2020-2021学年苏科新版八年级上册数学《第3章 勾股定理》单元测试卷（word版含解析）

2020-2021学年苏科新版八年级上册数学《第3章
勾股定理》单元测试卷
一．选择题
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝25°，则∠BDC等于（　　）
A．44°
B．60°
C．67°
D．70°
2．以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（　　）
A．1、2、3
B．5、12、13
C．1、1、
D．6、7、8
3．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，5，9
B．4，6，8
C．13，14，15
D．6，8，10
4．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（　　）
A．a＝15，b＝8，c＝17
B．a＝9，b＝12，c＝15
C．a＝7，b＝24，c＝25
D．a＝3，b＝4，c＝7
5．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（　　）
A．90°
B．135°
C．120°
D．45°或135°
6．如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（　　）
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
7．下列说法中错误的是（　　）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形
8．如图，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝9，S2＝16，则S3的值为（　　）
A．7
B．10
C．20
D．25
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（　　）
A．15m
B．9m
C．7m
D．8m
二．填空题
11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，连接BE．若∠A＝40°，则∠CBE的度数为　
　．
12．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝　
　度．
13．请写出一组勾股数　
　（三个数都要大于10）．
14．一根木杆在离地2.5米处折断，木杆的顶端落在离木杆底端6米处，则木杆折断之前的高度为　
　米．
15．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是　
　．
16．如图，在直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长为　
　．
17．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D均在格点上，则∠CAB+∠CBA＝　
　°．
18．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为
　
　．
19．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝135°，CD＝6，AB＝2，则四边形ABCD的面积为　
　．
20．已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的最大内角的大小为　
　度．
三．解答题
21．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
22．如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，∠EFH＝20°，求∠EHB的度数．
23．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD∥AC，交∠ACB的平分线CD于点D，CD交AB于点E．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若AC＝3，AB＝6，求CD的长．
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP．过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α．
（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，直接写出∠PAB的大小；
（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点P在BC的延长线上运动，且a≠50°，直接写出∠AED的大小（用含α的式子表示）．
25．如图，在△ABC中，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求DC的长．
26．观察、思考与验证
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式　
　；
（2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
27．已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝65°，∠BDC＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝40°，
∴∠BDC＝（180°﹣∠ADE）＝70°．
故选：D．
2．解：A、因为12+22≠32，所以三条线段不能组成直角三角形；
B、因为52+122＝132，所以三条线段能组成直角三角形；
C、因为12+12≠（）2，所以三条线段不能组成直角三角形；
D、因为62+72≠82，所以三条线段不能组成直角三角形；
故选：B．
3．解：A、32+52≠92，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、42+62≠82，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、132+142≠152，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
4．解：A、82+152＝172，是勾股数，不符合题意；
B、92+122＝152，是勾股数，不符合题意；
C、72+242＝252，是勾股数，不符合题意；
D、32+42≠72，不是勾股数，符合题意．
故选：D．
5．解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠EOD＝180°﹣45°＝135°，
故选：B．
6．解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，
∴∠DCA＝∠EAC＝35°，
∵AE∥BF，
∴CD∥BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝55°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
∵∠CAD＝∠EAD﹣∠CAE＝80°﹣35°＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠CAD＝45°，
∴CA＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：A．
7．解：A、在△ABC中，因为∠A：∠B：∠C＝2：2：4，所以∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
B、在△ABC中，因为∠A＝∠B﹣∠C，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
C、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠C＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
D、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝2∠C，所以∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意，
故选：D．
8．解：在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∵S1＝9，S2＝16，
∴S3＝S1+S2＝9+16＝25．
故选：D．
9．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
10．解；梯子顶端距离墙角地距离为＝24（m），
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15（m），
15﹣7＝8（m）．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∴∠CEB＝80°，
∵∠C＝90°，
∴∠CBE＝10°，
故答案为：10°．
12．解：∵∠A＝35°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝55°，
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝35°，
∴∠BCD＝20°，
故答案为：20．
13．解：∵162+122＝202，
∴16，12，20是一组勾股数．
故答案为：16，12，20（答案不唯一）．
14．解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面2.5米处折断，树的顶端落在离树杆底部6米处，
∴折断的部分长为：＝，
∴折断前高度为2.5+＝9（米）．
故答案为：9．
15．解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是：
ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，
则（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣12＝1．
故答案为：1．
16．解：作EH⊥BC于H，如图，
∵∠A＝90°，AB＝AC＝6，
∴BC＝AB＝12，∠C＝45°，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝CE＝3，
∵△CEH为等腰直角三角形，
∴EH＝CH＝3，
∴BH＝12﹣3＝9，
在Rt△ABE中，BE＝＝＝3，
∵EH⊥BF，
∴BE2＝BH?BF，
即BF＝＝10，
∴CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2，
故答案为2．
17．解：由图可知：AD＝CD＝，AC＝，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC+∠BCA＝∠ACD＝45°，
故答案为：45．
18．解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OM＝AD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGF＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝2，GF＝，OF＝3，
∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2．
19．解：
延长AB和DC，两线交于O，
∵∠C＝90°，∠ABC＝135°，
∴∠OBC＝45°，∠BCO＝90°，
∴∠O＝45°，
∵∠A＝90°，
∴∠D＝45°，
则OB＝BC，OD＝OA，OA＝AD，BC＝OC，
设BC＝OC＝x，则BO＝x，
∵CD＝6，AB＝2，
∴6+x＝（x+2），
解得：x＝6﹣2，
∴OB＝x＝6﹣4，BC＝OC＝6﹣2，OA＝AD＝2+6﹣4＝6﹣2，
∴四边形ABCD的面积S＝S△OAD﹣S△OBC＝×OA×AD﹣
＝×（6﹣2）×﹣
＝16，
故答案为：16．
20．解：∵（）2+（）2＝（）2，
∴三角形为直角三角形，
∴这个三角形的最大内角度数为90°，
故答案为：90
三．解答题
21．解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠2＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠A+∠1＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴△ADE是直角三角形．
22．解：∵∠EFG＝90°，∠EFH＝20°，
∴∠HFG＝70°，
∵AB∥CD．
∴∠FGD＝180°﹣70°＝110°，
∵GE平分∠FGD，
∴∠EGD＝∠FGD＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠EHB＝∠EGD＝55°
23．（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝×90°＝45°，
∵BD∥AC，
∴∠D＝∠ACD＝45°，
∴∠D＝∠BCD，
∴BC＝BD；
（2）解：在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，
∴BD＝3，
∵∠BCD＝∠D＝45°，
∴∠CBD＝90°，
∴CD＝＝＝3．
24．解：（1）如图1，当α＝60°时，∠APC＝60°，
△APB中，∠PAB＝∠APC﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，
（2）如图2，同（1）得：∠PAB＝α﹣40°，
∵CE⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠PAB+∠AED＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠PAB＝90°﹣（α﹣40°）＝130°﹣α，
（3）如图3，当α＞50°时，
△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝α，
∴∠CAP＝90°﹣α，
∵CD⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣（50°+90°﹣α）＝α﹣50°，
②如图4，当α＜50°时，
∴∠AED＝90°﹣∠PAE＝90°﹣（α+40°）＝50°﹣α，
综上，∠AED为α﹣50°或50°﹣α．
25．解：∵AB＝10，BD＝6，AD＝8，
∴AD2+BD2＝62+82＝100＝AB2，
∴△ADB是直角三角形，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中：DC2＝AC2﹣AD2，
∴DC＝15．
26．（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下：
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积＝（a+b）2，
又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个矩形的面积＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）证明：∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°；
（3）证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠B+∠D＝180°，
∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，
整理得：a2+b2＝c2．
27．解：（1）证明：连接AD
∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点
∴AD＝＝BD＝CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD＝45°
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF
∵∠BDE+∠ADE＝90°
∴∠ADF+∠ADE＝90°
即：∠EDF＝90°
∴△EDF为等腰直角三角形．
（2）解：仍为等腰直角三角形．
理由：∵△AFD≌△BED
∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE
∵∠ADF+∠FDB＝90°
∴∠BDE+∠FDB＝90°
即：∠EDF＝90°
∴△EDF为等腰直角三角形．