人教版数学2021-2022学八年级上册第12章-12.3第1课时《角平分线的性质》同步训练(word版，含解析)

人教版数学2021-2022学八年级上册第12章-
12.3第1课时《角平分线的性质》同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（
）
A．21
B．80
C．40
D．45
2．如图，Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，垂足为E．若AC=10cm，CE=4cm，则AB的长度为（
）
A．10cm
B．6cm
C．4cm
D．2cm
3．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为(　　)
A．8
B．6
C．5
D．4
4．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2．
A．24
B．27
C．30
D．33
5．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是
（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．如图，BD平分∠ABC,DA⊥AB于点A,AD=5，P为BC边上一动点，则DP长的最小值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．无法确定
7．如图，平分,,,于,,则∠ACP=（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB=8.1cm，BC=6cm，△BDE的周长为（
）cm
A．12
B．14.1
C．16.2
D．7.05
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O时∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝8
cm，AB＝6
cm，AC＝10
m，则点O到边AB的距离为（
）
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
10．如图，D为∠ABC的平分线上一点，P为平分线上异于D的一点，PA⊥BA，PC⊥BC，垂足分别为A、C，则下列结论错误的是（　　）
A．AD=CD
B．∠DAP=∠DCP
C．∠ADB=∠BDC
D．PD=BD
二、填空题
11．如图所示，在△ABC中，，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD＝5cm，那么点D到直线AB的距离是______cm．
12．如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为(3a，a＋10)，则a＝________．
13．已知直角三角形ABC的三条角平分线交于点I，且此三角形的三边长分别为6、8、10，则点I到AB的距离为________.
14．如图，在中，，，平分交于点，，垂足为，且，的长为______．
15．如图，在中，，平分交于点D，若，且，则点D到的距离为__________．
16．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB＝2AC，则S△ABD∶S△ACD＝___
三、解答题
17．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：四边形ABCD．求作：点P，在直线BC上方，使∠PCB=∠B，且点P到AB和BC的距离相等．
18．如图，∠AOB＝44°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，垂足分别为A，B．求∠MAB的度数．
19．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，AE平分∠BAD，求证：AE⊥DE.
20．已知如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是、．求证：．
21．如图所示，OD平分∠AOB，OA
=OB，PM⊥BD，PN⊥AD
求证：PM=PN
22．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，求AC的长．
参考答案
1．C
【分析】
如图，过点D作DH⊥AB于H．证明DC=DH=5，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
由作图可知，AP平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC=DH=5，
∴S△ABD=?AB?DH=×16×5=40．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题，属于中考常考题型．
2．B
【分析】
根据已知条件可证得△ABD≌△AED，得到AB=AE，然后根据已知条件计算即可．
【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=∠DBA=90°，
在△ABD和△AED中
∴△ABD≌△AED（AAS）,
∴AB=AE=AC-EC=6cm，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的性质，利用三角形全等性质得到边相等是解题的关键．
3．D
【分析】
根据平行线定理判定，再有垂线段最短性质，作出辅助线，最后由角平分线性质解题即可．
【详解】
，
根据垂线段最短的原则，得，当时,
取最小值，如图，
和分别平分和
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线定理、垂线段最短性质、角平分线性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．B
【分析】
过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积．
【详解】
解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
5．A
【分析】
由角平分线上的点到角两边的距离相等可知，D到OB边的距离等于DE的长，再由点到直线的距离垂线段最短即可求解．
【详解】
解：∵OD是∠AOB的角平分线，
由“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知，
D到OB边的距离等于DE长，即为4，
又由点到直线的距离垂线段最短可知，
DF≥4，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理，熟记“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解决本题的关键．
6．B
【分析】
根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用角平分线的性质得到DP的长．
【详解】
解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，
∵BD平分∠ABC，AD⊥AB，AD=5，
∴点D到BC的距离为5，
即DP的最小值为5，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角平分线的性质，解题的关键学会利用垂线段最短解决最值问题．
7．C
【分析】
如图，作PT⊥AN于T．由Rt△PTC≌Rt△PDB（HL），推出∠PCT=∠PBD，只要求出∠PBD即可解决问题；
【详解】
解：如图，作PT⊥AN于T．
∵PA平分∠MAN，PT⊥AN，PD⊥AM，
∴PT=PD，∠PTC=∠PDB=90°，
∵PC=PB，
∴Rt△PTC≌Rt△PDB（HL），
∴∠PCT=∠PBD，
∵∠PBD=90°-50°=40°，
∴∠PCT=40°，
∴∠ACP=180°-40°=140°，
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．B
【分析】
根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知点一定是内角平分线的交点，再利用两直线平行内错角相等证得DP=DA，EP=EC，从而求得答案.
【详解】
∵点P到△ABC三边的距离相等，
∴PA、PC分别是、的平分线，
又∵DE∥AC，
∴，，
∴，
△BDE的周长
故选：B
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形周长的求法，能通过等量代换得到相等的角是解题的关键．
9．B
【分析】
利用三角形角平分线的性质得到点O到三角形三边距离相等.
过O作OP⊥AB，连接OB，根据题意再结合三角形面积求法得出答案．
【详解】
∵点O为∠CAB与∠ACB的平分线的交点，
∴点O在∠ACB的角平分线上，
∴点O到三角形三边距离相等.
过O作OP⊥AB，连接OB，
∴S△ABC=S△AOC+S△OAB+S△OBC＝OP?AC+OP?AB+OP?BC=OP?（AB+BC+AC），
又∵AC=10，BC=8，AB=6，
∴×6×8=?OP（6+8+10），
解得：OP=2．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形面积是解题关键．
10．D
【解析】
试题解析：∵点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，
∴≌，
∴在△APD和△CPD中，
∴≌，
∵是上任意一个与不同的点，
不一定成立．
故选D．
11．3
【分析】
根据BD，BC可求CD的长度，根据角平分线的性质作DE⊥AB，则点到直线AB的距离即为DE的长度．
【详解】
过点D作DE⊥AB于点E
∵BC=8cm，BD＝5cm，
∴CD=3cm
∵AD平分∠CAB，CD⊥AC
∴DE=CD=3cm
∴点到直线AB的距离是3cm
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，合理添加辅助线是解题的关键．
12．5
【分析】
根据作图方法可知点C在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点C到x轴和y轴的距离相等，结合点C在第一象限，可得关于a的方程，求解即可．
【详解】
解：∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，
∴点C在∠BOA的角平分线上，
∴点C到x轴和y轴的距离相等，
又∵点C在第一象限，点C的坐标为（3a，a+10），
∴3a=a+10，
∴a=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．
13．2
【分析】
由三角形ABC可以用三个小三角形之和表示可得答案.
【详解】
解:
I到AB的距离为为h，由角平分线可知，I点到各边的距离都为h，
得：=68=（6+8+10）h；
可得h=2，
即点I到AB的距离为2.
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质.
14．6.
【分析】
根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质求解即可.
【详解】
解：∵在中，，，
∴=.
∵平分交于点，，
∴CD=DE.
∴=CD+BD=BC=6cm.
故答案为6.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质和角平分线的性质，理解相关性质是解题的关键.
15．3
【分析】
首先过点D作DE⊥AB于E，又由在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，根据角平分线的性质，即可得CD=DE，又由BD：DC=5：3，BC=8，可得DE的长，可得结果．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于E，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD=DE，
∵BD：CD=5：3，
设BD=5x，DC=3x，
即DE=3x，
∵BC=8，
∴5x+3x=8，解得：x=1，
∴DE=3，
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．
16．2
【详解】
试题分析：∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，即△ABD和△ACD中AB和AC边上的高相等，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=2
考点：角平分线的性质
17．见解析
【分析】
根据角平分线上任意一点，到角两边的距离相等，可得点P在线段CD的角平分线上，要想满足∠PCB=∠B，则再作∠BCP即可．
【详解】
解：如图所示，点P即为所求．
【点睛】
本题是作图题，考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上任意一点到角两边的距离相等是关键．
18．∠MAB=22°
【分析】
由角平分线的性质可得MA=MB，再求解出∠AMB的大小，在△ABM中，则可求解∠MAB的值．
【详解】
∵∠AOB=44°，且OM为其平分线，
∴∠AOM=∠BOM=22°，
又MA⊥OA，MB⊥OB，
∴MA=MB，∠AMO=∠BMO=68°，
∴∠AMB=136°，
∴∠MAB=
(180°?∠AMB)=
×(180°?136°)=22°.
【点睛】
本题考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理以及角平分线的性质.
19．见解析
【分析】
过点E作EF⊥AD于点F，由角平分线的性质可知EF=BE，由于E是BC的中点，所以CE=EB，所以EF=CE，再由角平分线的判定定理可知点E在∠CDA的平分线上，然后根据平行线的判定证出CD∥AB，从而证出∠BAD＋∠CDA=180°，结合角平分线的定义求出∠EAD＋∠EDA=90°，从而得出∠AED=90°，即可证出结论．
【详解】
证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵∠B=90°，AE平分∠BAD，
∴EF=BE，∠EAD=∠BAD
∵E是BC的中点，
∴CE=EB，
∴EF=CE，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠CDA的平分线上，
∴∠EDA=∠CDA
∵∠B=∠C=90°
∴∠B＋∠C=90°
∴CD∥AB
∴∠BAD＋∠CDA=180°
∴∠EAD＋∠EDA=∠BAD＋∠CDA
=（∠BAD＋∠CDA）
=90°
∴∠AED=90°
∴AE⊥DE．
【点睛】
本题考查角平分线性质及判定、平行线的判定及性质和直角三角形的判定，熟练掌握角平分线性质及判定、平行线的判定及性质和直角三角形的判定是解题的关键．
20．见解析
【分析】
首先由角平分线的性质可得DE＝DF，又有BD＝CD，可证Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB＝FC．
【详解】
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB＝FC．
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大．
21．证明见解析.
【分析】
由已知容易求证△OBD≌△OAD（SAS），可得∠3=∠4，再根据角平分线性质的逆定理，可证PM=PN．
【详解】
解：∵OD平分∠AOB，
∴∠1=∠2.
在△OBD和△OAD中，
，
∴△OBD≌△OAD(SAS).
∴∠3=∠4.
∵PM⊥BD，PN⊥AD，
∴PM=PN.
22．AC＝4．
【分析】
根据角平分线的性质可知DF＝DE＝2，再依据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可求AC值．
【详解】
解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝5，
∴9＝×5×2+×AC×2，
∴AC＝4．