22.2二次函数与一元二次方程 同步练习（含解析）

22.2二次函数与一元二次方程检测题
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一、单选题（每小题4分，共40分）
1.二次函数
（a，b，c为常数，且
）中的x与y的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
下列结论：①
；②
；③当
时，y随着x的增大而减小；④-1和3是方程
的根，其中正确的个数为（??
）
A.?1个???????B.?2个???????????C.?3个?????????????????D.?4个
2.如图，是抛物线
（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线
（）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①
；②抛物线与x轴的另一个交点是（，0）；③方程
有两个相等的实数根；④当时，有；⑤若
，且；则
.则命题正确的个数为（??
）
A.?5个???????????B.?4个?????????????C.?3个??????????????D.?2个
第2题图
第3题图
3.如图，抛物线
的对称轴为直线
，若关于的一元二次方程（为实数）在
的范围内有解，则
的取值错误的是（
?
）
A.?????????B.?????????C.????????D.?
4.若函数
的图象如图所示，则关于x的一元二次方程
的根的情况为（
??
）
第4题图
第10题图
A.?没有实数根??????
?B.?只有一个实数根
C.?有两个相等的实数根????D.?有两个不相等的实数根
5.已知二次函数y＝﹣
+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（?
）
A.?5???????????B.?7????????????????C.?12????????????D.?﹣7
6.关于x的一元二次方程
（t为实数）有且只有一个根在
的范围内，则t的取值范围是（??
）
A.????????????
B.??
C.?
或
???????????D.?
7.已知二次函数y=ax2+bx+c，且a＜0，a-b+c＞0，则一定有（??
）
A.????????????B.?????????????
C.?????????????D.??
8.若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（　　）
A.?﹣3＜x＜1??????????????????B.?x＜﹣3或x＞1?
C.?x＞﹣3??????????????????
D.?x＜1
9.根据下列表格的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的大致范围是（???
）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
ax2＋bx＋c
?0.03
?0.01
0.02
0.04
A.?6.19C.?6.1710.如图，一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象可能是（??
）
??????????
A
B
C
D
二、填空题（每小题5分，共30分）
11.已知抛物线
与
轴交点的坐标分别为
，
，则一元二次方程
的根为________.
12.若一元二次方程2x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是________.
13.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣1，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c的解为________.
14.将抛物线y=x2-4x+a向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y=2有两个交点，则a的取值范围是__
____.
15.二次函数的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是____
____?　．
第15题图
第16题图
16.如图，已知顶点为(-3,-6)的抛物线
经过点(-1,-4)，下列结论：①
；②
；③若点
(-2，m)，
在抛物线上，则
；④关于
的一元二次方程
的两根为
和
，其中正确的是____
____.
三、解答题（每小题15分，共30分）
17.已知二次函数（1）
求证：二次函数的图象必过点
；
（2）若点
，
在函数图象上，
，求该函数的表达式；
（3）若该函数图象与x轴有两个交点
，
，求证：
.
18.如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】∵当
时，
；当
时，
；当
时，
，
∴
，解得：
，
故该二次函数为
，且改为顶点式为
.
∴
，故①正确；
，故②正确；
∵
，且对称轴为
，
∴当
时，y随x的增大而减小，故③错误；
方程
为
，即
，
解方程
，得：
，故④正确.
综上正确的为①②④，共3个.
故答案为：C.
2.【答案】
B
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴
∴2a+b=0，故①正确；
∵抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标的横坐标为1-3=-2
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标的横坐标为（-2.，0），故②正确；
∵将抛物线y=ax2+bx+c向下平移3个单位可得到y=ax2+bx+c-3，
∴顶点坐标由（1，3）变为（1，0）
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故③正确；
由图象可知当1＜x＜4时，y2＜y1
，
故④正确；
若ax12+bx1=ax22+bx2
，
则ax12+bx1+c=ax22+bx2+c
∴y2=y1
，
∴x1和x2关于函数的对称轴对称，
由①可知抛物线的对称轴为直线
，
∴
∴x1+x2=2，故⑤错误；
∴正确结论有4个.
故答案为：B.
3.【答案】
A
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=2,
∴
解得，m=4．
∴抛物线的解析式为
当x=2时，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4）．
当x=1时，
当x=3时，
∵关于x的一元二次方程是
，
∴
．
∵方程
在
的范围内有解，
∴抛物线
与直线y=t在
范围内有公共点，如图所示．
故答案为：A
4.【答案】
A
【解析】解：
函数的顶点的纵坐标为-3，
直线
与函数图象只有一个交点，
相当于函数
向上平移5个单位，
关于x的一元二次方程
的根的情况为没有实数根.
故答案为：A.
5.【答案】
B
【解析】∵二次函数y＝﹣
+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
∴
，
解得：
，
将b＝4，c＝5代入方程﹣
+bx+c+d＝0，
得：﹣
+4x+5+d＝0，
又∵关于x的方程﹣
+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，
∴把x＝6代入方程﹣
+4x+5+d＝0，
得：﹣36+4×6+5+d＝0，
解得：d＝7，
经验证d＝7时，△＞0，符合题意，
∴d＝7.
故答案为：B.
6.【答案】
C
【解析】解：根据题意得，
，
，
①当
时，即
，
原方程为
，
，满足条件；
②当
时，原方程有两个不相等的实数根，在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示，观察图象可知，当
时，方程的两个根一个小于等于-2，另一个大于等于4；
当
时，方程的两个根一个在
范围内，另一个在
范围内；
当
时，方程的两个根都在
范围内；
?
即满足条件的t的范围为
或
，
故答案为：C.
7.【答案】
A
【解析】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口向下.
∵a-b+c＞0，
∴当x=-1时，y=a-b+c＞0，
画草图得：抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0.
故答案为：A.
8.【答案】
B
【解析】解：∵a＞0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，
故答案为：B.
9.【答案】
B
【解析】解：∵当x＝6.18时，y＝?0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0，
∴当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0（其中a，b，c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围为6.18＜x＜6.19．
故答案为：B．
10.【答案】
A
【解析】解：∵
一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，
∴一元二次方程ax2+（b-2）x+c=0有两个不相等的实数根，
∴
函数y＝ax2+（b-2）x+c的图象与x轴有两个交点，
∵a＞0，-＞0，
∴-＞0，
∴
函数y＝ax2+（b-2）x+c的对称轴x=-＞0，
∴A符合题意.
故答案为：A.
二、填空题
11.【答案】
，
【解析】解：物线
与
轴交点的坐标分别为
，
，
则一元二次方程
的根为：
或3，
故答案为：
，
.
12.【答案】
m≤
【解析】解：△=（-2）2-4×2×m
=4-8m≥0,
∴m≤
，
故答案为：m≤.
13.【答案】
2或5
【解析】解：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣1，4），B（2，4），
即y＝ax2＋bx＋c＝4时，x＝﹣1或2，
则将上述抛物线向右平移3个单位得到y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c，
则y＝4时，即y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c＝4，即a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c，
则点A、B也向右平移了3个单位，则x＝2或5，
故答案为2或5.
14.【答案】
【解析】解：∵
，
∴将二次函数
的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为
，即
，
将y=2代入，得
，即
，
由题意，得△=4-4（a-4）＞0，解得：a＜5.
故答案为：a＜5.
15.【答案】
﹣1≤t＜8
【解析】解：对称轴为直线x=﹣=1，
解得b=﹣2，
所以，二次函数解析式为y=x2﹣2x，
y=（x﹣1）2﹣1，
x=﹣1时，y=1+2=3，
x=4时，y=16﹣2×4=8，
∵x2+bx﹣t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故答案为：﹣1≤t＜8．
16.【答案】
①②④
【解析】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴
即
，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为(?3,?6)，
即x=?3时，函数有最小值，
∴
，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=?3，
而点(?2,m),(?5,n)在抛物线上，
∴m∵抛物线
经过点(?1,?4)，
而抛物线的对称轴为直线x=?3，
∴点(?1,?4)关于直线x=?3的对称点(?5,?4)在抛物线上，
∴关于x的一元二次方程
的两根为?5和?1，所以④正确.
故答案为：①②④
三、解答题
17.【答案】
（1）证明：由二次函数
可化为
，
∴令y=0时，则有
，
解得：
，
∴二次函数的图象必过点
；
（2）解：由（1）可得：
，则把点
，
代入得：
，
，
∵
，
∴
，
解得：
，
∴该函数表达式为：
或
；
（3）证明：由题意得：当y=0时，则
是方程
的两个不相等的实数根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，即
.
18.【答案】
（1）解：当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得
，解得
，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）解：①解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x1＝1，x2＝5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM
AB
4＝2
，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ＝AM＝2
，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，
则∠PDQ＝45°，
∴PD
PQ
2
4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，解得m1＝1，m2＝4，
当P点在直线BC下方时，
PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m1
，m2
，
综上所述，P点的横坐标为4或
或
；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1
，
交AC于E，如图2，
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1
，
∴∠AM1B＝2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝NH＝2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（
，
），
设直线EM1的解析式为y
x+b，
把E（
，
）代入得
b
，解得b
，
∴直线EM1的解析式为y
x
，
解方程组
得
，则M1（
，
）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
，
如图2，则∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3
，
∴x
，
∴M2（
，
），
综上所述，点M的坐标为（
，
）或（
，
）．