江苏省省外国语高中2020-2021学年高一下学期期中调研测试数学试题（Word版含答案）

省外国语高中2020～2021学年第二学期期中调研测试
高一数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上．
1．已知复数，，则（
）．
A．
B．
C．1
D．5
2．已知向量，，当取最大值时，锐角的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
3．已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值等于（
）．
A．
B．
C．
D．
4．在中，，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
5．在中，，，的面积为，则为（
）．
A．
B．
C．
D．
6．骑自行车是一种环保又健康的运动，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形，设点为后轮上一点，则在骑车过程中，的最大值等于（
）．
A．48
B．36
C．72
D．60
7．对向量，定义一种运算“”：，已知动点在定义域为的曲线上，点在曲线上运动，且（其中为坐标原点），若，，若，则的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则的最小值为（
）．
A．
B．2
C．1
D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知复数，则下列结论正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
10．简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为．则以下说法正确的有（
）．
A．
B．
C．
D．盛水筒出水后到达最高点的最少时间为
11．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，则以下说法正确的有（
）．
A．恒有成立
B．恒有成立
C．若，，则
D．若，，则
12．在中，，是中点．以下说法正确的是（
）．
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则当取得最大值时，
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．
13．已知单位向量，的夹角为60°，与垂直，则______．
14．设，是平面内的一组基底，若，，，则______；
复数（i为虚数单位）的模是______．
15．已知外接圆半径为，且满足，，则的值为______．
16．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求的值；
①，；②，．
（2）若，，求的面积．
18．如图，在矩形中，点是边上的中点，点在边上．
（1）若点是上靠近的三等分点，设，求的值；
（2）若，，求的取值范围．
19．已知，，，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
20．由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．6月初政府在个别地区推行地摊经济、小店经济以刺激消费和促进就业．某商场经营者吴某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯﹐经测量点到区域边界，的距离分别为，，（为长度单位）．吴某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．
（1）求线段的长；
（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值．
21．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
（1）求函数的解析式；
（2）在中，内角，，满足，且其外接圆的半径为1，求的面积的最大值．
22．设偶函数（为常数）且的最小值为．
（1）求的值；
（2）设，，，且的图象关于直线对称和点对称，若在上单调递增，求和的值．
省外国语高中2020～2021学年第二学期期中调研测试
高一数学参考答案与评分标准
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上．
1．B
2．B
3．A
4．C
5．B
6．D
7．D
8．A
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．ACD
10．ABD
11．AD
12．ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．
13．
14．，2
15．
16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（1）选择条件①，，
由余弦定理，
得，
即，所以或，
∵，∴，
由正弦定理，得．
选择条件②，，
由余弦定理得，
∴，
由正弦定理，得．
（2）由余弦定理得，
所以，得，
所以．
18．解：（1）由题意知，
因为是边的中点，点是上靠近的三等分点，
所以，
在矩形中，，，
所以，
即，，则．
（2）以、分别为、轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设，其中，
则，，，，
所以，其中．
当时取得最小值为，
或时取得最大值为2，
所以的取值范围是．
19．解：（1）由题意得，，，
∴，
∴，∴，
∴，
又∵，∴，，
∴．
（2）联立，解得，
∴，
∴，
即，解得，
又∵，∴．
20．解：（1）连接，
在中，，
由余弦定理知，
，
∴，
∴，
∴，
在中，由正弦定理知，，
即，∴，
连接，在中，，
∴，故线段的长为．
（2）由正弦面积公式知，，
∵
，
∴，
∴，当且仅当，
即，时，等号成立，
此时，
故当等于时，该三角形区域面积最小，
面积的最小值为．
21．解：（1）由图知，，解得；
∵，
∴，，解得，，
由于，因此，
∴，
∴，
即函数的解析式为．
（2）∵，
∴，
∵，，
，即，
所以或1（不合题意舍去），可得．
由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，
∴，（当且仅当等号成立），
∴，
∴面积最大值为4．
22．（1）化简得：，
为偶函数，有，
得，故，
．
，最小值，
所以，．
所以，．
（2）
，
的图象关于直线对称和点对称，
故有，
所以由，
得，
故有，所以，，，
因为，所以，，即，，．
此时，
因为，，
所以由在上单调递增，可得，即，
所以，1，
当时，，符合题意；
当时，，不合题意；
综上所述，，．