(共28张PPT)
13.3.1
等腰三角形性质
数学华师版
八年级上
新知导入
情境引入
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
在现实生活中，你看到哪些物体的表面具有等腰三角形的形状？
复习导入
衣架，斜拉桥索，老式房屋里面的等腰三角形房梁、老式房屋侧面上边形成等腰三角形、金字塔侧面图、交通标志图。
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图13.3.1，AB=AC，△ABC就是等腰三角形。
如图13.3.1
A
C
B
新知讲解
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，
另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
新知讲解
新知讲解
做一做
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗?
新知讲解
图13.3.2
-------------
A
C
B
D
A
C
B
D
-------------
--------------
-----------
新知讲解
可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴.我们还可以发现∠B=∠C.
新知讲解
由此得到以下等腰三角形的性质:
等腰三角形的两底角相等.
(简写成“等边对等角”)
新知讲解
已知:如图13.3.3，在△ABC中，AB
=
AC.
求证:
∠B=∠C.
分析:由上述操作可以得到启发,即添加等腰三角形的顶角平分线AD,然后证明△ABD≌△ACD.
图13.3.3
-------------
A
C
B
D
1
2
新知讲解
证明：画∠BAC的平分线AD.
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC（已知)，
∠1=∠2（角平分线的定义)，
AD=AD(公共边)，
∴△ABD≌△ACD(S.A.S.)
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等).
图13.3.3
-------------
A
C
B
D
1
2
从这里你还可以得到什么结论?
AD是等腰三角形底边上的中线，还是底边上的高线，还是顶角的角平分线
新知讲解
新知讲解
解:
∵
AB=AC（已知)，
∴∠C=∠B=80(等边对等角).
又∵
∠
A＋
∠
B+
∠
C=180°（三角形的内角和等于180°),
∴∠
A
=180°-
∠
B-
∠
C（等式的性质)
=180°-
80°-
80°=
20°.
例1
已知:在△ABC中，AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的大小.
新知讲解
探索
由前面的“做一做”,你还可以发现什么结论?请写出你的发现:
———————————————
———————————————
———————————————
新知讲解
我们发现，AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。
由此可得:
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合.（简称“三线合一”)
-------------
A
C
B
D
回顾前面关于底角相等的证明过程,直接推断这一结论成立.
新知讲解
例2
如图13.3.4，在△ABC中，AB
=
AC，D是BC边上的中点，∠
B=
30°．求:
∠
ADC的大小；(2）∠1的大小.
图13.3.4
A
C
B
D
1
2
新知讲解
解:(1)
∵
AB=
AC，BD
=
DC（已知)，
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”)，
∴∠
ADC=
∠
ADB=
90°.
(2)∵
∠
1+
∠
B
+
∠
ADB
=
180°
（三角形的内角和等于180°)，
∠
B
=
30°(已知)，
∴∠
1=
180°
-
∠
B
-
∠
ADB（等式的性质)
=
180°-
30°-
90°=
60°.
等腰三角形的“三线合一”是经常会用到的重要性质.
新知讲解
三条边都相等的三角形是等边三角形.
如图13.3.5,在等边三角形中,每个角的度数是多少呢?
显然，AB=
AC,根据“等边对等角”,
可以得到∠
B=
∠
C，同理可得∠
A
=
∠
B，
所以∠
A
=∠B
=
∠
C.
而∠
A
+
∠
B
+
∠
C
=
180°，
所以∠
A
=∠
B
=
∠
C=
=60°
图13.3.5
\\
\\
\\
新知讲解
也就是说:
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,也称为正三角形.
新知讲解
等边三角形也是轴对称图形，它有几条对称轴?
等边三角形有3条对称轴
----------------------------
----------------------------
------------------------------
归纳概念
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤线经过三角尺斜边（底边）的中点时，重锤线（底边上的中线）与底边上的高叠合（等腰三角形三线合一），即三角尺的斜边与重锤线垂直，可以确定三角尺的斜边与横梁是水平的。否则梁就不是水平。
新知讲解
注意：
性质1
等腰三角形的两个底角相等
（简称“等边对等角”，前提是在同一个三角形中。)
性质2
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称“三线合一”，前提是在同一个等腰三角形中。）
课堂练习
1.已知：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（ ）
A．平行
B．AO垂直且平分BC
C．斜交
D．AO垂直但不平分BC
B
2.△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论：①∠B＝∠C；②AD⊥BC；③∠BAC＝2∠BAD；④AB，AC边上的中线的长相等．其中正确的结论的个数是
(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
①根据等边对等角可得到该结论，故正确；
②根据等腰三角形三线合一的性质可得到，故正确；
③根据等腰三角形三线合一的性质可得到，故正确；
④根据三角形全等可得到，故正确．
D
3.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）
如图，△A1OD，△A2OD，△A3OD，△A4OD就是所求的三角形．
4.如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,
求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
A
B
D
C
解：在△ABC中，
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
?
=40°(三角形内角和定理)
又∵AD⊥BC（已知）
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）
∴∠BAD=∠CAD=50°
5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．
求证：∠C＝∠BAD；
证明：
∵AB＝AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°
∴∠BAD+∠DAC＝90°
∴∠C＝∠BAD
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13.3.1
等腰三角形性质
课题
13.3.1
等腰三角形性质
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1.
经历观察等腰三角形的对称性，发展形象思维。2
经历观察实验、猜想证明，发展合情推理能力和演绎推理能力。3．通过运用等腰三角形的性质解决问题，发展应用意识。
重点难点
等腰三角形性质的发现、证明及应用。等腰三角形三线合一的发现、证明及应用。
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？在现实生活中，你看到哪些物体的表面具有等腰三角形的形状？衣架，斜拉桥索，老式房屋里面的等腰三角形房梁、老式房屋侧面上边形成等腰三角形、金字塔侧面图、交通标志图。有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.如图13.3.1，AB=AC，△ABC就是等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗?可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴.我们还可以发现∠B=∠C.由此得到以下等腰三角形的性质:
等腰三角形的两底角相等.
(简写成“等边对等角”)已知:如图13.3.3，在△ABC中，AB
=
AC.
求证:
∠B=∠C.分析:由上述操作可以得到启发,即添加等腰三角形的顶角平分线AD,然后证明△ABD≌△ACD.证明：画∠BAC的平分线AD.在△ABD和△ACD中，∵AB=AC（已知)，∠1=∠2（角平分线的定义)，AD=AD(公共边)，∴△ABD≌△ACD(S.A.S.)∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等).AD是等腰三角形底边上的中线，还是底边上的高线，还是顶角的角平分线从这里你还可以得到什么结论?例1
已知:在△ABC中，AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的大小.解:
∵
AB=AC（已知)，∴∠C=∠B=80(等边对等角).又∵
∠
A＋
∠
B+
∠
C=180°（三角形的内角和等于180°),
∴∠
A
=180°-
∠
B-
∠
C（等式的性质)=180°-
80°-
80°=
20°.由前面的“做一做”,你还可以发现什么结论?请写出你的发现:—————————————————————————————————————————————我们发现，AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。由此可得:等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合.（简称“三线合一”)回顾前面关于底角相等的证明过程,直接推断这一结论成立.例2
如图13.3.4，在△ABC中，AB
=
AC，D是BC边上的中点，∠
B=
30°．求:(1)∠
ADC的大小；(2）∠1的大小.解:(1)
∵
AB=
AC，BD
=
DC（已知)，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”)，∴∠
ADC=
∠
ADB=
90°.(2)∵
∠
1+
∠
B
+
∠
ADB
=
180°（三角形的内角和等于180°)，
∠
B
=
30°(已知)，∴∠
1=
180°
-
∠
B
-
∠
ADB（等式的性质)=
180°-
30°-
90°=
60°.等腰三角形的“三线合一”是经常会用到的重要性质.三条边都相等的三角形是等边三角形.如图13.3.5,在等边三角形中,每个角的度数是多少呢?显然，AB=
AC,根据“等边对等角”,可以得到∠
B=
∠
C，同理可得∠
A
=
∠
B，所以∠
A
=∠B
=
∠
C.而∠
A
+
∠
B
+
∠
C
=
180°，所以∠
A
=∠
B
=
∠
C=
=60°
也就是说:等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,也称为正三角形.等边三角形也是轴对称图形，它有几条对称轴?等边三角形有3条对称轴注意：性质1
等腰三角形的两个底角相等
（简称“等边对等角”，前提是在同一个三角形中。)性质2
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（简称“三线合一”，前提是在同一个等腰三角形中。）
1.已知：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（ ）
A．平行B．AO垂直且平分BCC．斜交D．AO垂直但不平分BC1.B2.△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论：①∠B＝∠C；②AD⊥BC；③∠BAC＝2∠BAD；④AB，AC边上的中线的长相等．其中正确的结论的个数是
(
)
A．1
B．2
C．3
D．42.D3.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）如图，△A1OD，△A2OD，△A3OD，△A4OD就是所求的三角形．4.如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,
求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．求证：∠C＝∠BAD；证明：∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD
课堂小结
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13.3.1等腰三角形性质
学案
课题
13.3.1
等腰三角形性质
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.
经历观察等腰三角形的对称性，发展形象思维。
2
经历观察实验、猜想证明，发展合情推理能力和演绎推理能力。
3．通过运用等腰三角形的性质解决问题，发展应用意识。
重点
难点
等腰三角形性质的发现、证明及应用。
等腰三角形三线合一的发现、证明及应用。
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
合
作
探
究
探究一：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图13.3.1，AB=AC，△ABC就是等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，
另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗?
由此得到以下等腰三角形的性质:
等腰三角形的两底角相等.
(简写成“等边对等角”)
已知:如图13.3.3，在△ABC中，AB
=
AC.
求证:
∠B=∠C.
分析:由上述操作可以得到启发,即添加等腰三角形的顶角平分线AD,然后证明△ABD≌△ACD.
从这里你还可以得到什么结论?
探究二：
例1
已知:在△ABC中，AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的大小.
由前面的“做一做”,你还可以发现什么结论?请写出你的发现:
———————————————
———————————————
———————————————
我们发现，AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。
由此可得:
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合.（简称“三线合一”)
回顾前面关于底角相等的证明过程,直接推断这一结论成立.
探究三：
例2
如图13.3.4，在△ABC中，AB
=
AC，D是BC边上的中点，∠B=
30°．
求:（1）∠ADC的大小；(2）∠1的大小.
三条边都相等的三角形是等边三角形.
如图13.3.5,在等边三角形中,每个角的度数是多少呢?
显然，AB=
AC,根据“等边对等角”,
可以得到∠
B=
∠
C，同理可得∠
A
=
∠
B，
所以∠
A
=∠B
=
∠
C.
而∠
A
+
∠
B
+
∠
C
=
180°，
所以∠
A
=∠
B
=
∠
C==60°
也就是说:
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,也称为正三角形.
等边三角形也是轴对称图形，它有几条对称轴?
注意：
性质1
等腰三角形的两个底角相等
（简称“等边对等角”，前提是在同一个三角形中。)
性质2
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称“三线合一”，前提是在同一个等腰三角形中。）
当
堂
检
测
1.已知：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（ ）
A．平行
B．AO垂直且平分BC
C．斜交
D．AO垂直但不平分BC
1.B
2.△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论：①∠B＝∠C；②AD⊥BC；③∠BAC＝2∠BAD；④AB，AC边上的中线的长相等．其中正确的结论的个数是
(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
2.D
3.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）
如图，△A1OD，△A2OD，△A3OD，△A4OD就是所求的三角形．
4.如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,
求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．求证：∠C＝∠BAD；
证明：
∵AB＝AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°
∴∠BAD+∠DAC＝90°
∴∠C＝∠BAD
课
堂
小
结
等腰三角形的性质？
参考答案
合作探究：
探究一：
可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴.我们还可以发现∠B=∠C.
证明：画∠BAC的平分线AD.
在△ABD和△ACD中，
∵AB
=
AC（已知)，
∠1=∠2（角平分线的定义)，
AD
=
AD(公共边)，
∴△ABD
≌△
ACD(S.A.S.)
∴∠
B=
∠
C（全等三角形的对应角相等).
AD是等腰三角形底边上的中线，还是底边上的高线，还是顶角的角平分线
探究二：
解:
∵
AB
=
AC（已知)，
∴∠
C
=
∠
B
=
80(等边对等角).
又∵
∠
A＋
∠
B+
∠
C=180°（三角形的内角和等于180°),
∴∠
A
=180°-
∠
B-
∠
C（等式的性质)
=180°-
80°-
80°=
20°.
探究三：
解:(1)
∵
AB=
AC，BD
=
DC（已知)，
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”)，
∴∠
ADC=
∠
ADB=
90°.
(2)∵
∠
1+
∠
B
+
∠
ADB
=
180°
（三角形的内角和等于180°)，
∠
B
=
30°(已知)，
∴∠
1=
180°
-
∠
B
-
∠
ADB（等式的性质)
=
180°-
30°-
90°=
60°.
等边三角形有3条对称轴
课堂小结：
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精品试卷·第
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