1.3.2基本不等式（第二课时） 课件——2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册(共79张PPT)

(共79张PPT)
第二课时
1.3.2基本不等式
北师大（2019）必修1
环节一
知识理论板块
1．重要不等式
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当
时取“＝”)
A.
a＝b
B.
a＝b>0
C.
a＝b≥0
重要不等式适用于全体实数，只要两个变量a,b相等，等号可成立
2.
基本不等式：≤,成立的条件：a，b均为(
)
等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
A.实数
B.正实数
C.负实数
基本不等式强调：一正、二定、三等。就是其应用全过程的三个关键节点。
3.
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为
平均数为
；
A.?+?,
B.，
C.?+?,2
D
,
除了这两个，还有平方均数、调和均数、对数均数。共同构成不等式关系链。
4.
≤有时候变成使用，两个不等式适用范围是（）
A.
前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.
B.
前者条件是a，b∈R.,后者是a>0，b>0.
C.都是
a>0，b>0，D.
都是a，b∈R.
这说明使用后者更加放心，因为它适用范围更广。
5.
设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有（）
A.最大值
B.最小值
C.
最大值
D.最小值
6.
设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有（）
A.最大值
B.最小值
C.
最大值
D.最小值
7．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　)
A．x≥2y　　　　
B．x＞2y
C．x≤2y
D．x＜2y
B　.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B.
8．给出下列说法：
①若x∈(0，π)，则sin
x＋≥2；
②若a，b∈(0，＋∞)，则lg
a＋lg
b≥2；
③若x∈R且x≠0，则≥4.
其中正确说法的序号是
．
A.
①②
B.
①③
C.
②③
①因为x∈(0，π)，所以sin
x∈(0，1]，所以①成立；
8．给出下列说法：
①若x∈(0，π)，则sin
x＋≥2；
②若a，b∈(0，＋∞)，则lg
a＋lg
b≥2；
③若x∈R且x≠0，则≥4.
其中正确说法的序号是
．
A.
①②
B.
①③
C.
②③
②只有在lg
a>0，lg
b>0，即a>1，b>1时才成立；
8．给出下列说法：
①若x∈(0，π)，则sin
x＋≥2；
②若a，b∈(0，＋∞)，则lg
a＋lg
b≥2；
③若x∈R且x≠0，则≥4.
其中正确说法的序号是
．
A.
①②
B.
①③
C.
②③
③＝|x|＋≥2=4成立．
9.
下列不等式中正确的是(　　)
A．a2＋b2≥4ab　　　　　　B．a＋≥4
C．a2＋2＋≥4
D．a2＋≥4
【解析】选D.A.
a2＋b2－4ab＝(a－b)2－2ab不一定大于等于零，所以该选项错误；
B．a＋，当a取负数时，显然a＋<0，所以a＋≥4错误，所以该选项错误；
9.
下列不等式中正确的是(　　)
A．a2＋b2≥4ab　　　　　　B．a＋≥4
C．a2＋2＋≥4
D．a2＋≥4
C．a2＋2＋≥2＝2，当且仅当a2＋2＝1时成立，由于取得条件不成立，所以a2＋2＋>2，如a＝0时，a2＋2＋＝<4，所以该选项错误；
9.
下列不等式中正确的是(　　)
A．a2＋b2≥4ab　　　　　　B．a＋≥4
C．a2＋2＋≥4
D．a2＋≥4
D．a2＋≥2＝4，当且仅当a＝±时取等号，所以该选项正确．
9.
下列不等式中正确的是(　　)
A．a2＋b2≥4ab　　　　　　B．a＋≥4
C．a2＋2＋≥4
D．a2＋≥4
D．a2＋≥2＝4，当且仅当a＝±时取等号，所以该选项正确．
环节二
单元基本不等式应用
和化积
对勾型，直接用
1.函数的最小值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
解析：
时等号成立.
和化积
对勾型，直接用
2.函数在区间上的最小值是（
）
A.3
B.5
C.
4　
D.
解析：由于，则函数，当且仅当，即有，取得最小值4.故选C.
和化积
对勾型，直接用
3.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝
A.10
B.20
C.30
解：总运费与总存储费用之和y＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，当且仅当4x＝，即x＝20时取等号．
和化积
对勾型，不能用
4.值域（）
A.
B.
解：
,
但这不可能，所以基本不等式失效。
等下一步学习函数的图像和性质，可以观察对勾曲线或者根据在上单调递增，得到最小值是．
和化积
可化为对勾型
5．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)
A．最大值为0
B．最小值为0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
C　∵x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
和化积
可化为对勾型
6．设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)
A．3　
B．3－2　　
C．－1　
D．3－2
D　∵x>0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2，则3－3x－≤3－2，故选D.
和化积
可化为对勾型
7.若，则的最小值是___________.
A.4
B.5
C.6
D.7
解析：∵
，∴
，
∴
，当且仅当时取等号，∴
的最小值是5.
和化积
可化为对勾型
8.若，且，则的最小值为_________．
A.18
B.17
C.16
D.15
解析：∵,且，解得.
∴，当且仅当时取等号，此时的最小值为18.
和化积
可化为对勾型
9．已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是
．
A.
B.
C.
D.
解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2－b2<4，综上可知m>n.
和化积
可化为对勾型
10．已知(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于(　　)
A．1＋
B．2
C．3
D．4
B　＝＝x＋
＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
和化积
可化为对勾型
11．若－4(　　)
A．有最小值1
B．有最大值1
C．有最小值－1
D．有最大值－1
D　[f(x)＝＝，又∵－40．故f(x)＝－≤－1．当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
和化积
可化为对勾型
12.最小值（
）
A.8
B.9
C.10
D.11
解：令
当且仅当
注：一次比二次或二次比一次可以把一次看作t，把整个比例式换元成关于t的函数，进一步可以分离成对勾等。
13.已知，求函数最小值（
）
A.1
B.
C.
D.2
和化积
可化为对勾型
解：=?,当且仅当，即时取等号。
点评：二次比二次一般是分离常数项后，转化为一次比二次或二次比一次。本题是特殊化法。
14．若0．
A.
B.
C.
积化和
[由00，
故＝·≤·＝，
当且仅当x＝时，上式等号成立．
所以0<≤.]
环节三
多元基本不等式应用
1.已知，则的最小值是（　　
）
A．
B．4
C．
D．5
整体代换法
直接套用
解析：，当且仅当时取等号，所以选A.
2.设,且.求的最小值.
A．
B．9
C．
D．5
整体代换法
直接套用
∵,∴.当且仅当,即时取“=”.
∴的最小值为9.
3.已知都是正数，且，则的最小值等于(
)
A．6
B．
C．
D．
整体代换法
直接套用
解析：故选C
4.已知两个正数满足,则使不等式恒成立的实数m的范围是__________.
A.
B.
C.
整体代换法
直接套用
解析：由题意知两个正数满足,则,当时取等号;∴的最小值是,
∵不等式恒成立,∴.故答案为:
.
5．已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
整体代换法
直接套用
B　[对任意的正实数x，y，(x＋y)
＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a＞0)，当且仅当y＝x时取等号，所以(x＋y)的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立．所以a≥4，故选B.]
6．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，则这两个数的和
A.16
B.15
C.14
D.13
整体代换法
直接套用
解：设＝1，a，b∈N
，∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)(
)
＝1＋9＋≥10＋2＝10＋2×3＝16，当且仅当＝，即b＝3a时等号成立．∴a＝4，b＝12．这两个数的和是16．
7.已知正数满足,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
整体代换法
变条件，再套用
解析：因为,所以,于是
当且仅当,即时,等号成立,故选A.
?
8.已知实数，若，则的最小值是(
)
A．
B．
C．
4
D．8
整体代换法
变条件，再套用
解析：∵实数，，
则，,当且仅当时取等号。故选：D.
?
9.若，且，则的最小值是________.
A.5
B.6
C.7
D.8
整体代换法
变条件，再套用
解析：∵，∴，
∴
，当且仅当即时取等号
10.若，且，求的最小值__________.
A.
B.2
C.
D.3
整体代换法
变条件，再套用
解析：因为，且，所以，
所以，
10.若，且，求的最小值__________.
A.
B.2
C.
D.3
整体代换法
变条件，再套用
当且仅当，即，时，取等号，所以的最小值为，故答案为．
11.设,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
整体代换法
变目标，再套用
解析：,,当且仅当,即,时,取“=”.故选A.
12.设为正数，且，则的最小值为(
)
A．
B．
C．
D．
整体代换法
变目标，再套用
解析：当时，，因为，
当且仅当时，即取等号，则.
13.若,则
的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
整体代换法
变目标，再套用
解析：由题意知，又，
∴，当且仅当,即时取“=”；所以的最大值为.故选：C.
14.已知
，且，则的最小值为(
)
A．3
B．5
C．7
D．9
整体代换法
变目标，再套用
解析：
，
当且仅当时，取得最小值7
15.已知，并且=4，则的最小值为(
)
A．
B．2
C．
D．4
整体代换法
变目标，再套用
解析：则，当且仅当时取得等号，的最小值为．
16.若直线过点，则的最小值为A.7
B.8
C.9
D.10
整体代换法
变目标，再套用
解析：直线过点，则，
由
，当且仅当，即时，取等号，的最小值为8，
17.已知且,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
整体代换法
条件与目标联合变，再套用
解析：,,,且,的最小值为.
18.若,且,则的最小值为(
)
A.2
B.
C.
D.
整体代换法
条件与目标联合变，再套用
解析：由,可知,所以,当且仅当
18.若,且,则的最小值为(
)
A.2
B.
C.
D.
整体代换法
条件与目标联合变，再套用
即时,等号成立.
19．(多选题)已知a＞0，b＞0，若不等式≥恒成立，则m的可能取值为(　　)
A．9
B．12
C．18
D．24
整体代换法
条件与目标联合变，再套用
AB　[因为a＞0，b＞0，由≥，得m≤(a＋3b)＝＋6≥2＋6＝12，当且仅当，即a＝3b时等号成立，
∴m≤12，
1.已知且则xy的最小值为(
)
A.100
B.81
C.36
D.9
化归法
直接化归
解析：本题考查基本不等式.因为，所以当且仅当即时等号成立，所以故选C.
18.若,且,则的最小值为(
)
A.2
B.
C.
D.
整体代换法
条件与目标联合变，再套用
即时,等号成立.
1.已知且则xy的最小值为(
)
A.100
B.81
C.36
D.9
化归法
直接化归
解析：本题考查基本不等式.因为，所以当且仅当即时等号成立，所以故选C.
2.已知正数满足，则的最小值是(
)
A.
B.
C.
D.
化归法
直接化归
解析：因为，所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：C
3.若，
，且．求的最小值（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
化归法
直接化归
，
，且，
，
，
当且仅当时取等号．，当且仅当时取等号，的最小值为2．
4．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为
．
A.200
B.300
C.400
D.450
化归法
直接化归
解：　因为x，y都是正数，
且x＋y＝40，所以xy≤＝400，当且仅当x＝y＝20时取等号．
5.若a>b>1，P＝，Q＝(lg
a＋lg
b)，R＝lg
，则P，Q，R的大小关系是
．
A.
P>Q
B.
P≥Q
C.
PD.
P≤Q
化归法
直接化归
解：因为a>b>1，所以lg
a>lg
b>0，所以Q＝(lg
a＋lg
b)>
＝P；Q＝(lg
a＋lg
b)＝lg
＋lg
＝lg
<
lg
＝R.
所以P6.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则
(　　)
A.x=
B.x≤
C.x>
D.x≥
化归法
直接化归
【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,
所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤,所以1+x≤1+,故x≤.
7.已知a>0,b>0,ab=1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是
(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
化归法
直接化归
【解析】选C.由题意知a>0,b>0,
则≥
当且仅当b=2a时等号成立.
所以，≥.
9．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16
B．25
C．9
D．36
化归法
直接化归
B　[(1＋x)(1＋y)≤＝＝25，
因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，
(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B．]
10.设均为正数,且,则的最小值为(
　　)
A.1
B.3
C.6
D.9
化归法
变条件，再化归
解析：因为均为正数，且，所以，整理可得，再由均值不等式可得，整理可得，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，故答案为D
1.已知，且，则的最小值为
A.4
B.5
C.6
D.7
配凑法
解析：依题意得，当且仅当即时取等号.因此，的最小值为4.
2.已知则的最小值等于_______.
A.
B.
C.
配凑法
解析：由题意得,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为.
3.设a>b>0，求a2＋＋的最小值．
A.3
B.4
C.5
D.6
配凑法
解：因为a>b>0，所以a－b>0，a2－ab>0，则a2＋＋＝(a2－ab)＋＋＋ab≥4，当且仅当a2－ab＝且＝ab，即a＝，b＝时取等号．∴a2＋＋的最小值为4.
4．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为____．
A.1
B.2
C,3
D.4
配凑法
2　[依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.]
5．已知a>b>0，求a2＋的最小值(
)
A.14
B.15
C.16
D.17
配凑法
[解]　∵a>b>0，所以b(a－b)≤＝，
∴a2＋≥a2＋≥16．
当且仅当
故a2＋的最小值为16．
6.已知，则最大值（）
A.
B.
C.
配凑法
解：
最大值
7.
配凑法
8.（
）
A.
B.
C.2
配凑法
解：
1.
（）
A.
3
B.
4
C.5
判别式法
解：令
,由
1.
（）
A.
3
B.
4
C.5
判别式法
说明：
大，要结合根的分布检验。当然，可以在使用判别式的同时，把正根的因素考虑进去。由于这涉及到了将来对有限一元二次方程分布问题的解法，在这里讲有点早。可以给学生讲，最值取等号主要来自于凑答案。
2.已知实数a,b,c，求a的最大值（）
A.
B.
C.
判别式法
解：设a=k,
，得
1.已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．
A.3
B.5
C.4
D.1
消元法
3　[由题意得y＝，
∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
2.设计用32
m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2
m，则车厢的最大容积是________m3，此时厢高与厢长之和为________m.
消元法
设车厢的长为b
m，高为a
m.
由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝，
∴V＝a··2＝2·.
设a＋1＝t，则V＝2
≤26，
当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立．a＋b＝6.]
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