1.1菱形的性质与判定 同步练习2021-2022学年北师大版数学九年级上册（Word版含答案）

菱形的性质与判定（一）
一、单选题
1．下列性质中，菱形具有但平行四边形不一定具有的是（　　）
A．对边相等
B．对角相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
2．在菱形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD，那么∠EAF等于（
）
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
3．如图，菱形的周长为16，，E，F分别为的中点，则的长为（
）
A．
B．
C．4
D．8
4．如图，菱形的两条对角线相交于O，若，，则菱形的周长是（
）
A．52
B．42
C．39
D．13
5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD、AC的中点，若，则菱形ABCD的周长是（
）
A．6
B．18
C．24
D．30
6．如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC＝120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是（
）
A．
B．4
C．
D．
7．如图，菱形中，，将菱形折叠，使得点与点重合，折痕与交于点，与交于点，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．过O作OE⊥AB于点E．延长EO交CD于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的值为（
）
A．5
B．
C．
D．
9．在菱形中，，其所对的对角线长为，则菱形的另一条对角线长为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图四边形ABCD为菱形，点E为BC的中点，点F在CD上，若∠DAB＝60°，∠DFA＝2∠EAB，AD＝4，则CF的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm，则菱形的周长为_______．
12．如图，菱形的对角线，相交于点，点，分别是，边上的中点，连接，若，．则菱形的周长为________．
13．如图，已知菱形的一个内角，对角线，相交于点，点在上，且，则________________．
14．如图，在菱形ABCD中，CD＝6，∠ADC＝60°，在菱形内部有一动点P满足S△PAB＝S菱形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为_____．
15．如图，在矩形中，，，点，分别在，上，连接，，，.若四边形是菱形，则的长为___________.
三、解答题
16．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F．求证：AF＝CE．
17．如图，四边形ABCD是菱形，点E是对角线BD上一点，求证：AE＝CE．
18．如图1，四边形是菱形，于．
（1）若，，求的值；
（2）在图1的基础上连接得图2，若，求的度数．
19．如图，在菱形中，，，于点，点为线段上的动点，为线段上任意一点，连接和．
（1）如图1，当时，求的长．
（2）如图2，作交于点，为的中点，连接，，．猜想线段与存在的数量关系，并证明你猜想的结论．
（3）在点的运动过程中，当的值最小时，请直接写出的长．
参考答案
1．D
解：∵平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，
而菱形具有的性质有平行四边形的一切性质同时还具有四边相等，对角线互相垂直；
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，
故选：D．
2．C
解：如图，连接AC，
∵E是BC中点，且AE⊥BC，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AE平分∠BAC，
∴∠EAC
=30°，
同理可得，∠FAC=30°，
∴∠EAF=∠EAC
+∠FAC
=60°．
故选：C．
3．B
解：连接AC、BD交于点O，
∵∠BCD＝120°，菱形的周长为16，
∴∠ABC＝60°，AC⊥BD，BC＝4，BD=2BO
∴∠OBC＝30°，
∴
∴BO＝，
∴BD＝2BO＝，
∵，分别为，的中点，
∴EF＝，
故选B．
4．A
解：菱形对角线互相垂直平分，，，
BO?=?OD?=?5，AO=?OC?=?12，
在中，
，
菱形的周长为，
故选：A．
5．C
解：∵E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴DC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24．
故选：C．
6．A
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BDA=∠ADC=×120°=60°，
∵AB=AD（菱形的邻边相等），
∴△ABD是等边三角形，
连接DE，
∵B、D关于对角线AC对称，
∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵菱形ABCD周长为16，
∴AD=16÷4=4，
即的最小值是．
故答案选A．
7．D
解：连接BD交AC于点O，
菱形中，，
中，
故选：D．
8．C
解：在菱形中，，，
，，，
，
，
即，
．
故选：．
9．C
解：如图所示，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，BD=4，
∴，，AC⊥BD，∠DAO=∠BAO==30°，
∴∠DOA=90°，
∴AD=2OD=4，
∴，
∴，
故选C.
10．D
解：延长AE，DC交于点G，过点F作FH⊥AD，交AD的延长线于H，
∵CD∥AB，
∴∠EAB＝∠G，∠DAB＝∠HDF＝60°，
∵∠DFA＝2∠EAB＝∠G+∠FAG，
∴∠G＝∠FAG，
∴AF＝FG，
∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△CEG和△BEA中，
∴△CEG≌△BEA（AAS），
∴AB＝CG＝4，
设DF＝x，
∴FC＝4﹣x，
∴FG＝8﹣x＝AF，
∵HF⊥AD，∠HDF＝60°，
∴∠DFH＝30°，
∴DH＝x，
∴，
∵AF2＝HF2+AH2，
∴（8﹣x）2＝x2+（4+x）2，
∴x＝，
∴CF＝，
故选D．
11．
解：如图，是菱形的对角线，交于点
设，
四边形是菱形，
，，
，
在中，
，
菱形的周长为．
故答案为：．
12．20
解：∵点，分别是，边上的中点，
∴
，
∵，
∴
，
∵四边形是菱形，，
∴
，
，
，
∴在
中，由勾股定理得：
，
∴菱形的周长为
．
故答案为：20．
13．
解：在菱形中，
∴，，
又∵
∴
∴
故答案为25．
14．
解：设△APB的边AB上的高为x，菱形AB边上的高为y，
∵，
∴，
∴
在AD上取AM＝AD，过M点作MN∥AB，则点P在MN上，
作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于P点，如下图：
∵AP＝A'P，
∴PA+PB＝A'P+PB＝A'B，
此时PA+PB的值最小，
∵CD＝6，∠ADC＝60°，
∴∠DAA'＝30°，
∴
∴，
∴AH＝AG＝，
∴AA'＝，
在Rt△ABA'中，A'B2＝AB2+AA'2，
∴A'B2＝62+（）2，
∴A'B＝，
∴PA+PB的最小值为，
故答案为．
15．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵=CD，=AD，
∴BD＝，
∵四边形EBFD为菱形，
∴EF⊥BD，BE＝DE，OD＝BD＝5，
设BE＝x，则DE＝x，AE＝8?x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2＋AE2＝BE2，
∴62＋（8?x）2＝x2，
解得：x＝，
∴DE＝，
Rt△EOD中，OE＝，
∵四边形EBFD为菱形，
∴EF＝2OE＝．
故答案为：．
16．见解析
解：证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
∵AE⊥BC，CF⊥AB，
∴∠CFB＝∠AEB＝90°，
在△AEB和△CFB中，
，
∴△AEB≌△CFB（AAS），
∴BE=BF，
∵AF=AB-BF，CE=BC-BE，
∴AF＝CE．
17．证明过程见详解．
解：证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
，
∴（SAS），
∴．
18．（1）；（2）．
解：（1）∵四边形为菱形，
∴，，，
∴
∴
又于
∴
，
（2）于
是直角三角形，且
菱形中，，
，
19．（1）；（2），理由见解析；（3）．
解：（1）∵四边形是菱形，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴点是的中点，
∴，
在中，
由勾股定理可得；
（2）；理由：如图延长交于，
连接，设与交于点，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
，
，，
，
，即，
为等边三角形，
，，
；
（3）如图3所示：设点P为等边△ABC的中心，
将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴DE＝PC，AP＝AD，
连接PD，
则△APD是等边三角形，
∴PD＝PA，∠APB＋∠APD＝120°＋60°＝180°，∠ADP＋∠ADE＝180°，
∴B、P、D、E四点共线，
∴PA＋PB＋PC＝PD＋PB＋DE＝BE．
在△ABC中，另取一点P′，则点P′与三个顶点连线的夹角不相等，即∠AP′B≠120°，
将△ACP′绕点A逆时针旋转60°得到△AD′E，
∴D′E＝P′C，AP′＝AD′，
连接P′D′，则△AP′D′是等边三角形，
∴P′D′＝P′A，∠APB＋∠APD≠180°，∠ADP＋∠ADE≠180°，
∴B、P′、D′、E四点不共线，
∴P′A＋P′B＋P′C＞PA＋PB＋PC，
∴点P为等边△ABC的中心时到三个顶点距离之和最小，
∴在点F的运动过程中，当HB＋HC＋HD的值最小时，点H为等边△BCD的中心，
此时，DF⊥BC，HF＝DF，
由（1）得：DF＝，
∴HF＝×．