1.1探索勾股定理同步测试2021-2022学年北师大版八年级数学上册（Word版含答案）

北师大版八年级数学上册第一章1.1探索勾股定理
同步测试
一．选择题
1.如图，带阴影的长方形的面积是（
）
A.
9
cm2
B.24
cm2
C.
45
cm2
D.51
cm2
一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（　
）
A．斜边长为5
B．三角形的周长为25
C．斜边长为25
D．三角形的面积为20
3．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A．4
B．8
C．16
D．64
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为(
)
A.150cm2
B.200cm2
C.225cm2
D.无法计算
6．若直角三角形的三条边长为三个连续的整数，那么以这三边为边长的三个正方形的面积分别为（
）
A．3，4，5
B．9，16，25
C．6，8，10
D．8，12，24
7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，则CD为（
）
A．5
B．13
C．17
D．18
8．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　）
A．S1﹣S2
B．S1+S2
C．2S1﹣S2
D．S1+2S2
9．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，阴影部分的面积为（
）
A．3
B．9
C．81
D．100
如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　）
A．50
B．16
C．25
D．41
12．2002年在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（　　）
A．25
B．19
C．13
D．169
二．填空题
13．在Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a=12，b=13，则c的值为______．
14．如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形A，B的面积分别是9和4，则最大正方形C的面积是　　．
15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为　　．
16．一个长方形的一条边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长为
．
17．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=______．
18．已知直角三角形的两直角边分别是3cm、4cm，则第三边的高是
．
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．
在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．
三．解答题
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；
(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；
(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；
(4)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．
22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．
（1）求AB的长；
（2）求CD的长．
23．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际的上岸点C偏离了想要到达的点B有140m（即BC＝140m），其结果是他在水中实际游了500m，求河宽为多少米？
24．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，CD＝1.5，BD＝2.5，求AC的长．
25．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．
（1）求AB的长；（2）求CD的长．
26．如图,是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a,b,斜边长为c)和一个正方形(边长为c)，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.
(1)画出拼成的这个图形的示意图；
(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.
北师大版八年级数学上册第一章1.1探索勾股定理
答案提示
一．选择题
1．如图，带阴影的长方形的面积是（
）选：C．
A.
9
cm2
B.24
cm2
C.
45
cm2
D.51
cm2
2．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（　）选：A．
A．斜边长为5
B．三角形的周长为25
C．斜边长为25
D．三角形的面积为20
3．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有(
)选：B．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）选：D．
A．4
B．8
C．16
D．64
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为(
)选：C．
A.150cm2
B.200cm2
C.225cm2
D.无法计算
6．若直角三角形的三条边长为三个连续的整数，那么以这三边为边长的三个正方形的面积分别为（
）选：B．
A．3，4，5
B．9，16，25
C．6，8，10
D．8，12，24
7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，则CD为（
）选：B．
A．5
B．13
C．17
D．18
8．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　）选：C．
A．S1﹣S2
B．S1+S2
C．2S1﹣S2
D．S1+2S2
解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2
S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C．
9．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）选：D．
A．
B．
C．
D．
解：A、∵ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
10．如图，阴影部分的面积为（
）选：C．
A．3
B．9
C．81
D．100
11．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　）选：A．
A．50
B．16
C．25
D．41
解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，∴CD2+BD2＝BC2＝25，
∴阴影部分的面积＝25+25＝50，故选：A．
12．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（　　）选：A．
A．25
B．19
C．13
D．169
解：由条件可得：，解之得：．
所以（a+b）2＝25，
故选：A．
二．填空题
13．在Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a=12，b=13，则c的值为______．5；
14．如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形A，B的面积分别是9和4，则最大正方形C的面积是　13　．
15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为　4　．
解：直角三角形直角边的较短边为＝6，
正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．
故答案为：4．
16．一个长方形的一条边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长为
．6.5cm
17．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=______．100cm2；
18．已知直角三角形的两直角边分别是3cm、4cm，则第三边的高是
．cm
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．3；
在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．4．
三．解答题
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；
(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；
(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；
(4)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．
解：(1)a＝45cm．b＝60cm；
(2)540；
(3)a＝30，c＝34；
(4)12．
22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．
（1）求AB的长；
（2）求CD的长．
23．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际的上岸点C偏离了想要到达的点B有140m（即BC＝140m），其结果是他在水中实际游了500m，求河宽为多少米？
解：AB＝320m
24．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，CD＝1.5，BD＝2.5，求AC的长．
解：AC＝3
25．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．
（1）求AB的长；（2）求CD的长．
26．如图,是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a,b,斜边长为c)和一个正方形(边长为c)，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.
(1)画出拼成的这个图形的示意图；
(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.
解：(1)(答案不唯一)如图.
(2)验证:∵大正方形的面积可表示为(a＋b)2,又大正方形的面积也可表示为,,即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab,∴a2＋b2＝c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.