山西省运城市2022届高三上学期入学摸底测试理科数学试题（图片版含答案）

数学理科参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
B
B
D
B
B
A
A
C
C
二、填空题
13.1
14.
15.
16.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
答案：（1）设公差为d，则，，，，
………2分
又是与的等比中项，，解得或（舍去）……4分，
.
………………6分
（2）由（1）得，
………………7分
故其前n项和，①
则，②
………………9分
由①-②得，
………………10分
.
………………………………………………………12分
18.答案：解：（1）证明：因为四边形为等腰梯形，且
所以为等腰直角三角形
因为，所以，
因为，，所以
…………………
………………2分
所以，
又因为平面，平面，
所以平面
…………………………………………………………4分
因为平面
所以
…………………………………………………………5分
（2）因为，，
所以，即
因为，平面，平面，
所以平面
…………………………………………………………6分
如图，以为原点，，，分别为，轴建立空间直角坐标系，
由（1）知，故，，，，，，，
a
假设在棱上存在一点满足题意，设，.
所以
…………………………………8分
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，解得，故
……………………………………10分
易得平面的一个法向量为
设二面角为，可知二面角为锐二面角
解得，
所以存在满足题意的点，位置在靠近点的三等分点处………………12分
19.答案：（1）设顾客所获的奖励额为X.
①依题意，得，即
顾客所获的奖励额为60元的概率为.…………………………………………………………2分
②依题意，得随机变量X的所有可能取值为20，60.
.
即随机变量X的分布列为
X
60
20
P
…………………………………………………………4分
所以顾客所获的奖励额的均值为
.
……………………………………5分
（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.
所以先寻找均值为60元的可能方案.
对于由标有面值为10元和50元组成的情况，
如果选择的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；
如果选择的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是，记为方案1
对于由标有面值为20元和40元组成的情况，同理可排除和的方案，所以可能的方案是，记为方案2.
.………………7分
对于方案1，即方案，设顾客所获的奖励额为,则随机变量的分布列为
20
60
100
P
.
.………………9分
对于方案2，即方案，设顾客所获的奖励额为，则随机变量的分布列为
40
60
80
P
.
.………………11分
因为两种方案所获的奖励额都符合要求，但方案2所获的奖励额的方差比方案1的小，即方案2使每位顾客所获的奖励额相对均衡，所以应该选择方案2.
………………12分
20.解：(Ⅰ)已知()到焦点的距离为，则点到其准线的距离为10.………………2分
∵抛物线的准线为，∴，……………………………………2分
解得，，∴抛物线的方程为.
…………………………5分
(Ⅱ)由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为(0，1)，则.
设()，(，)，由消去得，，
∴，.
……………………………………7分
由于抛物线也是函数的图象，且，则.
令，解得
，∴，从而.………………9分
同理可得，，…………………………………………………………10分
∴.
∵，∴的取值范围为.
……………………………12分
21
（1），
当时，，递增，当时，，递减。
故的单调递增区间为，单调递减区间为。
…………………3分
（2）是的一个零点，当时，由得，，
，
当时，递减且。
当时，，且时，
递减，时，递增，故，.
………………………………5分
分析图像可得，
当时，有1个零点
当或时，
有2个零点；；
当时，
有3个零点.
………………………………7分
（3），
，………………………………8分
设的根为，即有
，可得，，
当时，，。
当时，，。………………………………10分
，
……………………………………12分
22.答案：解：（1）消去参数t可得的普通方程为:；……………………2分
对两边同乘,可得,
则,整理可得的直角坐标方程为
…………………5分
（2）由（1）将的标准参数方程代入到的直角坐标方程得,
…………………………7分
设两点对应的参数分别为,
则,
………………………………9分
所以
………………………………10分
解析：
答案：（1），
………………………………2分
不等式等价于或或………………………………4分
解得或
不等式的解集为.
………………………………5分
（2）由（1）知：当时，；
当时，；
当时，.
………………………………7分
故函数为的值域，即的最小值是3.
不等式对一切实数x恒成立，
，解得：
………………………………9分
故实数a的取值范围是.
………………………………10分