1.2矩形的性质与判定同步优生辅导训练2021-2022学年九年级数学北师大版上册（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
同步优生辅导训练（附答案）
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG＝30°，则OG的长为（　　）
A．2
B．2
C．
D．3
2．如图，点O是矩形ABCD的中心，AB＝6，BC＝8，过点O作两条互相垂直的直线，分别交AB、CD于点E、点F，交AD、BC于点G、点H，当BE＝2时，AG长为（　　）
A．3
B．
C．
D．
3．如图矩形ABCD中，AB＝2，E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°则AE（　）
A．
B．2﹣2
C．2﹣
D．2
4．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角相等
C．对边相等
D．对角线相等
5．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且OE＝AE，则边BC的长为（　　）
A．2
B．3
C．
D．6
6．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（　　）
（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE＝S矩形ABCD．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，矩形ABCD中，P为AB边上一动点（含端点），E为CD中点，F为CP中点，当点P由B向A运动时，下面对EF变化情况描述正确的是（　　）
A．由小变大
B．由大变小
C．先变大后边小
D．先变小后变大
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在BC上，DF平分∠ADE，DE⊥EF，则BF长为（　　）
A．
B．1
C．
D．
9．如图矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在边BC上，若EA平分∠BED，则BE＝　
　．
10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为　
　．
11．依次连接菱形各边中点所得到的四边形是　
　．
12．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，BE＝8，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣4）2＝　
　．
13．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　
　．
14．如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOB＝60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有　
　条．（填具体数字）
15．点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为　
　．
16．E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC于点O，已知△COE与△AOB的面积分别为2和32，则四边形AOED的面积为　
　．
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AE＝DF．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．
18．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD＝BE．
19．如图，在?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点E是AB的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．
20．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，连接AE，若BE＝3，AF＝5，求AB的长．
参考答案
1．解：∵EF⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
在Rt△AOE中，G是AE的中点，
∴OG＝AE＝AG＝GE，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∴∠OGE＝60°，
∴△OGE是等边三角形，
设OG＝x＝OE，
∴AE＝2x，AO＝x，
∵O是AC的中点，
∴AC＝2AO＝x，
在Rt△ABC中，
BC＝AC＝x，
由勾股定理得，
AB2+BC2＝AC2，
∴，
解得x＝2．
∴OG＝2，
故选：B．
2．解：如图，连接BD，EG，GF，HF，EH，
∵点O是矩形ABCD的中心，
∴AB＝CD＝6，∠A＝90°，BO＝DO，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，BE＝DF＝2，
同理可证GO＝HO，
∴四边形GFHE是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴四边形EHFG是菱形，
∴EG＝GF，
∵EG2＝AE2+AG2，GF2＝GD2+DF2，
∴16+AG2＝（8﹣AG）2+4，
∴AG＝，
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠A＝∠D＝∠DCB＝90°，
∵∠DCE＝45°，
∴DE＝DC＝2，
∴EC＝2，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝45°，
∵EB平分∠AEC，
∴∠BEC＝∠AEB＝∠AEC＝，
∴∠EBC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠BEC＝∠EBC，
∴BC＝CE＝2，
∴AD＝BC＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝2﹣2，
故选：B．
4．解：A、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合；
B、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；
C、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；
D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；
故选：D．
5．解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，∠ABC＝90°，AB＝CD，
即EA⊥AB，
∵四边形BFDE是菱形，
∴BD⊥EF，
∵OE＝AE，
∴点E在∠ABD的角平分线上，
∴∠ABE＝∠EBD，
∵四边形BFDE是菱形，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°，
∵AB的长为3，
∴BC＝3，
故选：B．
6．解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG＝AG＝GE＝AE，
∵∠AOG＝30°，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，
∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；
设AE＝2a，则OE＝OG＝a，
由勾股定理得，AO＝＝＝a，
∵O为AC中点，
∴AC＝2AO＝2a，
∴BC＝AC＝×2a＝a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3a，
∴DC＝3OG，故（1）正确；
∵OG＝a，BC＝a，
∴OG≠BC，故（2）错误；
∵S△AOE＝a?a＝a2，
SABCD＝3a?a＝3a2，
∴S△AOE＝SABCD，故（4）正确；
综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个．
故选：C．
7．解：连接DP，
∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF为△CDP的中位线，
∴EF＝DP，
在Rt△DAP中，由勾股定理得，
DP＝，
当点P由B向A运动时，
AP的长度逐渐减小，
∴DP减小，
∴EF由大变小，
故选：B．
8．解：∵矩形ABCD中，DF平分∠ADE，DE⊥EF，
∴∠ADF＝∠EDF，∠A＝∠DEF＝90°，
又∵DF＝DF，
∴△ADF≌△EDF（AAS），
∴DE＝DA＝5，AF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠B＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，
∴Rt△CDE中，CE＝＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝5﹣4＝1，
设BF＝x，则AF＝EF＝3﹣x，
∵Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴12+x2＝（3﹣x）2，
解得x＝，
∴BF＝，
故选：D．
9．解：如图，作AF⊥ED于点F，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝5，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵EA平分∠BED，BE⊥AB，EF⊥AF，
∴∠AEB＝∠AEF，BE＝FE，
∴∠AEF＝∠DAE，
∴AD＝DE＝5，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴AB＝AF，
∵AB＝3，
∴AF＝3，
∵AF⊥FD，
∴DF＝，
∴FE＝DE﹣DF＝5﹣4＝1，
∴BE＝1，
故答案为：1．
10．解：连接AP，
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
11．解：连接AC、BD交于O，
∵E、F、G、H分别是AB、AD、CD、BC的中点，
∴EF∥BD，FG∥AC，HG∥BD，EH∥AC，
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EF∥BD，EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：矩形．
12．解：取BE中点F，连接DF，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝x，AD＝y，
∴CD＝AB＝x，BC＝AD＝y，∠BCD＝90°．
又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF＝4，
∴BF＝DF＝EF＝4．
∴CF＝4﹣BC＝4﹣y．
∴在直角△DCF中，DC2+CF2＝DF2，即x2+（4﹣y）2＝42＝16，
∴x2+（y﹣4）2＝x2+（4﹣y）2＝16．
13．解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AC＝2AO＝2OC，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∴S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝＝＝10，
∴AO＝OD＝5，
∵S△APO+S△DPO＝S△AOD，
∴×AO×PE+×DO×PF＝12，
∴5PE+5PF＝24，
PE+PF＝，
故答案为：．
14．解：∵AC＝16，四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB，BO＝DO＝BD，AO＝OC＝AC＝8，BD＝AC，
∴BO＝OD＝AO＝OC＝8，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝AO＝8，
∴DC＝8，
即图中长度为8的线段有AO、CO、BO、DO、AB、DC共6条，
故答案为：6．
15．解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝5，∠D＝∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝13，
∵点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，
∴OM＝CD＝，BO＝AC＝，AM＝AD＝6，
∴四边形ABOM的周长为：AB+BO+OM+AM＝5+++6＝20，
故答案为：20．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△COE∽△AOB，
∵△COE与△AOB的面积分别为2和32，
∴OE：OB＝1：4，
∴S△BOC＝8，
∴S△ABC＝8+32＝40，
∴S△ADC＝S△ABC＝8+32＝40，
∴四边形AOED的面积＝40﹣2＝38，
故答案为：38．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AEO和△DFO中，
，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴AE＝DF；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD＝2：3，
∴∠BAE＝36°，
∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，
∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°．
18．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AB∥CD，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC＝BE，
∴BD＝BE．
19．答：四边形AGBD是矩形．
证明：∵∠DAB＝60°，AB＝2AD，点E是AB的中点，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE＝BE，
∴AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∵AG∥BD
∴AD⊥AG
∴四边形AGBD是矩形．
20．解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≡△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE＝5，
Rt△ABE中，∵BE＝3，
∴AB＝＝4．