2022届新高考一轮复习 第四章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及其运算 教案（含解析）

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第四章
导数及其应用
第1讲
导数的概念及其运算
学习要求
1．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限的思想，理解导数的几何意义．
2．能根据导数定义求函数(为常数)，，，，，的导数．
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数．
知识梳理
1．导数的概念
函数在处的瞬时变化率，我们称它为函数在处的导数，记作或，
即．
2．导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线斜率，即，相应地切线方程．
3．函数的导函数
函数在区间内每一点处都可导，则其导数值在内构成一个新的函数，叫做在开区间内的导函数，记作或．
4．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
（为常数）
（）
（）
（）
（）
（）
5．导数的运算法则
若函数，均可导，则：
（1）；
（2）；
（3）．
6．复合函数求导
复合函数求导法则：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积，即，，．
题型练习：
1导数的运算
【例1】（1）已知函数，则（
）
A．0
B．1
C．e
D．2
（2）函数的导数是（
）
A．
B．
C．
D．
（3）求的导数．
【变式1．1】（1）函数的导数是___________________．
（2）已知函数，则在处的导数________．
（3）求函数的导数．
【例2】已知函数，则（
）
A．
B．
C．6
D．14
【变式2．1】已知的导函数为，，则________．
【例3】若，则（
）
A．120
B．24
C．
D．
【变式3．1】已知函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
2导数的几何意义
1．求切线方程
【例4】曲线在点处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式4．1】曲线在处的切线方程为___________．
【例5】曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_________．
【变式5．1】已知函数，过点作曲线的切线，
则函数的切线方程为________________．
1．求经过某点的曲线的切线方程时，需注意该点不一定是切点；
2．利用导数求切线方程的一般过程：
（1）曲线在点处的切线方程为；
（2）曲线过点处的切线方程：
①设切点坐标；
②写出的切线方程；
③将点的坐标代入切线方程求出；
④将的值代入方程，得到所求切线方程．
2．求参数值
【例6】直线是曲线的一条切线，则实数k的值为（
）
A．
B．
C．1
D．
【变式6．1】已知函数在点处的切线方程为，则___________．
【变式6．2】已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则a的值为___________．
3．公切线问题
【例7】已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式7．1】若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数（
）
A．
B．1
C．2
D．
【变式7．2】已知函数的图象在点处的切线方程是，那么（
）
A．2
B．1
C．
D．
【例8】设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式8．1】曲线在点处的切线与曲线相切，则_____．
【例9】若函数与的图象存在公切线，则实数a的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【变式9．1】已知曲线在点处与曲线在点处的切线相同，则_________．
4．切线条数问题
【例10】若过点可以作曲线的两条切线，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式10．1】已知过点且与曲线相切的直线的条数有（
）条．
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式10．2】过点与曲线相切的直线有且只有两条，
则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
课后练习
一、选择题．
1．已知函数，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数，若，则（
）
A．36
B．12
C．4
D．2
3．曲线在处的切线如图所示，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知为二次函数，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题．
6．设函数，则曲线在点处的切线方程为__________．
7．曲线在点处的切线经过坐标原点，则______．
8．曲线在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为__________．
9．已知曲线，则曲线上的点到直线的最短距离是________．
10．直线与曲线相切，也与曲线相切(其中e为自然对数的底数)，则___________．．
三、解答题．
11．设曲线在点处的切线与轴、轴围成的三角形面积为．
（1）求切线的方程；
（2）求的最大值．
12．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
1导数的运算
【例1】（1）已知函数，则（
）
A．0
B．1
C．e
D．2
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，故选D．
（2）函数的导数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，故选C．
（3）求的导数．
【答案】．
【解析】∵，∴．
【变式1．1】（1）函数的导数是___________________．
【答案】
【解析】
，
故答案为．
（2）已知函数，则在处的导数________．
【答案】
【解析】，，，
故答案为．
（3）求函数的导数．
【答案】．
【解析】因为，所以．
【例2】已知函数，则（
）
A．
B．
C．6
D．14
【答案】C
【解析】，则，
则，，故选C．
【变式2．1】已知的导函数为，，则________．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，，
故答案为．
【例3】若，则（
）
A．120
B．24
C．
D．
【答案】D
【解析】令，则，
所以，
所以，故选D．
【变式3．1】已知函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，
故，
因此，，
故选A．
2导数的几何意义
1．求切线方程
【例4】曲线在点处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，，
又，所求切线方程为，即，
故选C．
【变式4．1】曲线在处的切线方程为___________．
【答案】
【解析】，则，，
所以，即切线的斜率，
所以切线方程为，即，
故答案为．
【例5】曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_________．
【答案】
【解析】由，设切线斜率为，切点横坐标为，
则，得，所以，，
故答案为．
【变式5．1】已知函数，过点作曲线的切线，
则函数的切线方程为________________．
【答案】
【解析】，设切点坐标为，则，，
所以切线方程为，且该直线过点，
所以，得，得，
所以切线方程为，
故答案为．
1．求经过某点的曲线的切线方程时，需注意该点不一定是切点；
2．利用导数求切线方程的一般过程：
（1）曲线在点处的切线方程为；
（2）曲线过点处的切线方程：
①设切点坐标；
②写出的切线方程；
③将点的坐标代入切线方程求出；
④将的值代入方程，得到所求切线方程．
2．求参数值
【例6】直线是曲线的一条切线，则实数k的值为（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】设切点为，
由，得，则，
则曲线在切点处的切线方程为，
由已知可得，切线过定点，
代入切线方程可得，解得，
则，故选A．
【变式6．1】已知函数在点处的切线方程为，则___________．
【答案】
【解析】，，
，，即，
又为切点，，解得，
故答案为．
【变式6．2】已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则a的值为___________．
【答案】
【解析】由已知可得在函数的图象上，所以，
即，解得，
所以，故．
则函数的图象在点处的切线的斜率，
因为切线与直线垂直，所以，即，
故答案为．
3．公切线问题
【例7】已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，，，，
在点处的切线方程为，
设与相切于点，则，解得，
又，，解得，
故选C．
【变式7．1】若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数（
）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】B
【解析】曲线的导数为，
可得在处的切线斜率为，切点为，
则切线的方程为，
设直线与相切的切点为，
由的导数为，可得切线的斜率为，
则，，解得，，故选B．
【变式7．2】已知函数的图象在点处的切线方程是，那么（
）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因此切线方程的斜率，
所以有，得，
又切点在切线上，可得切点坐标为，
将切点代入中，有，得，
所以，故选D．
【例8】设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】，，，，，
又为与公共点，，，
解得，
，故选D．
【变式8．1】曲线在点处的切线与曲线相切，则_____．
【答案】
【解析】对求导，得，∴，
则曲线在点处的切线方程为，
即．
设与相切于点，
对求导，得，
由，得，即切点为．
又切点在切线上，∴，即，
故答案为．
【例9】若函数与的图象存在公切线，则实数a的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】法一：设公切线与，图象分别切于点，
则图象在A处的切线方程为，
即，
同理：图象在B处的切线方程为，
即，
由上述两直线重合，消元可得，
令，则，
当时，；当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
则，解得．
方法二：在同一坐标系中作出，的图象如图所示：
由图象知：，分别为上凸和下凸函数，要使，存在公切线，
只须在上恒成立即可，
即在上恒成立，
令，求导得，
当时，；当时，，
所以当时，取得最大值为，
所以，故选A．
【变式9．1】已知曲线在点处与曲线在点处的切线相同，则_________．
【答案】
【解析】，则，切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，
由得，切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即，
于是得，，
则，所以，所以，
得，
故答案为．
4．切线条数问题
【例10】若过点可以作曲线的两条切线，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则．
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，
则，
当时，；当时，，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点，
故选D．
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线．由此可知．
故选D．
【变式10．1】已知过点且与曲线相切的直线的条数有（
）条．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】若直线与曲线切于点，
则，
又∵，∴，∴，解得，，
∴过点与曲线相切的直线方程为或，
故选C．
【变式10．2】过点与曲线相切的直线有且只有两条，
则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设切点为，，
所以切线方程为：，
代入，得，即这个关于的方程有两个解．
化简方程为，即，
令
()，，在上单调递增，在上单调递减，，，
所以，所以，选B．
课后练习
一、选择题．
1．已知函数，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
因为，所以，故选B．
2．已知函数，若，则（
）
A．36
B．12
C．4
D．2
【答案】C
【解析】根据题意，，则，则，
若，
则，
则有，即，故选C．
3．曲线在处的切线如图所示，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设曲线在处的切线方程为，
则，解得，
所以，曲线在处的切线方程为，
所以，，
因此，，故选C．
4．已知为二次函数，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设，则，
由可得，
所以，解得，因此，故选B．
5．已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，，所以切点．
，，切线，即．
设的切点为，
，，所以．
将代入切线，得，的切点为，
将代入，得，解得，
故选C．
二、填空题．
6．设函数，则曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由题意得，切点为，
，
所以，
所以过点的切线方程为，即，
故答案为．
7．曲线在点处的切线经过坐标原点，则______．
【答案】
【解析】由，则，
所以，
所以，
化简整理可得，故答案为．
8．曲线在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为__________．
【答案】
【解析】由题意得，则，
所以切线的斜率，
直线的斜率．
因为两直线相互垂直，所以，解得，
则，
所以，则，
故该切线的方程为，即，
故答案为．
9．已知曲线，则曲线上的点到直线的最短距离是________．
【答案】
【解析】∵，∴，
设与曲线相切，且与直线平行的直线为，
切点．
则，解得，故切点为．
曲线上的点到直线的最短距离，
故答案为．
10．直线与曲线相切，也与曲线相切(其中e为自然对数的底数)，则___________．
【答案】e
【解析】由题设知：，则；，则．
∴要使与、都相切，
若切点分别为，则有，
∴，则，
∴，故答案为．
三、解答题．
11．设曲线在点处的切线与轴、轴围成的三角形面积为．
（1）求切线的方程；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
所以切线的方程为，整理得．
（2）在切线的方程中，令，可得，
令，可得．
因为，所以，所以，
所以当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，取得极大值也是它的最大值．
12．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），∴切线斜率，，
∴曲线在处的切线方程为，
∴即．
（2）过点向曲线作切线，设切点为，
则，，
∴切线方程，即，
∴有三个不同实数根，
记，，令或1，
则的变化情况如下表：
0
1
+
0
0
+
极大
极小
当有极大值；有极小值．
因为过点可作曲线的三条切线，
则，即，解得，
所以的范围是．
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