）
A.
a≠
0
B.
a＞-2且a≠
0
C.
a＞-2或a≠
0
D.
a≥-2且a≠
0
5．下列式子一定是二次根式的是（
）A．
B．
C．
D．
6.下列根式中，不是最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
D
C
C
7.当x________，
在实数范围内有意义．
解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.
方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．
8.判断下列各式是否为最简二次根式？
（2）
（
）
（3）
（
）
（4）
（
）
（1）
（
）
×
×
×
√
（5）
（
）
（6）
（
）
×
×
9.
设
，化简下列二次根式.
解：
化简：
解：
能力提升
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
积的算术平方根
最简二次根式
商的算术平方根
课堂小结
谢谢
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