第三章 直线的方程学案
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文档简介
3.2.1 直线的点斜式方程
【课标转述】
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
【学习目标】
1、理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
2、能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
3、体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
【学习流程】
一、复习回顾（不看书，自己回忆上节课学的内容，并在横线上填空，写完后和本组同学讨论）
1、经过两点斜率公式为 .
2、已知直线、都有斜率，如果，则__________________；如果，
则___________
3、若三点，，在同一直线上，则的值为___________
4、已知长方形的三个顶点的坐标分别为、、，则第四顶点的坐标________．
4、直线的倾斜角与斜率有何关系？什么样的直线没有斜率？
二、新课导学
探究一：设点为直线上的一定点,那么直线上不同于的任意一点与直线的斜率有什么关系？
请和你的小组交流你写的结果，并把下面的内容补充完整.
直线的点斜式方程：
已知直线上一点与这条直线的斜率，设为直线上的任意一点，则根据斜率公式，可以得到，当时， 即： ⑴ .
1o自学课本P92－P93，小组讨论：
（1）是否在直线上的任意一点的坐标都适合方程（1）
（2）适合方程（1）的任意一组解为坐标的点是否都在直线上？
（3）方程⑴能不能表示过点，斜率为k的直线的方程？
2o直线点斜式方程定义：方程是由直线上 及其 确定，所以把此方程叫做直线的点斜式方程，简称 （point slope form）.
思考：
①轴所在直线的方程是______ ____; 轴所在直线的方程是______________；
②经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是______________；
③经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是______________；
④直线的点斜式方程能不能表示平面上的所有直线？若不能，请说明哪类直线不能.
例1一条直线经过点，倾斜角为，求这条直线的点斜式方程，并在坐标系中画出相应直线的图形.
学法指导：要抓住应用点斜式求直线方程的两个条件：直线上的已知点和直线的斜率来解题.
变式1：在例1中，若将“倾斜角为45o”改为“斜率为2”，求这条直线的点斜式方程；
变式2：在例1中，若将直线的倾斜角改为90o，这条直线的方程又是什么？
本题小结：求直线的点斜式方程的关键是：
练习1：自主完成以上例题后完成课本P95练习1、2，写在课本上即可.
探究二：已知直线的斜率为，且与轴的交点为，求直线的方程。请写出你的求解过程.
直线的斜截式方程
直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的 ,方程是由直线的 与它在 确定，所以把此方程叫做直线的斜截式方程，简称 （slope intercept form） .
思考：
截距是距离吗？
②能否用斜截式表示平面内的所有直线？若不能，请说明哪类直线不能.
③直线的斜截式方程与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论？
④直线中的几何意义是 ，的几何意义是 .
例2 见课本P94例2
学法指导：本题从两条直线平行和垂直的判定条件方面考虑即可。
自学课本后，合上书，看能不能写出来。
练习2：自学完例2后，完成课本P95练习3、4，写在课本空白处即可.
练习3：（1）用两种方法：求证A（2，1），B（－2，3），C（6，－1）三点共线；
学法指导：可以利用斜率相等，也可用直线方程。
（2）已知两直线：和：，求直线和互相垂直时
的值.
【检测反馈】
1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（ ）.
A. =3 B. =－5 C. 2= D. =4－1
2．方程表示（ ）.
A. 通过点的所有直线 B. 通过点的所有直线
C. 通过点且不垂直于轴的直线 D. 通过点且除去轴的直线
3．直线（＝0）的图象可以是（ ）.
4．已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则直线l的方程为（ ）.
A. B. C. D.
5．已知直线的方程为,求过点且垂直于的直线方程.
（过程写在下面）
【作业】
课本P100习题3.2 A组1（1）（2）（3）、2、3、5（写到作业本上）
3.2.2 直线的两点式方程
【课标转述】
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
【学习目标】
1、掌握直线两点式方程的形式特点及适用范围；
2、了解直线截距式方程的形式特点及适用范围;
3、能够根据直线上两点坐标写出直线方程；
4、知道何时用两点式求直线方程，何时用截距式求直线方程.
【学习过程】
一、复习回顾
1、直线的点斜式方程是__________________．
2、直线的斜截式方程是__________________．
二、新课导入
探究：设直线l经过两点，其中，则直线斜率是什么？结合前面学过的点斜式写出直线的点斜式方程. （写完后可对照课本P95，检查自己写的结果是否正确）
思考：由一个点和斜率可以确定一条直线的方程，通过对上述问题的解决你能不能想到还有什么条件可以确定一条直线的方程吗？ 考虑后完成下列内容.
两点式方程的概念：方程 表示经过两点的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，
简程两点式（two-point form）.
小试身手：写出过下列两点的直线的方程（写完后对照同学的答案看和自己写得是否一样，若不同，查找问题出在哪儿）
过两点P1(2,1)，P2(0,-3)；
② 过两点A（0，5），B（5，0）
讨论：
1、两点式适用范围是什么？
2、若点中有，或，此时过这两点的直线方程分别是什么？
例1 求过两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.
学法指导：先用两点式写出，再变形即可得点斜式.
练习：课本P97第1题，过程写在课本上即可。
例2 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中.
求的方程.（写出你的解题过程后再对照课本P96页例3，看你写的对不对）
学法指导：直线与x轴的交点的横坐标叫做直线在x轴的截距，简称横截距；此时直线在y轴上的截距是b，简称纵截距.
直线的截距式方程：方程由直线在两个坐标轴上的截距与确定，所以把此方程叫做直线的截距式方程，简称截距式。
思考：1、截距式的适用范围是什么？截距式方程的特点是什么呢？
2、两点式与截距式有什么关系呢？
3、方程 + = 1 中的a，b是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？
4、到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
变式：1、求过点P(2, 3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程（结果化成斜截式）。
上题中改为求截距的绝对值相等的直线方程，结果如何？
2、求过点P(2, 3)，并且在x轴上的截距是在y轴上的截距2倍的直线的方程（结果化成斜截式）。
再试身手：课本P97练习2、3，写在课本上即可.
例3 已知三角形的三个顶点A（－5,0），B（3，－3），C（0,2）求BC、AC所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.（自己写完后对照课本P96页例4检查自己写得是否正确）
说明：本题要用到同学们初中学习过的中点坐标公式.
已知两点，且线段的中点坐标是，
则 .此公式为线段的中点坐标公式.
【检测反馈】
1、直线 - = 1 在y轴上的截距是_______．
2、已知点A(5，8)，B(-3,2)，求线段AB的垂直平分线的方程（结果化成斜截式）．
3、求经过点（3,2）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
【课后反思】
直线形式 已知条件 直线方程 适用范围
点斜式
斜截式
两点式
截距式
【作业】
课本P100 习题3.2 A组 4、7、8、9
www.
3.2.3 直线的一般式方程
【课标转述】
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.
【学习目标】
1、明确直线方程一般式的形式特征；
2、会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
3、会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.
【学习流程】
一、探究：
1、直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.（对照上节课的课后反思，不用再写了）
2.任意一个二元一次方程：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）是否表示一条直线？
平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？
提示：注意讨论直线的斜率是否存在。请同学们自学课本P97－P98内容，解决该问题.
二、新课导学
1、直线与二元一次方程的关系
（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于的_____________表示；（2）每个关于的二元一次方程都表示为__ _________ ______．
2、直线的一般方程
把关于的二元一次方程_____________叫做直线的一般式方程，简称一般式，其中系数A、B满足____________．
问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
问题2：当时，直线的斜率是 ，直线在y轴上的截距为 .
问题3：在方程 Ax + By + C = 0 中， A, B, C 为何值时，方程表示的直线：
①平行于x 轴； ②平行于 y 轴；
③与x 轴重合； ④与y轴重合；
⑤过原点； ⑥与x轴、y轴都相交（重合不算）：
注意：最后结果一般要写成一般式，此时要明确以下2点：
（1）A、B、C必须为整数，不能出现分数和小数，且x的系数A必须为正；
（2）等号右边必须化为0.
二、典型例题
例1 自学课本P98例5，体会该题的用意,并写在下列空白处.
练习1 初步运用，
（1）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
①斜率是–，经过点 A( 8, -2 )；
②经过点B (4, 2) ，平行于x 轴；
③在x 轴和y 轴上的截距分别是3，- ；
④经过两点P1 (3,-2), P2 (5,- 4).
例2 自学课本P99 例6，弄清楚该题的做题方法，将方法写到下面空白处，再去做下面的练习.
练习2
（1）已知直线，则此直线在轴上的截距是______，在轴上的截距是______，直线的斜率为 ，化成斜截式方程为 .
（2）求下列直线的斜率和在轴上的截距，并画出图形
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸.
（3）课本P100 练习3
【检测反馈】
1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角为45度，则m的值是 （ ）
（A）3 （B） 2 （C）-2 （D）2与3
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是________
3、若直线通过第二、三、四象限，则系数A、B、C满足条件（ ）
(A)AB<0 C<0 (B)AC>0,BC>0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<0
【课后反思】
二元一次方程的每一组解都可以看与平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成了一条直线。平面直角坐标系就是把方程和曲线连起的桥梁。我们已经学习了直线的一般式方程，那么，直线和方程之间的区别与联系是什么？关键是理解方程和直线之间的关系。
【作业】
课本P100 A组 6、8、10、11
3.3.1两条直线的交点坐标
【课标转述】
能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
【学习目标】
会求二元一次方程组的解;
掌握判断两条直线相交的方法，会通过解方程组求两条直线的交点坐标；
了解过两条直线交点的直线系方程的问题.
【学习流程】
探究一：直线上的点与其方程的解有什么样的关系？那如果两直线相交于一点，这一点与两直线有何关系？ 看下表，并填空。
几何元素及关系 代数表示
点A A（a，b）
直线 ：Ax+By+C=0
点A在直线上
直线与 的交点A
探究二： 如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
探究三：如何利用方程判断两直线的位置关系？
两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。因此，只要将两条直线和 的方程联立，得方程组
1．若方程组无解，则与
2.若方程组有且只有一个解，则与
3.若方程组有无数解，则与
例1 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.
（1）：
（2）
（3）
问题：请同学们观察例1中的三组直线，讨论下面的问题，并写出你们的结论.
和直线平行的直线可表示为 .
探究四：当变化时，方程表示什么图形？图形有什么特点？
学法指导：先化为一般式方程，再分别令，代入方程并化简，在同一个直角坐标系中作出相应直线的图形，然后和你的小组探讨你的发现.
结论：经过直线和的交点的直线可表示为：
例2 求经过点且经过两直线的交点的直线方程。
变式：经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直的直线方程.
探究五：两条直线和平行、垂直、相交成立的条件分别是什么呢.小组讨论，在下面写出你们得出的结论.也可查阅参考资 料，得出结论。但要知道如何得出的。
学法指导：要注意讨论一下直线斜率不存在的情况，对x的系数分两种情况讨论它们平行、垂直、相交成立的条件.最后条件是以字母的形式出现的，可以当结论直接用.
练习：课本P109 A组 3
【检测反馈】
1、已知集合，那么集合为( )
A {3,–1} B 3,–1 C (3,–1) D {(3,–1)}
2 、直线y=kx+2k+1与直线的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )
A B C D
3、与直线的交点为（3，–2），则过点的直线方程是___________________.
【课后反思】
【作业】课本P109 习题3.3 A组 1、2、5 ，B组1
3.3.2两点间的距离
【课标转述】
探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【学习目标】
1、掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.
2、通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.
3、体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.
【学习流程】
一、新课引入
探究一：1、求B(3，4)到原点的距离是多少
2、在平面直角坐标系中，任意两点间的距离是多少
（自学课本P104－P105内容，了解两点间距离公式的推导原理，在下面写出大致的推导过程，并把不明白的地方用红笔标注出来）
两点间的距离公式：设是平面直角坐标系中的任意两个点，
则=
二、典型例题
例1 已知点在轴上求一点，使，并求的值。
（写完后，打开课本P105，检查自己所写与课本是否一样,还有没有不同的方法，写出来）
试一试：已知两点,求的值,并在轴上求一点,使 的最小值。
学法指导：借助对称的思想求点A（或点B）关于y轴的对称点，连接与y轴的交点即为所求。
例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
学法指导：先建立适当的坐标系，用坐标表示有关变量，然后进行代数运算，最后把运算结果“翻译”成几何关系.
例3 已知.
练习：课本P106 1、2（做到书上即可）
【检测反馈】
1、求在数轴上，与两点A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标.
2、已知三点A(3，2)、B(0，5)、C(4，6)，则△ABC的形状是( )
A、直角三角形 B.等边三角形
C、等腰三角形 D.等腰直角三角形
【课后反思】
【作业】课本P110 习题 A组 6、7、8 ，P100 A组 2（用不同于前面的方法来做）
3.3.3－3.3.4点到直线的距离和两平行直线间的距离
【课标转述】
探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【学习目标】
1、看懂点到直线的距离公式的推导过程，体会到等面积法在推导过程中的使用;
2、会利用点到直线的距离公式来求点到直线的距离;
3、能将直线间的距离转化为点到直线的距离来求解两条平行直线间的距离，并推导出两平行直线间的距离公式；
4、可以直接运用两平线间的距离公式求两平行直线间的距离.
【学习流程】
一、复习回顾：两点间的距离公式：设是平面直角坐标系中的任意两个点，则=
二、新课导入
1、思考下列问题后，小组讨论，交流你的心得.
问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线方程中，如果，或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢？并画出图形来.
问题2：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线的方程是，又怎样用点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢 写出必要的推导过程（参考课本P106－P107内容，理解推导距离公式所用的等面积法）
点到直线的距离公式：已知点和直线，则点到直线的距
离为： .
注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；
⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.
(3)当A＝0或B＝0时，可以使用公式或数形结合来求距离.
例1 求点到下列直线的距离：
例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积
学法指导：在求底边上的高时要先求出底边所在直线的方程，再用点到直线间的距离公式求高.
2、两条平行直线间的距离：夹在两条平行直线间公垂线段的长.
问题3：求两平行线， 的距离.
学法指导：在两直线中任意一条上任取一个点，借助点到直线的距离公式来求解.
两平行直线间的距离公式：已知两条平行线直线，，则与的距离为（请仿照问题3的求解方法，写出此公式的推导过程）
推导过程：
例3 已知直线是否平行？若平行，求间的距离.
注意：应用此公式应注意如下两点：
（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使两平行直线的方程的系数相等.
【检测反馈】
1、点（0，5）到直线y=2x的距离是( )
A B C D
2、两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.
3.已知点到直线的距离为1,则的值等于( )
A. B. C. D.
【课后反思】
【作业】课本P110 A组9、10，B组2、4
第三章 直线与方程 小结与复习
【课标转述】
1在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
4根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.
5能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
6探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【学习目标】
1、能够准确求出直线的斜率和倾斜角；
2、能够根据相应条件求出对应的直线方程;
3、能够熟练应用直线方程的五种形式解题.
【学习流程】
一、知识归类
1.直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，
它们的关系是 （.
（2）直线倾斜角的范围是 .
（3）直线过两点的斜率公式为： .
2.两直线垂直与平行的判定
（1）对于不重合的两条直线，其斜率分别为，，则有：
； .
（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 .
3.直线方程的几种形式
名称 方程形式 适用条件
点斜式 不表示 的直线
斜截式 不表示 的直线
两点式 不表示 的直线
截距式 不表示 和 的直线
一般式
注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.
4.几个距离公式
（1）两点之间的距离公式是： .
（2）点到直线的距离公式是： .
（3）两条平行线间的距离公式是： .
二、典型例题
题型一：直线的倾斜角与斜率问题
例1 已知坐标平面内三点.
（1）求直线的斜率和倾斜角.
（2）若为的边上一动点，求直线斜率的变化范围.
学法指导：由题目可获取以下主要信息：
（1）、、三点的坐标已知.
（2）直线经过线段上的某个动点.
（3）求斜率及变化范围.
解答本题可借助图形，第（1）问利用斜率公式求斜率，由斜率与倾斜角的关系求倾斜角.第（2）问可借助图形直观观察得直线斜率的取值范围.
本题小结：数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点.当直线绕定点由与轴平行（或重合）位置按逆时针方向旋转到与轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到（即斜率不存在）；按顺时针方向旋转到与轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到（即斜率不存在）.这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围.
题型二：直线的平行与垂直问题
例2 已知直线的方程为，求下列直线的方程,
满足（1）过点，且与平行；（2）过，且与垂直.
学法指导：解答本题可先求出的斜率，然后由平行（垂直）的条件得所求直线的斜
率，再由点斜式写方程；也可由两直线平行（垂直）的方程特征，设出方程，再由待定
系数法求解.
本题小结：与直线平行的直线方程可设为，再由其
他条件列方程求出；与直线垂直的直线方程可设为
，再由其他条件求出.
题型三：直线的交点、距离问题
例3 已知直线经过点,且被平行直线所截得的线段的中点在直线上，求直线的方程.
学法指导：已知直线过点要求直线的方程，只需求另外一点或直线的斜率
即可.
本题小结：解此类题目常用的方法是待定系数法，然后由题意列出方程求参数；也可综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线的特征，然后由已知条件写出直线的方程.
题型四：直线方程的应用
例4 已知直线.
（1）求证：不论为何值，直线总经过第一象限；
（2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围.
学法指导：解答本题可先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第一问；第二问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得.
本题小结：含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现问题是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况，可研究直线过定点.
【检测反馈】
1.若直线过点则此直线的倾斜角是（ ）.
（A） （B）（C） （D）
2.过点和的直线与过点和点直线的位置关系是（ ）
（A）平行（B）重合（C）平行或重合（D）相交或重合
3.过点且垂直于直线的直线方程为（ ）.
(A) (B) (C) (D)
4.已知点则到两点距离相等的点的坐标满足的条件是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
5.直线在同一直角坐标系中的图形大致是（ ）.
6.直线被两直线截得线段的中点是原点，则直线的方程为 .
7.已知若平面内三点共线，则= .
8.过点且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（ ）.
（A）1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
9.已知直线过点，且被平行直线与截得的线段长为，求直线的方程.
【课后反思】
【作业】课本P110 B组1、5、6、7、9
y
A(0,0)
x
B(a,0)
D(b,c)
C(a+b,c)
PAGE
22
用心 爱心 专心
【课标转述】
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
【学习目标】
1、理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
2、能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
3、体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
【学习流程】
一、复习回顾（不看书，自己回忆上节课学的内容，并在横线上填空，写完后和本组同学讨论）
1、经过两点斜率公式为 .
2、已知直线、都有斜率，如果，则__________________；如果，
则___________
3、若三点，，在同一直线上，则的值为___________
4、已知长方形的三个顶点的坐标分别为、、，则第四顶点的坐标________．
4、直线的倾斜角与斜率有何关系？什么样的直线没有斜率？
二、新课导学
探究一：设点为直线上的一定点,那么直线上不同于的任意一点与直线的斜率有什么关系？
请和你的小组交流你写的结果，并把下面的内容补充完整.
直线的点斜式方程：
已知直线上一点与这条直线的斜率，设为直线上的任意一点，则根据斜率公式，可以得到，当时， 即： ⑴ .
1o自学课本P92－P93，小组讨论：
（1）是否在直线上的任意一点的坐标都适合方程（1）
（2）适合方程（1）的任意一组解为坐标的点是否都在直线上？
（3）方程⑴能不能表示过点，斜率为k的直线的方程？
2o直线点斜式方程定义：方程是由直线上 及其 确定，所以把此方程叫做直线的点斜式方程，简称 （point slope form）.
思考：
①轴所在直线的方程是______ ____; 轴所在直线的方程是______________；
②经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是______________；
③经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是______________；
④直线的点斜式方程能不能表示平面上的所有直线？若不能，请说明哪类直线不能.
例1一条直线经过点，倾斜角为，求这条直线的点斜式方程，并在坐标系中画出相应直线的图形.
学法指导：要抓住应用点斜式求直线方程的两个条件：直线上的已知点和直线的斜率来解题.
变式1：在例1中，若将“倾斜角为45o”改为“斜率为2”，求这条直线的点斜式方程；
变式2：在例1中，若将直线的倾斜角改为90o，这条直线的方程又是什么？
本题小结：求直线的点斜式方程的关键是：
练习1：自主完成以上例题后完成课本P95练习1、2，写在课本上即可.
探究二：已知直线的斜率为，且与轴的交点为，求直线的方程。请写出你的求解过程.
直线的斜截式方程
直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的 ,方程是由直线的 与它在 确定，所以把此方程叫做直线的斜截式方程，简称 （slope intercept form） .
思考：
截距是距离吗？
②能否用斜截式表示平面内的所有直线？若不能，请说明哪类直线不能.
③直线的斜截式方程与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论？
④直线中的几何意义是 ，的几何意义是 .
例2 见课本P94例2
学法指导：本题从两条直线平行和垂直的判定条件方面考虑即可。
自学课本后，合上书，看能不能写出来。
练习2：自学完例2后，完成课本P95练习3、4，写在课本空白处即可.
练习3：（1）用两种方法：求证A（2，1），B（－2，3），C（6，－1）三点共线；
学法指导：可以利用斜率相等，也可用直线方程。
（2）已知两直线：和：，求直线和互相垂直时
的值.
【检测反馈】
1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（ ）.
A. =3 B. =－5 C. 2= D. =4－1
2．方程表示（ ）.
A. 通过点的所有直线 B. 通过点的所有直线
C. 通过点且不垂直于轴的直线 D. 通过点且除去轴的直线
3．直线（＝0）的图象可以是（ ）.
4．已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则直线l的方程为（ ）.
A. B. C. D.
5．已知直线的方程为,求过点且垂直于的直线方程.
（过程写在下面）
【作业】
课本P100习题3.2 A组1（1）（2）（3）、2、3、5（写到作业本上）
3.2.2 直线的两点式方程
【课标转述】
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
【学习目标】
1、掌握直线两点式方程的形式特点及适用范围；
2、了解直线截距式方程的形式特点及适用范围;
3、能够根据直线上两点坐标写出直线方程；
4、知道何时用两点式求直线方程，何时用截距式求直线方程.
【学习过程】
一、复习回顾
1、直线的点斜式方程是__________________．
2、直线的斜截式方程是__________________．
二、新课导入
探究：设直线l经过两点，其中，则直线斜率是什么？结合前面学过的点斜式写出直线的点斜式方程. （写完后可对照课本P95，检查自己写的结果是否正确）
思考：由一个点和斜率可以确定一条直线的方程，通过对上述问题的解决你能不能想到还有什么条件可以确定一条直线的方程吗？ 考虑后完成下列内容.
两点式方程的概念：方程 表示经过两点的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，
简程两点式（two-point form）.
小试身手：写出过下列两点的直线的方程（写完后对照同学的答案看和自己写得是否一样，若不同，查找问题出在哪儿）
过两点P1(2,1)，P2(0,-3)；
② 过两点A（0，5），B（5，0）
讨论：
1、两点式适用范围是什么？
2、若点中有，或，此时过这两点的直线方程分别是什么？
例1 求过两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.
学法指导：先用两点式写出，再变形即可得点斜式.
练习：课本P97第1题，过程写在课本上即可。
例2 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中.
求的方程.（写出你的解题过程后再对照课本P96页例3，看你写的对不对）
学法指导：直线与x轴的交点的横坐标叫做直线在x轴的截距，简称横截距；此时直线在y轴上的截距是b，简称纵截距.
直线的截距式方程：方程由直线在两个坐标轴上的截距与确定，所以把此方程叫做直线的截距式方程，简称截距式。
思考：1、截距式的适用范围是什么？截距式方程的特点是什么呢？
2、两点式与截距式有什么关系呢？
3、方程 + = 1 中的a，b是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？
4、到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
变式：1、求过点P(2, 3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程（结果化成斜截式）。
上题中改为求截距的绝对值相等的直线方程，结果如何？
2、求过点P(2, 3)，并且在x轴上的截距是在y轴上的截距2倍的直线的方程（结果化成斜截式）。
再试身手：课本P97练习2、3，写在课本上即可.
例3 已知三角形的三个顶点A（－5,0），B（3，－3），C（0,2）求BC、AC所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.（自己写完后对照课本P96页例4检查自己写得是否正确）
说明：本题要用到同学们初中学习过的中点坐标公式.
已知两点，且线段的中点坐标是，
则 .此公式为线段的中点坐标公式.
【检测反馈】
1、直线 - = 1 在y轴上的截距是_______．
2、已知点A(5，8)，B(-3,2)，求线段AB的垂直平分线的方程（结果化成斜截式）．
3、求经过点（3,2）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
【课后反思】
直线形式 已知条件 直线方程 适用范围
点斜式
斜截式
两点式
截距式
【作业】
课本P100 习题3.2 A组 4、7、8、9
www.
3.2.3 直线的一般式方程
【课标转述】
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.
【学习目标】
1、明确直线方程一般式的形式特征；
2、会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
3、会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.
【学习流程】
一、探究：
1、直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.（对照上节课的课后反思，不用再写了）
2.任意一个二元一次方程：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）是否表示一条直线？
平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？
提示：注意讨论直线的斜率是否存在。请同学们自学课本P97－P98内容，解决该问题.
二、新课导学
1、直线与二元一次方程的关系
（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于的_____________表示；（2）每个关于的二元一次方程都表示为__ _________ ______．
2、直线的一般方程
把关于的二元一次方程_____________叫做直线的一般式方程，简称一般式，其中系数A、B满足____________．
问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
问题2：当时，直线的斜率是 ，直线在y轴上的截距为 .
问题3：在方程 Ax + By + C = 0 中， A, B, C 为何值时，方程表示的直线：
①平行于x 轴； ②平行于 y 轴；
③与x 轴重合； ④与y轴重合；
⑤过原点； ⑥与x轴、y轴都相交（重合不算）：
注意：最后结果一般要写成一般式，此时要明确以下2点：
（1）A、B、C必须为整数，不能出现分数和小数，且x的系数A必须为正；
（2）等号右边必须化为0.
二、典型例题
例1 自学课本P98例5，体会该题的用意,并写在下列空白处.
练习1 初步运用，
（1）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
①斜率是–，经过点 A( 8, -2 )；
②经过点B (4, 2) ，平行于x 轴；
③在x 轴和y 轴上的截距分别是3，- ；
④经过两点P1 (3,-2), P2 (5,- 4).
例2 自学课本P99 例6，弄清楚该题的做题方法，将方法写到下面空白处，再去做下面的练习.
练习2
（1）已知直线，则此直线在轴上的截距是______，在轴上的截距是______，直线的斜率为 ，化成斜截式方程为 .
（2）求下列直线的斜率和在轴上的截距，并画出图形
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸.
（3）课本P100 练习3
【检测反馈】
1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角为45度，则m的值是 （ ）
（A）3 （B） 2 （C）-2 （D）2与3
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是________
3、若直线通过第二、三、四象限，则系数A、B、C满足条件（ ）
(A)AB<0 C<0 (B)AC>0,BC>0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<0
【课后反思】
二元一次方程的每一组解都可以看与平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成了一条直线。平面直角坐标系就是把方程和曲线连起的桥梁。我们已经学习了直线的一般式方程，那么，直线和方程之间的区别与联系是什么？关键是理解方程和直线之间的关系。
【作业】
课本P100 A组 6、8、10、11
3.3.1两条直线的交点坐标
【课标转述】
能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
【学习目标】
会求二元一次方程组的解;
掌握判断两条直线相交的方法，会通过解方程组求两条直线的交点坐标；
了解过两条直线交点的直线系方程的问题.
【学习流程】
探究一：直线上的点与其方程的解有什么样的关系？那如果两直线相交于一点，这一点与两直线有何关系？ 看下表，并填空。
几何元素及关系 代数表示
点A A（a，b）
直线 ：Ax+By+C=0
点A在直线上
直线与 的交点A
探究二： 如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
探究三：如何利用方程判断两直线的位置关系？
两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。因此，只要将两条直线和 的方程联立，得方程组
1．若方程组无解，则与
2.若方程组有且只有一个解，则与
3.若方程组有无数解，则与
例1 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.
（1）：
（2）
（3）
问题：请同学们观察例1中的三组直线，讨论下面的问题，并写出你们的结论.
和直线平行的直线可表示为 .
探究四：当变化时，方程表示什么图形？图形有什么特点？
学法指导：先化为一般式方程，再分别令，代入方程并化简，在同一个直角坐标系中作出相应直线的图形，然后和你的小组探讨你的发现.
结论：经过直线和的交点的直线可表示为：
例2 求经过点且经过两直线的交点的直线方程。
变式：经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直的直线方程.
探究五：两条直线和平行、垂直、相交成立的条件分别是什么呢.小组讨论，在下面写出你们得出的结论.也可查阅参考资 料，得出结论。但要知道如何得出的。
学法指导：要注意讨论一下直线斜率不存在的情况，对x的系数分两种情况讨论它们平行、垂直、相交成立的条件.最后条件是以字母的形式出现的，可以当结论直接用.
练习：课本P109 A组 3
【检测反馈】
1、已知集合，那么集合为( )
A {3,–1} B 3,–1 C (3,–1) D {(3,–1)}
2 、直线y=kx+2k+1与直线的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )
A B C D
3、与直线的交点为（3，–2），则过点的直线方程是___________________.
【课后反思】
【作业】课本P109 习题3.3 A组 1、2、5 ，B组1
3.3.2两点间的距离
【课标转述】
探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【学习目标】
1、掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.
2、通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.
3、体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.
【学习流程】
一、新课引入
探究一：1、求B(3，4)到原点的距离是多少
2、在平面直角坐标系中，任意两点间的距离是多少
（自学课本P104－P105内容，了解两点间距离公式的推导原理，在下面写出大致的推导过程，并把不明白的地方用红笔标注出来）
两点间的距离公式：设是平面直角坐标系中的任意两个点，
则=
二、典型例题
例1 已知点在轴上求一点，使，并求的值。
（写完后，打开课本P105，检查自己所写与课本是否一样,还有没有不同的方法，写出来）
试一试：已知两点,求的值,并在轴上求一点,使 的最小值。
学法指导：借助对称的思想求点A（或点B）关于y轴的对称点，连接与y轴的交点即为所求。
例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
学法指导：先建立适当的坐标系，用坐标表示有关变量，然后进行代数运算，最后把运算结果“翻译”成几何关系.
例3 已知.
练习：课本P106 1、2（做到书上即可）
【检测反馈】
1、求在数轴上，与两点A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标.
2、已知三点A(3，2)、B(0，5)、C(4，6)，则△ABC的形状是( )
A、直角三角形 B.等边三角形
C、等腰三角形 D.等腰直角三角形
【课后反思】
【作业】课本P110 习题 A组 6、7、8 ，P100 A组 2（用不同于前面的方法来做）
3.3.3－3.3.4点到直线的距离和两平行直线间的距离
【课标转述】
探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【学习目标】
1、看懂点到直线的距离公式的推导过程，体会到等面积法在推导过程中的使用;
2、会利用点到直线的距离公式来求点到直线的距离;
3、能将直线间的距离转化为点到直线的距离来求解两条平行直线间的距离，并推导出两平行直线间的距离公式；
4、可以直接运用两平线间的距离公式求两平行直线间的距离.
【学习流程】
一、复习回顾：两点间的距离公式：设是平面直角坐标系中的任意两个点，则=
二、新课导入
1、思考下列问题后，小组讨论，交流你的心得.
问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线方程中，如果，或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢？并画出图形来.
问题2：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线的方程是，又怎样用点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢 写出必要的推导过程（参考课本P106－P107内容，理解推导距离公式所用的等面积法）
点到直线的距离公式：已知点和直线，则点到直线的距
离为： .
注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；
⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.
(3)当A＝0或B＝0时，可以使用公式或数形结合来求距离.
例1 求点到下列直线的距离：
例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积
学法指导：在求底边上的高时要先求出底边所在直线的方程，再用点到直线间的距离公式求高.
2、两条平行直线间的距离：夹在两条平行直线间公垂线段的长.
问题3：求两平行线， 的距离.
学法指导：在两直线中任意一条上任取一个点，借助点到直线的距离公式来求解.
两平行直线间的距离公式：已知两条平行线直线，，则与的距离为（请仿照问题3的求解方法，写出此公式的推导过程）
推导过程：
例3 已知直线是否平行？若平行，求间的距离.
注意：应用此公式应注意如下两点：
（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使两平行直线的方程的系数相等.
【检测反馈】
1、点（0，5）到直线y=2x的距离是( )
A B C D
2、两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.
3.已知点到直线的距离为1,则的值等于( )
A. B. C. D.
【课后反思】
【作业】课本P110 A组9、10，B组2、4
第三章 直线与方程 小结与复习
【课标转述】
1在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
4根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.
5能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
6探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【学习目标】
1、能够准确求出直线的斜率和倾斜角；
2、能够根据相应条件求出对应的直线方程;
3、能够熟练应用直线方程的五种形式解题.
【学习流程】
一、知识归类
1.直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，
它们的关系是 （.
（2）直线倾斜角的范围是 .
（3）直线过两点的斜率公式为： .
2.两直线垂直与平行的判定
（1）对于不重合的两条直线，其斜率分别为，，则有：
； .
（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 .
3.直线方程的几种形式
名称 方程形式 适用条件
点斜式 不表示 的直线
斜截式 不表示 的直线
两点式 不表示 的直线
截距式 不表示 和 的直线
一般式
注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.
4.几个距离公式
（1）两点之间的距离公式是： .
（2）点到直线的距离公式是： .
（3）两条平行线间的距离公式是： .
二、典型例题
题型一：直线的倾斜角与斜率问题
例1 已知坐标平面内三点.
（1）求直线的斜率和倾斜角.
（2）若为的边上一动点，求直线斜率的变化范围.
学法指导：由题目可获取以下主要信息：
（1）、、三点的坐标已知.
（2）直线经过线段上的某个动点.
（3）求斜率及变化范围.
解答本题可借助图形，第（1）问利用斜率公式求斜率，由斜率与倾斜角的关系求倾斜角.第（2）问可借助图形直观观察得直线斜率的取值范围.
本题小结：数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点.当直线绕定点由与轴平行（或重合）位置按逆时针方向旋转到与轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到（即斜率不存在）；按顺时针方向旋转到与轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到（即斜率不存在）.这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围.
题型二：直线的平行与垂直问题
例2 已知直线的方程为，求下列直线的方程,
满足（1）过点，且与平行；（2）过，且与垂直.
学法指导：解答本题可先求出的斜率，然后由平行（垂直）的条件得所求直线的斜
率，再由点斜式写方程；也可由两直线平行（垂直）的方程特征，设出方程，再由待定
系数法求解.
本题小结：与直线平行的直线方程可设为，再由其
他条件列方程求出；与直线垂直的直线方程可设为
，再由其他条件求出.
题型三：直线的交点、距离问题
例3 已知直线经过点,且被平行直线所截得的线段的中点在直线上，求直线的方程.
学法指导：已知直线过点要求直线的方程，只需求另外一点或直线的斜率
即可.
本题小结：解此类题目常用的方法是待定系数法，然后由题意列出方程求参数；也可综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线的特征，然后由已知条件写出直线的方程.
题型四：直线方程的应用
例4 已知直线.
（1）求证：不论为何值，直线总经过第一象限；
（2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围.
学法指导：解答本题可先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第一问；第二问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得.
本题小结：含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现问题是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况，可研究直线过定点.
【检测反馈】
1.若直线过点则此直线的倾斜角是（ ）.
（A） （B）（C） （D）
2.过点和的直线与过点和点直线的位置关系是（ ）
（A）平行（B）重合（C）平行或重合（D）相交或重合
3.过点且垂直于直线的直线方程为（ ）.
(A) (B) (C) (D)
4.已知点则到两点距离相等的点的坐标满足的条件是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
5.直线在同一直角坐标系中的图形大致是（ ）.
6.直线被两直线截得线段的中点是原点，则直线的方程为 .
7.已知若平面内三点共线，则= .
8.过点且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（ ）.
（A）1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
9.已知直线过点，且被平行直线与截得的线段长为，求直线的方程.
【课后反思】
【作业】课本P110 B组1、5、6、7、9
y
A(0,0)
x
B(a,0)
D(b,c)
C(a+b,c)
PAGE
22
用心 爱心 专心