22.3实际问题与二次函数③几何图形问题 同步练习（含解析）

22.3实际问题与二次函数③几何图形问题检测题
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一、单选题（每小题4分，共40分）
1.如图和都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线l上，点C，E重合，现将沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（?
）
A.??
B.?
C.??
D.?
第1题图
第2题图
2.如图所示，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0??)
??
A
B
C
D
3.如图，正三角形ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度,沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(秒)，y=PC2，则y关于x的函数的图象大致是(?
??)
.
A
B
C
D
4.如图1，矩形ABCD中，
，点P、Q分别是BC、AB上两动点，将△PCD沿着对折得，将沿着对折得，将沿着对折，使
三点在一直线上，设的长度为x，
的长度为y，在点p的移动过程中，y与x的函数图象如图2，则函数图象最低点的纵坐标为（?
）
A.??
B.?
?C.??
?D.
5.如图，已知二次函数y=mx2-4mx+3m(m>0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，若CA平分∠OCB，则m的值为(???
)
A.???B.?
C.?
?D.
第3题图
第5题图
6.如图，抛物线y=a(x-2)?+k(a<0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，作CD∥x轴交抛物线于点D，DE⊥x轴于点E，连结EF，则△AFO与△DFE的面积之比为(
???)
A.??
?B.??
C.???
D.
第6题图
第7题图
7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，四边形EHFG的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（???
）.
A.y＝3
x2??
?B.y＝4
x2?
C.y＝8x2??
D.y＝9x2
8.如图，抛物线y=﹣x2+mx+2m2（m＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，C是抛物线上一个动点(点C与点A，B不重合)，D是OC的中点，连结BD并延长，交AC于点E，则
的值是（?）
A.?
?B.????C.??
?D.
第8题图
第9题图
9.已知抛物线y=
x2+1其有如下性质：抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为(3，6)，P是抛物线y=
x2+1上一动点，则△PMF周长的最小值是(???
)
A.5
B.9??
C.11??
?D.13
10.?如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC
运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2
，
已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时，；③直线NH的解析式为；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒。其中正确的结论个数为(??
).
A.4??
B.3??
?C.2
???D.1
二、填空题（每小题5分，共30分）
11.定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形.已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝____时，四边形ABCD的面积最大.
12.如图，抛物线y=-x2+3x+2与y轴交于点A，点B是拋物线的顶点，点C与点A是抛物线上的两个对称点，点D在x轴上运动，则四边形ABCD的两条对角线的长度之和的最小值为________。
第12题图
第13题图
13.如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝6，D、E分别是AB、AC边上的动点，且CE＝3BD，则△BDE面积的最大值为________.
14.如图，在
中，
，
，
，点P从点A沿
向点C以
的速度运动，同时点Q从点C沿
向点B以
的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动的过程中，四边形
的面积的最小值为________
.
第14题图
第15题图
15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(不与点B，C重合)，连接PC，PD，设△PCD的面积为S，则S的取值范围是________。
16.如图，直线y=﹣
x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣
x2+2x+5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣
x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是____．
第16题图
第17题图
三、解答题（共30分）
17.已知抛物线y=
x2-mx+c与x轴交于点A(x1,0)，
B(x2，0)，与y轴交于点C(0，c).若△ABC为直角三角形，求c的值.（8分）
18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过原点O，与x轴交于点A(5，0)，第一象限的点C(m，4)在抛物线上，y轴上有一点B(0，10).
（10分）
(I)求抛物线的解析式及它的对称轴；
(Ⅱ)点
在线段OB上，点Q在线段BC上，若
，且
,求n的值；
(Ⅲ)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
19.如图，抛物线与x轴交于点A（﹣
，
0），点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣），求△ABN的面积s与t的函数解析式；
（3）若0＜t＜2且t≠0时，△OPN∽△COB，求点N的坐标．（12分）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】解：C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为
,面积为y=x·
·
=
,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为
,面积为
y=(4－x)·
·
=
,
两个三角形重合时面积正好为
.
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故答案为：A.
2.【答案】
D
【解析】
解：依题可得，
阴影部分的面积相当于一个小正方形的面积，
∴y=x2（
0故答案为：D.
3.【答案】
C
【解析】解：①当0≤x≤3时，过C作CH⊥AB，
∵△ABC为正三角形，
∴AH=AB=
，
CH=AC×sinA=3×=
，
∵AP=x，
∴PH=
，
∴
即y=x2-3x+9，
∴该函数是图象张口向上的抛物线；
②当3＜x≤6，即P在BC上时，
PC=6-x，
PC2=（6-x）2=（x-6）2,
∴该函数是y=（x-6）2（3＜x≤6）的抛物线.
综上，C符合题意.
故答案为：C.
4.【答案】
C
【解析】解：由折叠性质可知
，
，
，
又
由
，得
，
∴
∴
整理得：
，
故函数的顶点为
，得函数顶点的纵坐标为
.
故答案为：C.
5.【答案】
D
【解析】解：过点A作AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∵CA平分∠OCB
∴∠OCA=∠ACB
∴∠DCA=∠DAC
∴DA=CD
当x=0时y=3m
∴点C（0，3m）
∴OC=3m，
当y=0时mx2-4mx+3m=0??
∵m≠0
∴x2-4x+3=0
解之：x1=1，x2=3
∴点A（1，0），点B（3，0）
∴OA=1，OB=3.
∵AD∥BC
∴即
解之：OD=m，
∴AD=CD=OC-OD=3m-m=2m，
在Rt△OAD中，
AD2-OD2=OA2
∴（2m）2-m2=12
解之：m1=
，
m2=＜0（舍去）.
故答案为：D.
6.【答案】
A
【解析】解：∵抛物线y=a(x-2)2+k(a<0)与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，
∴对称轴为直线x=2，
当x=0时，y=4a+k????
∴点C（0，4a+k）
∵CD∥x轴，
∴点C和点D关于直线x=2对称，
∴点D（4，4a+k），
∴CD=OE=4，
∵点A（-1，0）,
∴OA=1
∵OF∥DE，
∴△AOF∽△ADE，
∴
∴.
故答案为：A.
7.【答案】
C
【解析】解：设正方形的边长为2a，
∴BC＝2a，BE＝a，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE，
∵EG⊥AF，FH⊥CE，
∴四边形EHFG是矩形，
∵∠AEG+∠BEC＝∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠AEG＝∠BCE，
∴tan∠AEG＝tan∠BCE，
∴
，
∴EG＝2x，
∴由勾股定理可知：AE＝
x，
∴AB＝BC＝2
x，
∴CE＝5x，
易证：△AEG≌△CFH，
∴AG＝CH，
∴EH＝EC﹣CH＝4x，
∴y＝EG?EH＝8x2
，
故答案为：C.
8.【答案】
D
【解析】解：过点O作OF∥AC交BE于点F，
∴
当y=0时，
﹣x2+mx+2m2
=0
解之：x1=-m，x2=2m，
∴点A（-m，0），点B（2m，0），
∴OA=m，OB=2m，AB=3m，
∵点D是OC的中点，
∴CD=OD
∴
∴OF=CE
∴,
故答案为：D.
9.【答案】
C
【解析】解：如图，过P作PQ⊥x轴，MQ’⊥x轴，交抛物线于点P'，
由图可知，MQ'∴当M、P、Q在一条直线上时，MP+MQ最短，∵MF为定长，P'Q'=P'F，
∴这时
△PMF周长最小，
MF=?,
MQ=6,
∴△PMF周长最小为：5+6=11.
10.【答案】
B
【解析】
①根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s，
∴BC=BE=5cm，
∴AD=BE=5（故①正确）；
②如图1，过点P作PF⊥BC于点F，
根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB=4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=
，
∴PF=PBsin∠PBF=t，
∴当0＜t≤5时，y=BQ?PF=t?t=t2（故②正确）；
③根据5-7秒面积不变，可得ED=2，
当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC=11，
故点H的坐标为（11，0），
设直线NH的解析式为y=kx+b，
将点H（11，0），点N（7，10）代入可得：
，
解得：故直线NH的解析式为：y=-
，
（故③错误）；
④当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，如图2所示：
∵tan∠PBQ=tan∠ABE=
，
∴=
，
即=
，
解得：t=
．
（故④正确）；
综上可得①②④正确，共3个．
故选：B．
二、填空题
11.【答案】
6
【解析】∵四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴
，
∵AC＋BD＝12，
∴
，
∴
，
∵
且
，
当
时，函数有最大值，
∴AC=6时，面积有最大值；
故答案是6.
12.【答案】
【解析】解：过点B作BD垂直于x轴.
∵抛物线的对称轴为x=-
当x=时，
∴BD=
由抛物线的轴对称性可得AC=
∴AC+BD=3+=.
13.【答案】
【解析】解：设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，
∵∠A＝90°，
∴EA⊥BD，
∴S△DEB＝
?x（6﹣3x）＝﹣
x2+3x=﹣
（x﹣1）2+
，
∴当x＝1时，S最大值＝
.
故答案为：
.
14.【答案】
15
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC=
=6cm.
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6-t）cm，CQ=2tcm，
∴S四边形PABQ=S△ABC-S△CPQ=
AC?BC-
PC?CQ=
×6×8-
（6-t）×2t=t2-6t+24=（t-3）2+15，
∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15.
故答案为：15.
15.【答案】
0【解析】解：∵抛物线与y轴的交点B（0,4），对称轴是直线x=2
∴CD=BD=2，AD=4
∴0＜yp≤4
∴S=CD·yp=×2·yp=yp
∴0＜S≤4
16.【答案】
4+2
或4﹣2
或4或﹣1
【解析】解：当x=0时，y=﹣
x+3=3，则B（0，3），
∵点P的横坐标为a，PQ∥y轴，
∴P（a，﹣
a2+2a+5），Q（a，﹣
a+3），
∴PQ=|﹣
a2+2a+5﹣（﹣
a+3|=|﹣
a2+
a+2|=|
a2﹣
a﹣2|，
BQ=
=|
a|，
∵PQ=BQ，
∴|
a2﹣
a﹣2|=|
a|，
当
a2﹣
a﹣2=
a，整理得a2﹣8a﹣4=0，解得a1=4+2
，a2=4﹣2
，
当
a2﹣
a﹣2=﹣
a，整理得a2﹣3a﹣4=0，解得a1=4，a2=﹣1，
综上所述，a的值为4+2
或4﹣2V或4或﹣1．
故答案为4+2
或4﹣2
或4或﹣1．
三、解答题
17.【答案】
解：∵△ABC为直角三角形，
∴∠ACB=90°,
∵∠ACO+∠BCO=90°，∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠CBO,
∴△ACO∽△CBO,
∴
,
∴OC2=OB·OA.
当y=0时，
x2-mx+c=0，
∴x1·x2=2c，
∴OB·OA=-2c.
∵C(0，c)，
∴OC=-c，
∴(-c)2=-2c,
∴c2+2c=0，
∴c1=0（舍去），c2=-2.
∴c的值是-2.
18.【答案】
解：（Ⅰ）∵抛物线经过原点O，
∴抛物线解析式为
.
∵抛物线与x轴交于点(5，0)，
∴
，解得
.
∴抛物线解析式为
.
，
∴抛物线的对称轴为直线
.
（Ⅱ）∵点C在抛物线
上，
∴
，解得
(舍)，
.
∴点C坐标为(8，4).
过C作
轴，垂足为E，连接AB.
在
中，
.
同理，可求得
，
.
∴
.
∴
.
在
和
中，
，
，
∴
.
∴
.
∵
，
∴
，
.
∴
，
解得
.
（Ⅲ）∵抛物线的对称轴为
，
∴设点M的坐标为
.
①当
，
为顶角时，
，解得
.
②当
，
为顶角时，
，解得
.
③当
，
为顶角时，
，解得
.
此时点
为AB的中点，与点A，B不构成三角形.
综上可得，点M的坐标为
，
，
，
.
19.【答案】
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意可得：
，
解得：
．
∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+1；
（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0，
∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1，
∴S=AB?PN
=×（2+）×（﹣t2+t+1）
=（﹣t2+t+1）
=﹣t2+t+；
（3）∵△OPN∽△COB，∴=
，
∴=
，
∴PN=2PO．
当0＜t＜2时，PN=|yN|=yN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，
∴﹣t2+t+1=2t，
整理得：3t2﹣t﹣2=0，
解得：t3=﹣
，
t4=1．
∵﹣＜0，0＜1＜2，
∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．
故点N的坐标为（1，2）．