人教版数学2021-2022学年八年级上册第12章-12.3第2课时《角平分线的判定》同步训练（word版，含解析）

人教版数学2021-2022学年八年级上册第12章-12.3第2课时
《角平分线的判定》同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图所示，和一条定长线段，在内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使，点H为垂足；（2）过点N作；（3）作的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（
）
A．平行线之间的距离处处相等
B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
2．下列命题：
①等腰三角形的高、中线和角平分线重合；
②到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上．
正确的有（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是（
）
A．62°
B．31°
C．28°
D．25°
4．如图所示，点在的内部，，，垂足分别为，，，则与的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．无法确定
5．如图，已知于点，于点，且，，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
6．下列语句中正确的是（
）
A．三角形的一个外角等于两个内角的和
B．有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等
C．有两边分别相等的两个直角三角形全等
D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
7．在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　）
A．
B．点D在∠BAC的平分线上
C．
D．点D是BE的中点
8．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CQ与内角∠ABC的平分线BQ交于点Q，若∠BQC=36°，则∠CAQ的度数为（
）
A．54°
B．62°
C．72°
D．75°
9．如图，点是线段上任意一点（点与点，不重合），分别以、为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点、与相交于点，与相交于点，连，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二、填空题
10．如图，，，，，则______，______．
11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
12．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________．
13．如图，已知点P到BE、BD、AC的距离相等，则点P的位置：（1）在∠B的平分线上；（2）在∠DAC的平分线上；（3）在∠ECA的平分线上；（4）恰是∠B、∠DAC、∠EAC三条角平分线的交点上述结论中，正确有_____个．
14．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ范围是____．
15．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为_____．
三、解答题
16．在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线；
17．如图，已知
（1）用直尺和圆规按下列要求作图：（保留作图痕迹）在上作点D，使点D到和的距离相等；过点B作交的延长线于E；
（2）若，垂足为F，证明．
18．
已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．
19．如图，PA=PB，∠PAM+∠PBN=180°，求证：OP平分∠AOB．
20．如图，四边形中，，点为的中点，且平分，，垂足为点
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）判断，，之间的数量关系，并说明理由．
21．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB=7，AD=4，CD=8，且S△ACD=15，求△ABE的面积．
参考答案
1．B
【分析】
题目要求满足两个条件，其一是到OA，OB的距离相等，作角平分线，根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上，可得出答案．
【详解】
解：根据角平分线的性质，（3）的依据是到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是角平分线的性质，熟记性质内容是解此题的关键．
2．B
【分析】
根据等腰三角形、角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质判断即可．
【详解】
解：①等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线互相重合，原命题是假命题；
②在角的内部，到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，原命题是假命题；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上，是真命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．C
【解析】
如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴2∠BAE+2∠ABE=180°，
即∠BAE+∠ABE=90°
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°﹣∠AED=62°，
∴Rt△BCE中，∠CEB=62°，
∴∠CBE=28°，
∴∠ABE=∠CBE=28°．
故选C．
4．B
【分析】
由角平分线的判定定理可知，点在的平分线上，据此解题．
【详解】
，，，
点在的平分线上，
，
故选：．
【点睛】
本题考查角平分线的判定定理及角平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．D
【分析】
先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠CDA的度数，即可求解．
【详解】
解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=∠BAC=20°，
∴∠CDA=90°-20°=70°，
∵，
∴∠CDG=∠ADG-∠CDA=130°-70°=60°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与直角三角形的两锐角互余的性质，仔细分析图形是解题的关键．
6．C
【分析】
根据三角形的外角性质，全等三角形的判定，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】
解：A.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和，故本选项错误；
B.
两边和这两边的夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项错误；
C.
有两边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确；
D.
在角的内部角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，故本选项错误；
故选C．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．D
【分析】
先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理可得，由此可判断选项A；先根据三角形全等的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理可得，由此可判断选项C；先根据三角形全等的性质可得，再根据角平分线的判定定理即可得判断选项B；先根据三角形全等的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断选项D．
【详解】
，
，
在和中，，
，则选项A正确；
，
，即，
在和中，，
，则选项C正确；
，
又，
点D在的平分线上，则选项B正确；
，
，
是的斜边，DE是的直角边，
，
，
即点D不是BE的中点，选项D不正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
8．A
【分析】
先根据角平分线的定义和三角形的外角性质求出∠BAC的度数，然后延长BA至E，过点Q作QF⊥BD，QG⊥AC，QH⊥BE，垂足分别为F、G、H，如图，则∠CAE可得，根据角平分线的性质可得QG=QH，于是可得AQ是∠CAE的平分线，进而可得答案．
【详解】
解：∵∠ACD的平分线CQ与内角∠ABC的平分线BQ交于点Q，
∴∠ACD=2∠QCD，∠ABC=2∠QBC，
∴∠BAC=∠ACD－∠ABC=2∠QCD－2∠QBC=2（∠QCD－∠QBC）=2∠BQC=72°，
延长BA至点E，过点Q作QF⊥BD，QG⊥AC，QH⊥BE，垂足分别为F、G、H，如图，则∠CAE=108°，
∵CQ平分∠ACD，BQ平分∠ABC，
∴QF=QG，QF=QH，
∴QG=QH，
∴AQ是∠CAE的平分线，
∴∠CAQ=∠CAE=54°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义和性质以及三角形的外角性质等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、灵活应用所学知识是解题的关键．
9．A
【分析】
利用等边三角形的性质，证明
从而可判断①，由可得
再利用三角形的内角和定理可判断②，如图，过作交于
过作交于
利用全等三角形的对于高相等证明
从而可判断③，如图，在上截取
连接
证明为等边三角形，再证明
可得
从而可判断④．
【详解】
解：为等边三角形，
即
故①符合题意；
故②符合题意；
如图，过作交于
过作交于
为对应边，
平分
故③符合题意；
如图，在上截取
连接
为等边三角形，
故④符合题意；
综上：①②③④都符合题意，
故选：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
10．
【分析】
利用到角两边距离相等的点在这个角的平分线上即可得到AD为∠BAC的角平分线，从而得到答案.
【详解】
解：∵，，，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∴，
故答案为：；.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理的逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.熟练运用定理是解题的关键.
11．
【分析】
利用三角形的内角和定理先求解，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：平分
从而可得答案．
【详解】
解：
平分
故答案为：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
12．150°
【分析】
先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
【详解】
∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．
故答案为150°
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．
13．4
【详解】
利用角平分线性质的逆定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得．
解：由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．
故答案为4．
本题主要考查角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．做题时，可分别处理，逐个验证．
14．大于等于2
【详解】
PQ垂直OM时，PQ=PA=2最小，所以PQ范围是大于等于2.
15．2
【分析】
作PF⊥OB于F，根据平行线的性质得到∠BOC=∠DPO，得到PD=OD，根据直角三角形的性质求出PF，根据角平分线的性质定理得到答案．
【详解】
解：作PF⊥OB于F，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB＝75°，
∵PD∥OA，
∴∠DPO＝∠AOC＝75°，
∴∠BOC＝∠DPO＝75°，
∴PD＝OD＝4，∠PDO＝30°，
∴PF＝PD＝2，
∵OC平分∠AOB，PF⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PF＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质等腰三角形的判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．证明见解析
【分析】
由已知可以得知△BED与△CFD都是直角三角形，且BD=DC，BE=CF，所以由HL可知RT△BED≌RT△CFD，于是有DE=DF，因此由角平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．
【详解】
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴△BED与△CFD都是直角三角形，
又BE=CF，
∴RT△BED≌RT△CFD（HL），
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）．
【点睛】
本题考查直角三角形的全等与角平分线的判定，灵活运用HL定理及角平分线的判定定理是证题关键．
17．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）作∠BAC的平分线，交BC于D，作∠ABE=∠BAD，交CA延长线于E即可；
（2）根据已知条件，利用ASA证明△AFE≌△AFB，可得结果．
【详解】
解：（1）如图所示，AD和BE即为所作；
（2）∵BE∥AD，AF⊥BE，
∴∠DAF=180°-90°=90°，∠EAF+∠CAD=90°，
即∠BAF+∠BAD=90°，
由（1）可知：∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠EAF，
∵∠AFE=∠AFB=90°，AF=AF，
∴△AFE≌△AFB（ASA），
∴EF=BF．
【点睛】
本题考查了尺规作图，平行线的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
18．见解析
【分析】
根据已知条件证明△BDE≌△CDF，得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可得到结论.
【详解】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
【点睛】
此题考查三角形全等的判定及性质，角平分线的判定定理，正确理解题意证明∴Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键.
19．详见解析
【分析】
过点P分别作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足分别为E，F，根据等角的补角相等可得出∠PAE=∠PBF，结合∠AEP＝∠BFP、PA＝PB即可证出△APE≌△BPF（AAS），根据全等三角形的性质可得出PE＝PF，进而可证出OP平分∠AOB．
【详解】
如图，过点P分别作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足分别为E，F，
则∠PEA=∠PFB=90°．
又∵∠PAM+∠PBN=180°，∠PBF+∠PBN=180°，
∴∠PAM=∠PBF，即∠PAE=∠PBF．
在△PAE与△PBF中，，
∴△PAE≌△PBF（AAS）．
∴PE=PF．
又∵PE⊥OM，PF⊥ON，
∴OP平分∠AOB．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，利用全等三角形的判定定理AAS证出△APE≌△BPF是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；
（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，同理求出，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等可得，，然后证明即可．
【详解】
证明：∵，平分，OE⊥AC，
∴.
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴平分.
证明：在和中，
，
∴，
∴.
同理求出，
∴，
∴.
解：.
理由如下：
∵，
∴.
同理可得.
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行分析．
21．（1）40?；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）利用直角三角形的性质求得，再利用平角的性质求解即可；
（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，由，推出EF=
EG；由BE是∠ABC的平分线，推出EF=
EH；利用角平分线的判定定理即可证明DE平分∠ADC；
（3）利用，求得EG=
EH=EF=，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）∵EF⊥AB，且∠AEF=50°，
∴，
∵∠BAD=100°，
∴；
（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵，EF⊥AB，EG⊥AD，
∴EF=
EG；
∵BE是∠ABC的平分线，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF=
EH；
∴EG=
EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）∵，
∵EG=
EH，AD=4，CD=8，
∴EG=
EH=，
∴EF=
EH=，
∴．