22.3实际问题与二次函数①关于面积和利润的最值问题 同步练习（含解析）

22.3实际问题与二次函数①关于面积和利润的最值问题检测题
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一、单选题（每小题4分，共40分）
1.小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（??
）
A.?4cm2?????????B.?8cm2??????????C.?16cm2??????
D.?32cm2
2.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（???
）人
A.?56????????????B.?55???????????????C.?54????????????????D.?53
3.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（
）
A.?20?????????????B.?1508?????????????C.?1550??????????????D.?1558
4.某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（???
）
A.?35元???????B.?36元????????C.?37元???????D.?36或37元
5.某商品的进价每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（元）与每件涨价x
（元）之间的函数关系式是（???
）
A.???????
B.?
C.???????????????
D.?
6.某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A.?y＝（50+x-40）（500﹣10x）
B.?y＝（x+40）（10x﹣500）
C.?y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]?
D.?y＝（50+x-40）（500﹣5x）
7.用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为xcm，面积是Scm2
，
则S与x的函数关系式为（??
）
A.?S＝x（20﹣x）????????????B.?S＝x（20﹣2x）
C.?S＝x（10﹣x）????????????????D.?S＝2x（10﹣x）
8.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门。已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m。设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m?)，则y关于x的函数表达式是(???
)
A.?y=-x?+50x????????????????????????B.?y=
x?+24x
C.?y=
x2+25x???????????????D.?y=
x2+26x
第8题图
第9题图
9.周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（???
）m2
.
A.???????????????B.???????????????????C.?4??????????????????D.?
?
10.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长(不含门)为26m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为(???
)
A.?14???????????????B.?13????????????????C.?9???????????????????D.?7
第10题图
第11题图
二、填空题（每小题5分，共30分）
11.用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，当x等于________时窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）.
?12.将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出40个，若这种商品在一定范围内每降价1元，其日销量就增加2个，为了获取最大的日利润，则应把零售单价定为______元.
13.如图，矩形
中AB＝2，AD＝5，动点P从点A出发，以1
cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）.连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则
面积最小值为________.
第12题图
第13题图
14.如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长）．这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？设菜园的面积为Sm2，菜园的……为xm，列出
．则自变量x的实际意义是_____
___．
15.某种商品进价20元/件.经调查：当以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30-x)件。若使利润最大，则每件的售价应为_
__?元。
16.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.现计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为________元.
三、解答题（共30分）
17.某文具进价是20元．调查发现，销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元.
设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．写出求y与x的函数关系式，每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大利润是多少？（7分）
18.某超市购进一种商品，进货单价为每件10元，销售单价不低于1元且不高于19元.如果该商品的销售单价x（单位：元/件）与日销售量y（单位：件）满足一次函数关系
，设该商品的日销售利润为w元，那么当该商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？（7分）
19.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．（8分）
20.在如图所示的直角墙角，计划用30米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，要求把位于图中点P处的一颗景观树圈在花园内，且景观树P与篱笆的距离不小2米．已知点P到墙体DA、DC的距离分别是8米、16米，如果DA、DC所在两面墙体均足够长，求矩形花园面积S的最大值.（8分）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】解：设矩形的面积为S，矩形的长为xcm，则宽为
cm，由题意则有
S=
?x=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∵a=-1＜0，
∴当x=2时，S有最大值为4，
故矩形的最大面积是4cm2
，
故答案为：A．
2.【答案】
B
【解析】解：设旅行团人数为x人，此时的营业额为y元，则
，
由题意得：
，
由二次函数的性质可知，在
内，当
时，y取得最大值，
即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55人，
故答案为：B．
3.【答案】
D
【解析】解：∵一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，且15≤x≤22，
∴当x=20时，y最大值=1558．
故答案为：D．
4.【答案】
C
【解析】解：依题意得：
y=（30-20+x）（240-10x）
y=-10x2+140x+2400．
∵每件首饰售价不能高于40元．
∴0≤x≤10．
∴求y与x的函数关系式为：y=-10x2+140x+2400，x的取值范围为0≤x≤10；
∴y=-10（x-7）2+2890．
∴a=-10＜0．
∴当x=7时，y最大=2890．
∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．
∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元．
故答案为：C．
5.【答案】
D
【解析】解：∵
每涨价1元，每星期要少卖10件，每件涨价x元，
∴
销售每件的利润为
元，每星期的销售量为
，
∴
每星期销售出商品的利润
．
故答案为：D．
6.【答案】
D
【解析】解：y=（50-40+x）（500-）=（50-40+x）（500-5x）
故答案为：D.
7.【答案】
C
【解析】解：由题意得：S＝x(10﹣x)，
故答案为：C.
8.【答案】
D
【解析】解：由题意得
故答案为：D.
9.【答案】
B
【解析】解：设窗户的宽是x，根据题意得
S=
?
=
?
∴当窗户宽是
m时，面积最大是
m2
10.【答案】
A
【解析】解：设建成的饲养室面积为Sm2
，
垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为26+2-3x=（28-3x）m.
S=x（28-3x）=-3x2+28x，
对称轴为直线
，
∴a=-3，抛物线的开口向下，当时，S有最大值，
∴
∵一面靠足够长的墙体，
∴利用墙体的长度为14m.
故答案为：A
二、填空题
11.【答案】
2
【解析】解：设矩形窗户的透光面积为
平方米，窗户的高为
米，则窗户的宽为
米，
由此得出
，
整理得
，
因为
，抛物线开口向下，取
得最大值，最大值为6；
故答案为2.
12.【答案】
95
【解析】设应降价x元，日利润为y，
则y=（40+2x）（100-x-70）=（40+2x）（30-x）
=-2x2+20x+1200
=-2（x-5）2+1150
∵-1<0，
∴当x=5时，二次函数有最大值，
∴
应把零售单价定为100-5=95元.
故答案为：95.
13.【答案】
【解析】解：由题意得：AP=t，PD=5-t，
∴
，
∵四边形PCEF是正方形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴当t=4时，△DEF的面积最小，最小值为
.
故答案为：
.
14.【答案】
平行于墙的一边的长度
【解析】∵矩形的面积
∴x或者
是平行于墙的矩形的长
当
是是平行于墙的矩形的长时，
+2x≠30
，不合题意；
当x是是平行于墙的矩形的长时，2(
)+x=30
，符合合题意；
故答案为：平行于墙的一边的长度
15.【答案】
25元
【解析】解：设利润为W元，
根据题意得：W=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∴当x=25时，W有最大值，
∴
若使利润最大，则每件的售价应为25元.
故答案为：25元.
16.【答案】
70
【解析】解：设降价x元，利润为W，
由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)，
整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000，
∴当x=10时，可获得最大利润，
此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），
故答案为：70.
三、解答题
17.【答案】
解：当销售单价上涨了x元时，销量是
件，
∵每件文具售价不能高于40元，
∴
，
列式：
，
整理得：
，
利用配方法写成顶点式：
，
∴当
时，
有最大值，最大值是
，
∵
是正整数，
∴
取6或7，
当
时，
，
当
时，
，
答：当售价定为36或37时，月销售利润最大，最大是2720元．
18.【答案】
解：根据题意得：
w=（-2x+40）（x-10）
=-2x2+60x-400
=-2（x-15）2+50，
∴当x=15时，w取得最大值，最大值为50.
∵1＜15＜19，
∴x=15符合题意.
∴当该商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元.
19.【答案】
解：设AB＝xm，矩形ABCD的面积设为y（平方米），
则AB＋EF＋CD＝3x，
∴AD＝BC＝
．
∴y＝
＝
．
由于二次项系数小于0，所以y有最大值，
∴当AB=x＝
＝
＝150时，函数y取得最大值．
当AB=150m，矩形ABCD的面积最大
20.【答案】
解：设矩形花园
的宽
为
米，则长
为
米
由题意知，
解得
即
显然，
时
的值随
的增大而增大
所以，当
时，面积
取最大值
答：
符合要求的矩形花园面积
的最大值是216米2
8米、16米，求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式得出
关于x的函数关系式即可得出结论．