28.4垂径定理课件 冀教版数学九年级上册（20张）

(共20张PPT)
28.4
垂
径
定
理
问题
：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
实践探究
　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
AM=BM,
垂径定理
如图：AB是⊙O的弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法.
探究活动1
将⊙O沿着直径CD对折，你能发现什么结论？
●O
（1）所作的图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
发现图中有:
A
B
C
D
M└
CD是直径
CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
操作探究
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
（1）过圆心
（2）垂直于弦
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
动动脑筋
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
⌒
⌒
⌒
⌒
C
.
O
A
E
B
D
叠
合
法
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙
O的对称轴。
∴当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，弧AC、弧AD分别和弧BC、弧BD重合。
∴AE＝BE，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
CD⊥AB,
垂径定理的推论
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
探究活动2
过点M作直径CD.
●O
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
发现图中有:
C
D
CD是直径
AM=BM
可推得
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
●
M
A
B
┗
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平
分弦所对的两条弧.
不是直径
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
B
A
O
C
D
E
A
C
B
D
O
（不是直径）
（1）过圆心
（3）平分弦
（2）垂直于弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
B
A
O
C
D
1、同心圆O中，大圆的直径AB交小圆于点C、D，请问AC=BD吗？
2、如果把AB向下平移，弦AB仍然交小圆于点C、D，此时图中还有哪些相等的线段？为什么？
应用：
B
A
O
C
D
E
若两圆半径分别为5cm和
，弦AB=8cm,
则AC=
cm.
1
在圆中研究有关弦的问题时，常过圆心作垂直于弦的垂线段，利用垂径定理来证明线段相等、弧相等,利用勾股定理列方程进行计算.
3.已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：AC＝BD
⌒
⌒
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则弧AM＝弧BM，弧CM＝弧DM
弧AM－弧CM＝弧BM－弧DM
∴弧AC＝弧BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
例题：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
D
C
10
8
8
解:作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:
AC=BC=
AB=
×16=8
由勾股定理得:
答:截面圆心O到水面的距离为6.
1
2
1
2
排水管中水最深是多少?
6
CD=OD－OC
=10－6=4
变式一：
若已知排水管的半径OB=10，
截面圆心O到水面的距离OC=6，
求水面宽AB。
变式二：
若已知排水管的水面宽AB=16。
截面圆心O到水面的距离OC=6，
求排水管的半径OB。
D
C
10
8
8
6
例题：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
若弦心距为d，半径为R，弦长为a,则这三者之间有怎样的关系？
d
R
a
2
d2+(
)2=R2
2
a
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
解：如图，设半径为R，
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
解得
R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
D
37.4
7.2
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？
AB=37.4,
CD=7.2
R
18.7
R-7.2
1.判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
　②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴
AE=AD
∴
四边形ADOE为正方形.
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB
=
600mm，求油的最大深度.
做一做
E
D
┌
600
E
D
┌
2.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为　　　　　　.
3.在直径是20cm的
中，
的度数是
，那么弦AB的弦心距是　　　　　.
你学习了哪些内容？
你有哪些收获？
你掌握了哪些思想方法？
你还有什么困惑？
说出来,与同学们分享.
回顾与思考