人教新课标A版 选修1-1 圆锥曲线的离心率问题的类型与解法综合训练（含答案）

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圆锥曲线的离心率问题
大家知道，圆锥曲线的离心率问题是近几年高考的热点内容之一，可以毫不夸张地说，不管是高考，还是高三的诊断考试，基本上是每卷都有出现。从题型上看，属于5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从考试的深难度来看，属于中、高档题。纵观近几年高考试题，归结起来圆锥曲线离心率问题主要包括：①已知圆锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线的离心率；②已知圆锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线离心率的取值范围。各种问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线离心率问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过对典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、如图，双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别是（-c，0），（c，0），直线y=与双曲线C的两条渐近线分别相较于A，B两点，若B=，则双曲线
的离心率为（
）（2020成都市高三二诊）
A
2
B
C
D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②等腰梯形的定义与性质；③双曲线离心率的定义与基本求法。
【解答思路】题中没有确定焦点在X轴还是Y轴，按理应该分两种情况分别考虑，但椭圆离心率只与长半轴和半焦距有关，这样两种情况求出的结果是一致的，为使问题简化，这里只考虑焦点在X轴上的情况。由正三角形的定义与性质结合椭圆的定义分别求出a，c的值，然后根据椭圆离心率的公式e=
求出结果；
【详细解答】如图，过点B作BDX轴于D，联立y=-x与
y=解得x=-
，y=，
B（-，），RtBD中，D=-c+=，BD=，B=，==，=3，=+=4，==4，e=2，A正确，选A。
2、已知、是椭圆两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若AB是正三角形，则这个椭圆的离心率是（
）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①椭圆的定义与几何性质；②椭圆离心率的定义与求法；③正三角形的定义与性质；
【解答思路】题中没有确定焦点在X轴还是Y轴，按理应该分两种情况分别考虑，但椭圆离心率只与长半轴和半焦距有关，这样两种情况求出的结果是一致的，为使问题简化，这里只考虑焦点在X轴上的情况。由正三角形的定义与性质结合椭圆的定义分别求出a，c的值，然后根据椭圆离心率的公式e=
求出结果；
【详细解答】如图AB是正三角形，AX轴，
y
A=，|A|=2|A|，设|A|
=2，
A
则|A|=1，在RtA中，tan=
=
x
=，
c=，
|A|+
|A|=1+2=3=2a，
a=，
e=
=
=
，C正确，选C。
3、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点分别为，，抛物线=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点，设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且cosP=，则双曲线C的离心率为（
）
A
或
B
或3
C
2或
D
2或3
【解析】
【考点】①双曲线的定义与几何性质；②双曲线离心率的定义与求法；③抛物线的定义与性质；④曲线交点的定义与求法；
【解答思路】题中给出了双曲线方程，已经明确焦点在X轴上，根据问题条件结合双曲线，抛物线的定义与性质分别求出a，c的值，然后由双曲线离心率的公式e=
求出结果；
【详细解答】如图，过作垂直于X轴的直线l，
y
过P作PQl于Q，抛物线=2px（p＞0）与
Q
P
双双曲线C有相同的焦点，P是抛物线与
双曲线C
的一个交点，|PQ|=|P|，
QP=P，
O
x
cosP=，cosQP===，
|P|=|P|，设|P|=7，
则|P|=5，|P|-|P|=7-5=2=2a，a=1，在P中，
|P|=
|P|+|||-2|P|||
cosP，25=49+4-272c，-5c+6=0，c=2或c=3，
e=
=
=2或e=
=
=3，C正确，选C。
〖思考问题1〗
（1）【典例1】是运用公式e=
求椭圆（或双曲线）离心率的问题，解答这类问题的关键是根据题给条件求出椭圆的长半轴a和半焦距c（或双曲线的实半轴a和半焦距c）；
（2）注意从实例解析中体会椭圆（或双曲线）定义的巧妙运用，同时数形结合的数学思想也是解题过程中必不可缺的基本思想与方法。
[练习1]解答下列问题：
1、设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若P为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（
）
A
B
C
2-
D
-1
2、（1）如图，在ABC中，已知BAC=，
B
其内切圆与AC边相切于点D，AD：DC=1：5，
延长BA到E，使BE=BC，连接CE，设以E，C
A
为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C
D
为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则当
C
E
+取最大值时，的值为
；
（2）如图，在ABC中，已知BAC=，其内切圆与AC边相切于点D，AD：DC=1：5，延长BA到E，使BE=BC，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则+的值为
；
3、双曲线=1（a＞0,b＞0）的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为
。
【典例2】解答下列问题：
1、已知平行于X轴的一条直线与双曲线=1（a＞0,b＞0）相交于P，Q两点，|PQ|=4a，
PQO=（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（
）（2021成都市高三一诊）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线离心率的基本方法；③余弦定理及运用。
【解答思路】如图，设，分别为双曲线=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点，连接Q，Q，过点Q作QM垂直于X轴于M，根据余弦定理分别得到|Q||Q|关于a，c的表达式，从而得到|Q|关于a，c的表达式，运用勾股定理得到关于a，c的齐次方程，从而化为关于e的一元二次方程，求解方程求出双曲线离心率e的值就可得出选项。
【详细解答】如图，设，分别为双曲线
y
=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点，连接
P
Q
Q，Q，过点Q作QM垂直于X轴于M，
O
M
x
|PQ|=4a，PQO=，|O|=c，|OQ|=4a，QO=，|Q|=16+-24ac
=16+-4ac，|Q|=16+-24ac（-）=16++4ac，|Q|-|Q|=2a①,
|Q|+|Q|=4c②，联立①②解得：|Q|=2c-a，在RtQM中，|QM|=2a，
|M|=c-2a，12+=，=5，e=，D正确，选D。
2、已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且P=，|P|=3|P|，则C的离心率为（
）（2021全国高考甲卷）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②余弦定理及运用；③求双曲线离心率的基本方法。
【解题思路】根据双曲线的性质和余弦定理，结合问题条件得到关于a，c的等式，运用求双曲线离心率的基本方法求出双曲线C离心率的值就可得出选项。
【详细解答】如图，|P|=3|P|，
|P|-|P|
y
=2|P|=2a，|P|=3a，|P|=a，在P中，
P
P=，||=2c，
4=+9-2a
0
x
3a=7，==，e=，A正确，选A。
3、（理）已知直线y=kx与双曲线C：=1（a＞0,b＞0）相较于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为
；
（文）已知直线y=kx与双曲线C：=1（a＞0,b＞0）相较于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为（
）（2020成都市高三一诊）
A
B
C
2
D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②直线与双曲线相交的定义与性质；③双曲线离心率的定义与性质；；④设而不求，整体代入数学思想的运用；⑤求双曲线离心率的基本方法。
【解题思路】（理）根据直线与双曲线相交的定义与性质，得出+，.关于a，c的式子，结合问题条件得到关于a，c的齐次方程，从而化为关于e的方程，求解方程就可求出双曲线C的离心率。（文）根据直线与双曲线相交的定义与性质，得出+，.关于a，c的式子，结合问题条件得到关于a，c的齐次方程，从而化为关于e的方程，求解方程求出双曲线C的离心率就可得出选项。
【详细解答】如图，设A（，），B（，），双曲线C的右焦点为，连接A，
由
y=kx，（-）=，
+=0，
y
-=1，.=，|AF|=3|BF|=3|
A|，
A
|AF|-
|
A|
=2|
A|=2a，|
A|=a，|OA|=b，
F
0
x
|O|=c，+=，OA=，cos
B
AO=，在AF中，
=+-2.
cosAO
，9=4+
-4ac，12=4，=3，e=。
（文）如图，设A（，），B（，），双曲线C的右焦点为，连接A，联立y=kx与-=1得：（-）=，
+=0，.=，|AF|
=3|BF|=3|
A|，
|AF|-
|
A|
=2|
A|=2a，
y
A
|
A|=a，|OA|=b，|O|=c，+=，
OA=，cosAO=，在AF
F
0
x
中，=+-2.
cos
B
AO
，9=4+
-4ac，12=4，=3，e=，B正确，选B。
4、已知O为坐标原点，F是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别是椭圆C左右顶点，P为椭圆C上一点，且PFX轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与Y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（
）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①椭圆的定义与几何性质；②椭圆离心率的定义与求法；③过定点的直线方程的求法；④直线与曲线（或直线）的交点的求法；
【解答思路】题中焦点在X轴上已经确定，由问题条件得到关于a，c的齐次方程，进一步化为关于e的一元二次（或一元一次）方程，然后求解方程，根据椭圆离心率的取值范围求出结果；
【详细解答】如图，过点A的直线l与线段PF交于点M，
y
与Y轴交于点E，直线l的方程为：y=kx+ka，PFX
轴，直线PF的方程为：x=-c，由
y=kx+ka，M（-c，
P
E
由
y=kx+ka，
x=-c，
k(a-c)），
x=0,E（0，ka），N(0，)，直线BM
A
B
x
的方程为：y=-x
+，
点N(0，)
在直线BM上，
=a+c=2(a-c)，a=3c，=，椭圆离心率e满
足：05、设、分别为双曲线=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在一点P，满足|P|=||，且到直线P的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（
）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与几何性质；②双曲线离心率的定义与求法；
【解答思路】题中焦点在X轴上已经确定，由问题条件得到关于a，c的齐次方程，进一步化为关于e的一元二次（或一元一次）方程，然后求解方程，根据双曲线离心率的取值范围求出结果；
P
【详细解答】如图|P|=
||=2c，M
P，
y
M
|M|=2a，|P|=2|PM|
，|P|-|P|
=|P|-2c
O
x
=2a，|P|=2c+2a，|PM|=a+c，在RtPM中，
|PM|+|M|=|P|，+4=4，3-2ac-5=0，3-2e-5=0，e=-1或e=，
双曲线离心率e满足：e>1，
e=，D正确，选D。
〖思考问题2〗
（1）【典例2】是根据问题条件得到关于a，c的齐次方程，进而化为关于e的方程，再通过求解方程求椭圆（或双曲线）离心率的问题，解答这类问题的关键是根据问题条件得到关于a，c的齐次方程,同时注意求解方程后需要结合椭圆（或双曲线）离心率的取值范围得出结果；
（2）注意从实例解析中体会数形结合的数学思想的渗透，同时方程思想也是解题过程中必不可缺的基本思想与方法。
[练习2]解答下列问题：
1、设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若P为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（
）
A
B
C
2-
D
-1
2、若双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的一条渐近线被圆+=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（
）
A
2
B
C
D
3、设、是双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的两个焦点，p是C上一点，若|P|+|p|=6a，且的最小内角为，则C的离心率为
。
【典例3】解答下列问题：
1、已知点P在椭圆+=1（a>b>0）上，是椭圆的左焦点，线段P的中点在圆+=-上，记直线P的斜率为k，若k1，则椭圆离心率的最小值为
（2021成都市高三零珍）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②已知直线上两点的坐标求直线斜率的公式及运用；③椭圆离心率公式及运用；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】如图，设点P（，）是椭圆上一点，线段P的中点为M，连接P，M，根据椭圆的性质，结合问题条件得到M=a-c，从而得到M=
=，运用直线斜率公式得到关于a，c的不等式，将不等式化为关于椭圆离心率e的不等式，求解不等式求出椭圆离心率的取值范围就可求出椭圆离心率的最小值。
【详细解答】如图，设点P（，），线段P的中点为M，连接P，M，（-c，0），线段P的中点在圆+=-上，OM=c，
P=2c，
P=2（a-c），M=a-c，
M=
P
y
=，直线P的斜率为k，
且k1，
a-c，
+2e-10，
-1+e＜1，
即椭圆离心率的最小值为-1+。
2、如图，椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为e，F是C的右焦点，点P是C上第一象限内任意一点，且sinPOF0)，.=0，若>e，
则离心率e的取值范围是
（2021成都市高三七中二诊）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆离心率的基本方法；③平面向量共线的充分必要条件及运用；④平面向量数量积的定义与性质。
【解题思路】如图，设POF=，根据点P是C上第一象限内任意一点，且sinPOFe得到关于a，b，c，的不等式，求解不等式就可求出离心率e的取值范围。
【详细解答】如图，设POF=，点P是椭圆C上第一象限内任意一点，且sinPOF（0，），
cos（，1），
F是C的右焦点，.=0，F（c，0），FQOQ，Q（ccos，ccossin），=(>0)，P（，），+=1，=
+，>e，+>，>>3，
>3=3（-），>，3、设B是椭圆C：=1（a＞b＞0）的上顶点，C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是（
）（2021全国高考乙卷）
A
［，1）
B
［，1）
C
（0，］
D
（0,
］
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆离心率的基本方法；③求圆标准方程的基本方法。
【解题思路】设点P（，）是椭圆C上任意一点，根据点B（0，b）为定点，|PB|2b，得到椭圆C与以点B为圆心，2b为半径的圆至多有一个公共点，从而得到关于a，c的不等式，化为关于椭圆C离心率e的不等式，求解不等式求出椭圆C离心率e的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设P（，）是椭圆C上的任意一点，B（0，b），|PB|2b，以点B为圆心，2b为半径的圆的标准方程为：+=4，联立椭圆C的方程与圆的方程得：
-2by+-3=0，=4［-（-3）］=4-4+
==0，0，0＜e，C正确，选C。
4、已知，是双曲线=1（a＞0,b＞0）的左右焦点，经过点且与X轴垂直
的直线与双曲线的一条渐近线相较于点A，且A，则该双曲线离心率的取值范围是（
）（2020成都市高三三诊）
A
[，]
B
[，3]
C
[3，]
D
[，3]
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②直角三角形的定义与性质；③锐角三角函数的定义与性质；④双曲线离心率的定义与基本求法。
【解答思路】运用双曲线性质，结合问题条件求出点A的坐标，从而根据直角三角形的性质得到|A|关于a，c的式子，利用锐角三角函数得到cosA关于a，c的式子，由问题条件得到关于双曲线离心率e的不等式，求解不等式求出双曲线离心率e的取值范围就可得出选项。
【详细解答】如图，连接A，联立x=c与y=x
y
A
解得：x=c，y=，点A的坐标为（c，），
在RtA中，||=2c，|A|=，
O
|A|==，cosA===
，A，cosA，
cosA
，，，e，A正确，选A。
5、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点分别为（-c，0），（c，0），又点N（-c，），若双曲线C左支上的任意一点M均满足|M|+|MN|>4b，则双曲线C的离心率的取值范围为（
）（2020成都市高三零诊）
A
（，）
B
（，）
C
（1，）（，+
）
D
（1，）（，+
）
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线离心率的定义与求法；③不等式的定义与解法。
【解题思路】运用双曲线的性质和双曲线离心率的基本求法，结合问题条件得到关于双曲线离心率e的不等式，求解不等式就可得出选项。
【详细解答】如图，连接N，交双曲线C的左支
N
y
于点M，
N（-c，），M（-c，），|M|
M
-|M|=2a，|MN|=-=，|M|=2a+
0
x
|M|=，双曲线C左支上的任意一点M均满足|M|+|MN|>4b，+
=>4b，4>8ab，16-40+9>09-58+65>0，
<或>5，1，C正确，选C。
6、椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P，满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（
）
A
(0，〕
B
(0，〕
C
〔-1，1）
D
〔，1)
【解析】
【考点】①椭圆的定义与几何性质；②椭圆离心率的定义与求法；③线段垂直平分线的定义与性质；
【解答思路】题中焦点在X轴上已经确定，由问题条件得到关于a，c的齐次不等式，进一步化为关于e的一元二次（或一元一次）不等式，然后求解不等式，根据椭圆离心率的取值范围得出结果；
【详细解答】如图,连接PF，线段PA的垂直平分线过
y
P
点F，|PF|=|FA|，|PF|+|OF|=|OF|+|FA|=|OA|=，
A
x
P是椭圆上一点，a-c|PF|a+c，a|PF|+|OF|
=|OF|+|FA|=|OA|a+2c，aa+2c，acac+2，e12+e，
e-1或e1，椭圆离心率e满足：07、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别为（-c，0），（c，0），
若双曲线C上存在一点P，使得=，则双曲线C的离心率的取值范围是（
）A
（1，1+）
B
（1，1+）
C
（1，）
D
（1，）
【解析】
【考点】①双曲线的定义与几何性质；②双曲线离心率的定义与求法；③任意三角形正弦定理的理解与运用；
【解答思路】题中焦点在X轴上已经确定，由问题条件得到关于a，c的齐次不等式，进一
步化为关于e的一元二次（或一元一次）不等式，然后求解不等式，根据椭圆离心率的取值
范围得出结果；
y
P
【详细解答】如图，P是双曲线上一点，且=，
O
x
在P中，
=，==，
|P|-|P|=2a，|P|=
，|P|=，在P中，
|P|-|P|<||=2c<|P|+|P|，-<2c<+2ac-2<2-2ac<2ac+2，e-1<-e1-e>1，1<
e<1+，A正确，选A。
〖思考问题3〗
（1）【典例3】是求椭圆（或双曲线）离心率取值范围的问题，解答这类问题的基本思路是：①根据题给条件得到关于a，c的齐次不等式；②将①中的不等式化为关于e的不等式；③求解②中的不等式；④根据椭圆（或双曲线）离心率满足的条件得出结果；
（2）注意从实例解析中体会数形结合的数学思想的渗透，同时方程，不等式思想也是解题过程中必不可缺的基本思想与方法。
[练习3]解答下列问题：
1、设、分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在其准线上存在点P，使线段P的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是（
）
A
(0，〕
B
(0，〕
C
〔,1)
D
〔,1)
2、设a＞1，则双曲线=1的离心率e的取值范围是（
）
A
(,2)
B
(,)
C
(2,5)
D
(2，)
【典例4】解答下列问题：
1、（理）已知F为双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于X轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为
；
（文）设，是双曲线C：-=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上，且|OP|
=2，则P的面积为（
）（2020全国高考新课标I）
A
B
3
C
D
2
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②直角三角形的定义与性质；③直线斜率的定义与性质；④求双曲线离心率的基本方法；⑤求三角形面积的基本方法。
【解题思路】（理）如图，连接AB，运用双曲线的性质，结合问题条件求出点B的坐标，根据直线AB的斜率为3得到关于a，c的等式，利用求双曲线离心率的基本方法就可求出双曲线C的离心率；（文）运用双曲线的性质，结合问题条件求出||的值和点P的坐标，利用求三角形面积的基本方法通过运算求出P的面积就可得出选项。
【详细解答】（理）如图，连接AB，
F为双曲线
y
B
C：=1（a＞0,b＞0）的右焦点，A为C的右
顶点，B为C上的点，且BF垂直于X轴，A（a，0），
0
A
F
C（c，0），B（c，），
AB的斜率为3，===3，e=2，
双曲线C的离心率为2。（文），是双曲线C：-=1的两个焦点，（-2，0），（2，0），||=4，
O为坐标原点，点P在C上，且|OP|,=2，-=1①，+=4②，联立①②解得：x=，y=，点P（，），
=4=3，B正确，选B。
2、（理）设双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别为，，离心率为，
P是C上一点，且PP，若P的面积为4，则a=（
）
A
1
B
2
C
4
D
8
（文）设双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=x，则C的离心率为
（2020全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②直角三角形的定义与性质；③求三角形面积的基本方法；④求双曲线离心率的基本方法；⑤双曲线渐近线的定义与性质。
【解题思路】（理）如图，运用双曲线的性质，结合问题条件得到关于a的方程组，求解方程组求出a的值得出选项；（文）运用双曲线的性质，结合问题条件得到关于a，b的等式，从而求出c关于a的表示式，利用双曲线离心率的公式通过运算求出双曲线C的离心率。
【详细解答】（理）如图，双曲线C：=1
y
P
（a＞0,b＞0）的左右焦点分别为，，P是C上
一点，||P|-|P||=2a，|P|-2|P.||P|+
0
||P|=4①，PP，P的面积为4，|P.||P|=8②，双曲线C的离心率为，=，c=a③，联立①②③解得：a=1，A正确，选A。
（文）双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=x，=，
=2，=+==+2=3，==3，e=，双曲线C的离心率为。
3、（理）已知，是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点，A是C的左顶点，P在过A且斜率为的直线上，P为等腰三角形，P=，则C的离心率为（
）
A
B
C
D
（文）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，若PP，且P=，则C的离心率为（
）
A
1-
B
2-
C
D
-1
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②等腰三角形的定义与性质；③直角三角形的定义与性质；④求椭圆离心率的基本方法。
【解题思路】（理）如图，过P作PB
X轴于点B，运用等腰三角形的性质，结合问题条件得到|P|=||=2c，PB=，从而求出|B|=c，|PB|=c，得到点P的坐标，根据点P在直线AP上得到关于a，c的等式，求出椭圆离心率e就可得出选项；（文）运用椭圆的定义与性质，直角三角形的性质，结合问题条件得到关于a，c的等式，求出椭圆离心率e就可得出选项。
【详细解答】
（1）如图,过P作PB
X轴于点B，
y
P
P为等腰三角形，P=，|P|
=||=2c，PB=，|B|=c，|PB|=c，A
B
x
P（2c，c），
直线PA过点A（-a，0）
，
斜率为，直线PA的方程为：y=(x+a)，点P在直线AP上，
c=（2c+a），4c=a，e=，D正确，选D。
（文）如图，P是C上一点，PP，P=，
y
在RtP中，||=2c，
|P|=c，|P|=c，
P
|P|+|P|=2a，c+c=2a，(1+)e=2，
x
e=-1，D正确，选D。
4、已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A、B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（
）
A
（0，］
B
(0
，］
C
［，1）
D
［，1）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②直线与椭圆相交的定义与性质；③点到直线的距离公式及运用；④求椭圆离心率的基本方法。
【解题思路】设椭圆左焦点为，连接A，B，运用椭圆的定义与性质，结合问题条件得到四边形AB是平行四边形，从而求出a的值，根据点到直线的距离公式得到关于b的不等式，求解不等式求出b的取值范围，从而求出椭圆离心率的取值范围就可得出选项。
【详细解答】如图,设椭圆的左焦点为，连接A，
y
B，
|OF|=|O|，|OB|=|OA|，四边形AB
M
A
是平行四边形，|A|=|BF|，|AF|+|BF|=4，
x
|A|+|AF|=4=2a，a=2，设M（0，b），
B
==，b1，0<4=1=3，05、设F为双曲线C：-=1（a＞0，
b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆+=交于P，Q两点，若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（
）
A
B
C
2
D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求双曲线离心率的基本方法。
【解题思路】设线段PQ与与X轴交于点A，连接PO，PF，运用双曲线和圆的性质，结合问题条件得到|PA|关于c的式子，根据勾股定理得到|PF|关于a，c的式子，利用相似三角形的性质得到关于a，c的等式，求出双曲线的离心率就可得出选项。
【详细解答】如图，设线段PQ与与X轴交于
y
点A，连接PO，PF，
以|OF|为直径的圆与
P
圆+=交于P，Q两点，|PQ|=|OF|，
F
x
|PA|=|PQ|=|OF|=，在
RtPOF中，
|OF|=c，|OP|=a，|PF|===b，在POF与PAF中，PFA=PFO，OPF=FAP=，POF
PAF，=，=，=2ab，=4=4（-），=4-4，-4+4=0，=2，e=，双曲线离心率e满足：e>1，e=，A正确，选A。
6、设双曲线的左准线与两条渐进线交于A、B两点，左焦点为在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（
）
A
（0,
)
B
（1,
)
C
（,1)
D
（1，+∞)
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求双曲线离心率的基本方法。
【解题思路】运用双曲线的定义与性质，结合问题条件求出的A，B的坐标，从而求出以|AB|为直径的圆的方程，利用点在圆内单调关于a，c的不等式，求解不等式得到双曲线离心率的取值范围就可得出选项。
【详细解答】如图，双曲线的左准线x=-
与两条渐近线相较于A，B
两点，设点A在点B的上方，由x=-
，A（-，），
A
y
由x=-
，
y=-x，，
O
x
y=x，
B（-，-），以|AB|为直径的
B
圆的方程为：
+=，点（-c，0）圆内，+0<，-2+<，-2+-<0，-2+-（-）<0，-3+2<0，-3+2<0，1<<2，-1，1〖思考问题4〗
（1）圆锥曲线离心率是近几年高考的热点问题，题型一般是选择题或填空题，难度系数为中档或高档，主要问题包括：①求椭圆（或双曲线）的离心率；②求椭圆（或双曲线）离心率的取值范围。
（2）注意从实例解析中体会数形结合的数学思想的渗透和平面几何知识的灵活运用，同时方程，不等式思想也是解题过程中必不可缺的基本思想与方法。
O
0
M
N
F
O
0
M
x
x
O
F
0
O
0
O
0
O
F
0
O
A
B
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