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13.3.2等腰三角形判定
学案
课题
13.3.2
等腰三角形判定
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、学会如何判断一个三角形是不是等腰三角形;
2、了解等边三角形和等腰直角三角形;
3、探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件，能运用识别方法进行相关的计算和推理.
重点
难点
探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件，能运用识别方法进行相关的计算和推理.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
如图所示，量出AC的长，就可算出河的宽度AB，你知道为什么吗？
合
作
探
究
探究一：
对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是按定义，看它是否有两条边相等.现在再看看能否找到其他的判定方法.
我们知道，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗?
画画看，你发现了什么?
如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)
已知:如图13.3.6,在△ABC中，∠B
=
∠
C.求证:AB
=
AC.
分析:要证明AB=
AC
,可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边,于是想到画∠
BAC的平分线AD.
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论?
探究二：
例3
如图13.3.7,在△ABC中,已知∠A
=
40°，∠B
=
70°．求证:AB
=
AC.
等边三角形的两个判定定理:
三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些定理吗？
探究三：
例4
如图13.3.8,AB//
CD，
∠1
=
∠2．求证:AB
=
AC.
分析
要证AB
=
AC,可以设法证明∠
B=
∠
1
，而∠
1
=
∠
2，因此只要证明∠
B
=
∠
2.
例5
如图13.3.9,在Rt△ABC和Rt△
A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B’=
90°,AB
=
A'B',AC
=A'C'.
求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
注意:
1、等腰三角形判定定理与等腰三角形性质定理互为逆定理。
2、等腰三角形判定方法有两种
（1）等腰三角形的定义;
（2）等腰三角形判定定理。
3、解有关等腰三角形问题时，添加辅助线的常用方法是底边的“三线合一”。
当
堂
检
测
1.△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，点O为BD，CE的交点，则图中等腰三角形的个数是
(
)
A．4
B．5
C．7
D．8
D
【解析】
△ABC，△ABD，△ACE，△BOC，△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
C
3.在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P，求证：PB＝PC，并请直接写出图中其他相等的线段．
解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴
△ABF
≌△ACE(SAS)．∴
∠ABF＝∠ACE，
∴∠ABC－∠ABF＝∠ACB－∠ACE，
∴∠FBC＝∠ECB，∴PB＝PC.
相等的线段还有：PE＝PF，BF＝CE，BE＝CF.
4.△ABC为等边三角形，点D在线段AF上，点F在线段BE上，点E在线段CD上，∠1＝∠2＝∠3.
(1)求∠BEC的度数；
(2)△DEF为等边三角形吗？为什么？
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∴∠BCE＋∠3＝60°.
∵∠2＝∠3，∴∠BCE＋∠2＝60°.
∴∠BEC＝180°－∠BCE－∠2＝120°.
(2)△DEF为等边三角形．理由如下：
∵∠BEC＝120°，∴∠DEF＝60°，
同理，∠EFD＝60°，∠EDF＝60°，
∴∠DEF＝∠EFD＝∠EDF＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
课
堂
小
结
等腰三角形判定方法有哪些？
参考答案
合作探究：
探究一：
证明：画∠
BAC的平分线交BC于点D.
在△BAD和△CAD中，
∵∠B=∠C(已知)，
∠1=∠2(角平分线的定义)，
AD=AD(公共边)，
∴△BAD≌△CAD(A.A.S.)，
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等).
画BC边上的高线
画BC边上的中线
探究二：
证明：∵
∠
A+
∠
B+
∠
C
=180°(三角形的内角和等于180°)，
∠A
=
40°，∠
B
=
70°(已知)，
∴
∠C
=
180°-
∠
A-
∠
B(等式的性质)，
=
180°-
40°-
70°=
70°，
∴
∠
C
=
∠
B（等量代换)，
∴
AB
=
AC(等角对等边).
探究三：
例4
证明:
∵
AB//
CD(已知)，
∴
∠
B=
∠
2(两直线平行,同位角相等).
又∵
∠
1
=
∠
2（已知)，
∴∠
B
=
∠
1（等量代换)，
∴
AB
=
AC（等角对等边).
例5
证明：由于直角边AC
=
A'C',
我们移动Rt△ABC，证明使点A与点A'、点C与点C'重合,且使点B与点B'分别位于A'C'的两侧.
∵
∠A'C'B
=∠A'C'B'=90(已知)，
∠B'C'B=∠A'C'B'+∠A'C'B
=
180°,
即点B'、C'、B在同一条直线上.
在△A'B'B中，
∵A'B'=AB
=
A'B（已知)，
∠B
=
∠B'（等边对等角).
在△ABC和△A'B'C'中，
∵
∠B=∠B'(已证)，
∠ACB=∠A'C'B'(已知)，
AC=A'C'（已知)，
Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(A.A.S.).
课堂小结：
（1）等腰三角形的定义
（2）等腰三角形判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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.
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13.3.2
等腰三角形判定
数学华师版
八年级上
如图所示,量出AC的长,就可知道河的宽度AB,你知道为什么吗?
等腰三角形
等边三角形
性质
三线合一
等边对等角
轴对称图形
底边上的中线
顶角平分线
底边上的高线
复习导入
同学们，等腰三角形的性质有哪些？
对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是按定义，看它是否有两条边相等.现在再看看能否找到其他的判定方法.
新知讲解
A
C
B
新知讲解
探索
我们知道，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗?
画画看，你发现了什么?
新知讲解
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)
如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.
新知讲解
已知:如图13.3.6,在△ABC中，∠B
=
∠
C.
求证:AB
=
AC.
-------------
A
C
B
D
1
2
图13.3.6
新知讲解
分析:要证明AB=
AC
,可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边,于是想到画∠BAC的平分线AD.
-------------
A
C
B
D
1
2
图13.3.6
新知讲解
证明：画∠BAC的平分线交BC于点D.
在△BAD和△CAD中，
∵∠B=∠C(已知)，
∠1=∠2(角平分线的定义)，
AD=AD(公共边)，
∴△BAD≌△CAD(A.A.S.)，
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等).
A
C
B
D
1
2
-------------
新知讲解
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论?
画BC边上的高线
画BC边上的中线
新知讲解
图13.3.7
A
C
B
40°
例3
如图13.3.7,在△ABC中,已知∠A
=
40°，∠B
=
70°．求证:AB
=
AC.
70°
新知讲解
图13.3.7
A
C
B
40°
证明：∵
∠
A+
∠
B+
∠
C
=180°(三角形的内角和等于180°)，
∠A
=
40°，∠
B
=
70°(已知)，
∴
∠C
=
180°
-
∠
A-
∠
B(等式的性质)，
=
180°-
40°-
70°
=
70°，
∴
∠
C
=
∠
B（等量代换)，
∴
AB
=
AC(等角对等边).
70°
等边三角形的两个判定定理:
三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
新知讲解
你能证明这些定理吗？
新知讲解
例4
如图13.3.8,AB//
CD，
∠
1
=
∠
2．
求证:AB
=
AC.
图13.3.8
A
C
B
分析
要证AB
=
AC,可以设法证明∠
B=
∠
1
，而∠
1
=
∠
2，因此只要证明∠
B
=
∠
2.
1
2
D
新知讲解
证明:
∵
AB//
CD(已知)，
∴
∠
B=
∠
2(两直线平行,同位角相等).
又∵
∠
1
=
∠
2（已知)，
∴∠
B
=
∠
1（等量代换)，
∴
AB
=
AC（等角对等边).
图13.3.8
A
C
B
1
2
D
新知讲解
变式
如图，BD是∠ABC的平分线，DE//BC，那么
△BED是等腰三角形吗？请说明理由．
新知讲解
解：△BED是等腰三角形．
理由如下：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵DE//BC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠ABD=∠EBD，
∴△BED是等腰三角形．
新知讲解
例5
如图13.3.9,在Rt
△ABC和Rt
△
A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=
90°,AB
=
A'B',AC
=A'C'.
求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
-------------------
--------------------------------
A
C
B
A'
(A)
C'（C）
B'
B
图13.3.9
新知讲解
证明：由于直角边AC
=
A'C',
我们移动Rt△ABC，使点A与点A'、点C与点C'重合,且使点B与点B'分别位于A'C'的两侧.
∵
∠A'C'B
=
∠A'C'B'=90°(已知)，
∴∠B'C'B=
∠A'C'B'+
∠A'C'B
=
180°,
即点B'、C'、B在同一条直线上.
新知讲解
在△A'B'B中，
∵A'B'=AB
=
A'B（已知)，
∠
B
=
∠
B'（等边对等角).
在△ABC和△A'B'C'中，
∵
∠
B=∠
B'(已证)，
∠
ACB=∠
A'C'B'(已知)，
AC=A'C'（已知)，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(A.A.S.).
这样,我们就证明了前面已给出的直角三角形全等的H.L.判定定理.
注意:
1、等腰三角形判定定理与等腰三角形性质定理互为逆定理。
2、等腰三角形判定方法有两种
（1）等腰三角形的定义;
（2）等腰三角形判定定理。
3、解有关等腰三角形问题时，添加辅助线的常用方法是底边的“三线合一”。
新知讲解
课堂练习
1.△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是
∠ABC和∠ACB的平分线，点O为BD，CE的交点，
则图中等腰三角形的个数是
(
)
A．4
B．5
C．7
D．8
【解析】
△ABC，△ABD，△ACE，△BOC，△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．
D
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
C
3.在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P，求证：PB＝PC，并请直接写出图中其他相等的线段．
解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴
△ABF
≌△ACE(SAS)．∴
∠ABF＝∠ACE，
∴∠ABC－∠ABF＝∠ACB－∠ACE，
∴∠FBC＝∠ECB，∴PB＝PC.
相等的线段还有：PE＝PF，BF＝CE，BE＝CF.
4.△ABC为等边三角形，点D在线段AF上，点F在线段BE上，点E在线段CD上，∠1＝∠2＝∠3.
(1)求∠BEC的度数；
(2)△DEF为等边三角形吗？为什么？
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∴∠BCE＋∠3＝60°.
∵∠2＝∠3，∴∠BCE＋∠2＝60°.
∴∠BEC＝180°－∠BCE－∠2＝120°.
(2)△DEF为等边三角形．理由如下：
∵∠BEC＝120°，∴∠DEF＝60°，
同理，∠EFD＝60°，∠EDF＝60°，
∴∠DEF＝∠EFD＝∠EDF＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
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13.3.2
等腰三角形判定
课题
13.3.2
等腰三角形判定
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1、学会如何判断一个三角形是不是等腰三角形;2、了解等边三角形和等腰直角三角形;3、探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件，能运用识别方法进行相关的计算和推理.
重点难点
探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件，能运用识别方法进行相关的计算和推理.
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
如图所示，量出AC的长，就可算出河的宽度AB，你知道为什么吗？同学们，等腰三角形的性质有哪些？对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是按定义，看它是否有两条边相等.现在再看看能否找到其他的判定方法.我们知道，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗?画画看，你发现了什么?如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)已知:如图13.3.6,在△ABC中，∠B
=
∠
C.求证:AB
=
AC.分析:要证明AB=
AC
,可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边,于是想到画∠BAC的平分线AD.证明：画∠BAC的平分线交BC于点D.在△BAD和△CAD中，∵∠B=∠C(已知)，
∠1=∠2(角平分线的定义)，AD=AD(公共边)，∴△BAD≌△CAD(A.A.S.)，∴AB=AC（全等三角形的对应边相等).画BC边上的高线画BC边上的中线例3
如图13.3.7,在△ABC中,已知∠A
=
40°，∠B
=
70°．求证:AB
=
AC.证明：∵
∠
A+
∠
B+
∠
C
=180°(三角形的内角和等于180°)，∠A
=
40°，∠
B
=
70°(已知)，∴
∠C
=
180°
-
∠
A-
∠
B(等式的性质)，
=
180°-
40°-
70°
=
70°，∴
∠
C
=
∠
B（等量代换)，∴
AB
=
AC(等角对等边).等边三角形的两个判定定理:三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.你能证明这些定理吗？例4
如图13.3.8,AB//
CD，
∠
1
=
∠
2．求证:AB
=
AC.分析
要证AB
=
AC,可以设法证明∠
B=
∠
1
，而∠
1
=
∠
2，因此只要证明∠
B
=
∠
2.证明:
∵
AB//
CD(已知)，∴
∠
B=
∠
2(两直线平行,同位角相等).又∵
∠
1
=
∠
2（已知)，∴∠
B
=
∠
1（等量代换)，∴
AB
=
AC（等角对等边).
变式
如图，BD是∠ABC的平分线，DE//BC，那么△BED是等腰三角形吗？请说明理由．解：△BED是等腰三角形．理由如下：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC，又∵DE//BC，∴∠EBD=∠DBC，∴∠ABD=∠EBD，∴△BED是等腰三角形．例5
如图13.3.9,在Rt
△ABC和Rt
△
A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=
90°,AB
=
A'B',AC
=A'C'.求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明：由于直角边AC
=
A'C',我们移动Rt△ABC，使点A与点A'、点C与点C'重合,且使点B与点B'分别位于A'C'的两侧.∵
∠A'C'B
=
∠A'C'B'=90°(已知)，∴∠B'C'B=
∠A'C'B'+
∠A'C'B
=
180°,即点B'、C'、B在同一条直线上.在△A'B'B中，∵A'B'=AB
=
A'B（已知)，
∠
B
=
∠
B'（等边对等角).在△ABC和△A'B'C'中，∵
∠
B=∠
B'(已证)，
∠
ACB=∠
A'C'B'(已知)，AC=A'C'（已知)，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(A.A.S.).这样,我们就证明了前面已给出的直角三角形全等的H.L.判定定理.注意:1、等腰三角形判定定理与等腰三角形性质定理互为逆定理。2、等腰三角形判定方法有两种（1）等腰三角形的定义;（2）等腰三角形判定定理。3、解有关等腰三角形问题时，添加辅助线的常用方法是底边的“三线合一”。课堂练习：1.△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，点O为BD，CE的交点，则图中等腰三角形的个数是
(
)
A．4
B．5
C．7
D．8D【解析】
△ABC，△ABD，△ACE，△BOC，△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有( )A．2个
B．3个
C．4个
D．5个C3.在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P，求证：PB＝PC，并请直接写出图中其他相等的线段．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴
△ABF
≌△ACE(SAS)．∴
∠ABF＝∠ACE，
∴∠ABC－∠ABF＝∠ACB－∠ACE，
∴∠FBC＝∠ECB，∴PB＝PC.
相等的线段还有：PE＝PF，BF＝CE，BE＝CF.4.△ABC为等边三角形，点D在线段AF上，点F在线段BE上，点E在线段CD上，∠1＝∠2＝∠3.
(1)求∠BEC的度数；
(2)△DEF为等边三角形吗？为什么？
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∴∠BCE＋∠3＝60°.
∵∠2＝∠3，∴∠BCE＋∠2＝60°.
∴∠BEC＝180°－∠BCE－∠2＝120°.
(2)△DEF为等边三角形．理由如下：
∵∠BEC＝120°，∴∠DEF＝60°，
同理，∠EFD＝60°，∠EDF＝60°，∴∠DEF＝∠EFD＝∠EDF＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
课堂小结
等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，简单地说，在同一个三角形中，_________________．注意：“等角对等边”只限于在同一个三角形中，若两个三角形有两边(或两角)对应相等，那么它们所对的角(或边)不一定相等．
A
C
B
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论?
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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