湘教版数学九年级上册4.3 解直角三角形学案

4.3
解直角三角形
【学习目标】
理解解直角三角形的概念，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余和锐角三角函数解直角三角形.
知道直角三角形中五个元素的关系.
通过解直角三角形，进一步培养学生的数形结合分析能力，提高其解决问题的能力.
重点难点
重点：用锐角三角函数的知识解直角三角形.
难点：根据已知元素和所要求的末知元素，选择恰当的方法求解.
【预习导学】
自主预习教材P121—122完成下列问题：
1、如图，在
Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别记作a、b、c。
(1)
直角三角形三条边的关系是：　　　　　　　　　　。
（2）直角三角形两个锐角的关系是：　　　　　　　　　。
（3）直角三角形边和锐角的关系有：　　　
　　　　
　　　
　　　　　　　、　
2、如上图，在
Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别记作a、b、c。
（1）若∠A=40°，b
=3cm
，则∠B=　　，a=
　　
，
c=　　
；
（2）若∠A=40°，a
=3cm
，则∠B=　　，b
=
　　
，c=　　
；
（3）若∠A=40°，c
=3cm
，则∠B=　　，a=
　　
，
b
=　　
；
（4）若a
=3cm
，c
=4cm
，则b
=　　
，∠A==　　，∠B
=
　　
；
【探究展示】
（一）
合作探究
1.议一议：在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
（1）给你一条边你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？
（2）给你一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？
（3）给你两个角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？
（4）给你两条边你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说明.
（5）给你一条边和一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说明，关键在哪里？
通过上面的分析总结得出：
在直角三角形中，除直角以外的5个元素（
条边和
个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是
），利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素.
2.
如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A＝30°，a=5，求∠B，b，c.
（1）题目中已知哪些条件？还要求那些元素？
（2）学生独立思考，自己解决.
（3）小组讨论一下各自的解题思路.
解：∠B＝90°-
=90°-
=
又∵
tanB=
∴
b=
=
=
∵sinA=
∴c=
=
=
总结：像这样，把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作
.
（二）展示提升
1.
在
Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，a=6cm,c=10cm,求b，∠A，∠B.
2.如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，cosA=，BC=5，试求AB的长.
【知识梳理】
1.
什么叫解直角三角形？它的依据是什么？
2.
解直角三角形有哪几种种情况？
【当堂检测】
1.
在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠B=45°，b=3cm，求a，c的长度.
2.
如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，BE=2，求tan∠DBE的值.
3.如图，在△ABC中，已知∠Ｃ＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长.
4.如图，在△ABC中，∠AＣB＝90，∠A＝60，斜边上的高CD=，求∠B、AC、AB、BC。
【学后反思】
通过本节课的学习，
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？