人教版 九年级数学上册 第21章 一元二次方程 应用题分类训练（Word版 含解析）

人教版九年级上期第21章
一元二次方程应用题分类训练(含答案）
一、增长率问题
某商场从2019年至2021年两年时间里，营业额由1000万元增加到1440万元，则这两年的平均增长率为多少？
随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，推动了快递行业的高速发展．据调查，哈尔滨市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为8万件和9.68万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率．
(2)如果平均每人每月可投递快递0.4万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务?如果不能，请问至少需要增加几名业务员?
某公司实行年工资制，职工的年工资由基础工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下：
项目
第一年的工资（万元）
一年后的计算方法
基础工资
2
每年的增长率相同
工龄工资
0.08
每年增加0.08万元
岗位工资
0.2768
固定不变
（1）设基础工资每年增长率为x，用含x的代数式表示第三年的基础工资；
（2）某人在公司工作了3年，他算了一下这3年拿到的工龄工资和岗位工资正好是这3年基础工资总额的18%，问基础工资每年的增长率是多少？
某商场在“五一节”的假日里实行让利销售，全部商品一律按九销售，这样每天所获得的利润恰好是销售收入的25%．如果第一天的销售收入5万元，且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.8万元，
（1）求第三天的销售收入是多少万元？
（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？
“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加.据统计该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆.
（1）求这个运动商城这两个月的月平均增长率是多少？
（2）若该商场前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
列一元二次方程解应用题
某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同．
（1）求每个月增长的利润率；
（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？
二、几何图形问题
某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？
如图，要用31m长的篱笆围成一块135m2的矩形菜地，为了节省材料，菜地的一边靠墙（墙长16m），墙对面要留出2m宽的门（不用篱笆），求这块菜地的长与宽？
改善小区环境,争创文明家园,如图,某社区决定在一块长(AD)16m,宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另外一条与AD平行,其余部分种草,要使草坪部分的面积是,则小路的宽为多少米?
如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为多少米？
为提高居民的生活质量，景湖社区计划对原矩形活动广场进行扩建改造，如图，原广场长50
m，宽40
m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3:2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使S△QPC=8cm2？
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后S△QPC=4cm2？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ=BQ？
三、销售问题
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施.
调查发现，每件少盈利1元,商场平均每天可多售出2件衬衫.
若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
某店只销售某种进价为40元/kg的特产．已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10kg．若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元．
（1）每千克该种特产应降价多少元？
（2）为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，商场采取适当的降价措施，衬衫的单价为每降价2元，商场平均每天多售出4件，如果商场销售这批衬衫每天盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？
某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
合肥百货大楼服装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价2元，那么平均每天就可多售出4件．若要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，如果已售旅游纪念品两周共获利1550元．问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？销售两周后，还剩下多少旅游纪念品未售出？
四、其他问题
两江新区作为重庆自由贸易试验区的核心区，精加工产业发展迅速，区内某公司今年1月初以20元/套的进价购进了某种毛坯件12000套，精加工后，产品在2月份进行试销．
（1）若售价为40元/套，则可全部售出；若每套涨价0.1元，销售量就减少2套．据了解，该公司在2月份销售了不低于11800套此种产品，求该产品的售价最高为多少元；
（2）由于2月该产品热销，2月底该公司再次购进此种毛坯件，此次进价比1月初的进价每套增加了35%，精加工后，在4月份进行销售，4月份的销售量比1月初的进货量增加了a%（a＞0），但售价比2月份在（1）条件下的最高售价减少了a%，结果4月份此种产品的利润为252000元，求a的值．
国内某航空公司拥有贯穿中国东西部，连接亚欧的庞大航线网络，现又新开“重庆飞香港”和“重庆飞新加坡”的两条航线，试飞阶段推出机票共800张，并且飞新加坡的机票数量不少于飞香港的机票数量的3倍．
（1）求该航空公司至少推出多少张“重庆飞新加坡”的机票；
（2）试飞阶段两种机票的价格均为每张900元，为了促进机票的销量，现决定两种机票的价格均减少a%，结果实际非新加坡的机票数量在（1）问条件下的最少机票数量上增加了a%，飞香港的机票数量增加了（40+a）%，这样这两条航线机票的总金额为792000元，求a的值．
春漫三月，春茶飘香，重庆市永川区某茶叶基地碧绿连绵、碧浪汹涌，株株茶树冒出了新绿，此茶叶基地生产永川秀芽A，B两个品种，今年A品种每千克售价80元，B品种每千克售价100元，该地茶农今年收获A，B两个品种共500吨，其中A品种的产量不超过B品种产量的9倍．
（1）该茶农今年收获B品种至少多少吨？
（2）该茶农去年将A，B两个品种的茶叶全部运往市场销售，去年A，B的总产量与今年相同，而今年该茶农将收获的A，B两个品种的茶叶全部放在网店销售，且两年都全部售完去年B品种的市场销量在（1）的条件下的最低产量下减少了2m%，售价在今年的基础上增加%，去年A品种的售价与今年相同，去年向市场的运输成本一共为2050000元，今年B品种的销量为（1）中B品种的最低产量，结果去年的利润比今年减少%，求m的值．
穿楼而过的轻轨、《千与千寻》现实版洪崖洞、空中巴士长江索道……，“3D魔幻城”吸引着海量游客前来重庆打卡.2019年的清明节和“五一”节，洪崖洞入围全球旅游热门目的地榜单，排名仅次于故宫．位于洪崖洞的重庆知名火锅小天鹅火锅在节日期间每天也人满为患，其中鸳鸯火锅和红汤火锅最受游客青睐．在清明节期间，前来就餐选择鸳鸯火锅和红汤火锅的游客共有2200名，鸳鸯火锅和红汤火锅的人均消费分别为130元和120元．
（1）清明节期间，若选择红汤火锅的人数不超过鸳鸯火锅人数的1.5倍．求至少有多少人选择鸳鸯火锅？
（2）“五一”节期间，因天气渐热的原因，前来就餐的游客人数有所下降，与（1）问中选择鸳鸯火锅的人数最少时相比，选择两种火锅的人数均下降了a%；人均消费与清明节期间相比均有所上升，其中鸳鸯火锅的人均消费上涨了a%，红汤火锅的人均消费上涨了%，最终“五一”节期间两种火锅的总销售额与（1）问中选择鸳鸯火锅的人数最少时的两种火锅的总销售额持平，求a的值．
新年将至，腊肉和腊肠是重庆人的最爱，“城口老腊肉”是汉族风味名菜，距今已有500多年的历史，在重庆市内外享有盛誉。某肉制品加工店每周购进一批新鲜猪肉用于制作腊肉和腊肠，每周均全部售完，新鲜猪肉进价24元/千克，成品腊肉售价72元/千克，成品腊肠售价96元/千克。
（1）一月份第一周售出腊肉和腊肠140千克，若第一周的销售额不低于11520元，那么第一周至少卖出腊肠多少千克？
（2）加工店发现消费者偏爱腊肠，于是一月份的第二周，决定将腊肠价格上涨，腊肉价格下降，并且在第一周腊肠最低销售的基础上，腊肠销售量增加，腊肉销售量不变，出于对腊肉和腊肠的制作过程需要将新鲜猪肉进行腌制和风干，在不考虑其它原材料的前提下，腊肠出品率为60％，腊肉出品率为50％，最终一月份第二周（出品率=）获利5760元，求a的值。
江南五月碧苍苍，“四时之果”枇杷黄．每年五月到六月正是枇杷成熟的季节，大街小巷到处可见金灿灿、黄橙橙的枇杷，让人直咽口水．枇杷不仅柔甜多汁，甘酸适口，而且有不错的药用价值，深受市民的喜爱的是“大五星”枇杷和“白玉”枇杷．“重庆百果园”水果超市5月上旬购进“大五星”枇杷和“白玉”枇杷共1000千克，进价均为每千克32元，然后“白玉”枇杷以60元/千克、“大五星”枇杷以48元/千克的价格很快售完．
（1）若超市5月上旬售完所有枇杷获利不低于23200元，求购进“白玉”枇杷至少多少千克？
（2）因气温日趋升高，枇杷成熟速度快，而“白玉”枇杷过熟后口味变淡，宜适时品尝，在进价不变的情况下，该超市五月中旬决定调整价格，将“白玉”枇杷的售价在五月上旬的基础上下调m%（降价后售价不低于进价），“大五星”枇杷的售价在五月上旬的基础上上涨m%；同时，与（1）中获利最低利润的销售量相比，“白玉”枇杷的销售量下降了m%，“大五星”枇杷的销售量上升了25%，结果五月中旬的销售额比（1）中获利最低利润的销售额增加了800元，求m的值．
参考答案
1.解：设这两年营业额的平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2=1440，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：这两年营业额的平均增长率为20%．
2.（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得
8×（1+x）2=9.68，
解得：x1=10%，x2=-210%（舍去）．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．
（2）4月：9.68×（1+10%）=10.648（万件）
0.4×2.1=8.4＜10.648，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务．
∵（10.648-8.4）=5.62
∴至少还需增加6名业务员．
3.解：（1）已知基础工资每年的增长率为x，即第三年的基础工资为（1+x）2；
（2）工龄工资与岗位工资共为0.08+0.08=0.16万元，0.16+0.08=0.24万元，
0.08+0.16+0.24+3×0.2768=0.18×[2+2（1+x）+2（1+x）2]
得出x1=0.2，x2=-3.2（不合题意，舍去）．
故基础工资每年的增长率为20%．
4.解：（1）1.8÷25%=7.2（万元）．
答：第三天的销售收入是7.2万元．
（2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是x，
依题意，得：5（1+x）2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是20%．
5.解：（1）设1月到3月自行车销量的月平均增长率为x，根据题意列方程：
64（1+x）2=100，
解得x1=-225%（不合题意，舍去），x2=25%，
答：1月到3月自行车销量的月平均增长率为25%；
（2）100×（1+25%）=125（辆）．
答：该商城4月份卖出125辆自行车．
6.解：（1）设每个月增长的利润率为x，
根据题意得：20×（1+x）2=22.05，
解得：x1=0.05=5%，x2=-2.05（不合题意，舍去）．
答：每个月增长的利润率为5%．
（2）22.05×（1+5%）=23.1525（万元）．
答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元．
7.解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28-2x）米，
依题意，得：x（28-2x）=80，
整理，得：x1=4，x2=10．
当x=4时，28-2x=20＞12，不符合题意，舍去；
当x=10时，28-2x=8，符合题意．
答：这个花圃的长为10米，宽为8米．
8.解：设AB=xm，则AD=（31+2-2x）m，
依题意，得：x（31+2-2x）=135，
整理，得：2x2-33x+135=0，
解得：x1=9，x2=．
∵31+2-2x≤16，
∴x≥，
∴x=9，31+2-2x=15．
答：这块菜地的长为15m，宽为9m．
9.解:设小路的宽为xm,
列方程,得(16-2x)(9-x)=112,
解得=1,=16(舍去).
答:小路的宽为1m.
10.解：设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），根据题意得：
（18-3x）（6-2x）=60，
整理得，（x-1）（x-8）=0．
解得：x1=1，x2=8（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1米．
11.解：设扩充后广场的长为，宽为.
根据题意，得.
解得（不合题意，舍去）.
所以.
答：扩充后广场的长和宽应分别为和.
???????
12.解：（1）P、Q同时出发，经过x秒钟，S△QPC=8cm2，由题意得，
（6-x）?2x=8，
∴x2-6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4．
经2秒点P到离A点1×2=2cm处，点Q离C点2×2=4cm处，经4s点P到离A点1×4=4cm处，点Q点C点2×4=8cm处，经验证，它们都符合要求．
答：P、Q同时出发，经过2s或4s，S△QPC=8cm2．
（2）设P出发ts时S△QPC=4cm2，则Q运动的时间为（t-2）秒，由题意得：
（6-t）?2（t-2）=4，
∴t2-8t+16=0，
解得：t1=t2=4
因此经4秒点P离A点1×4=4cm，点Q离C点2×（4-2）=4cm，符合题意．
答：P先出发2s，Q再从C出发2s后，S△QPC=4cm2．
（3）设经过x秒钟后PQ=BQ，则PC=（6-x）m，QC=2xm，BQ=8-2x，
（6-x）2+（2x）2=（8-2x）2，
解得x1=-10+8，x2=-10-8（不合题意，舍去）
答：经过-10+8秒钟后PQ=BQ．
13.解：设每件衬衫应降价x元．
根据题意，得（40-
x）（20+2x）=1200
整理，得x2-30x+200=0，
解得x1=10，x2=20．
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10应略去，
∴x=20．
答：每件衬衫应降价20元.
14.解：（1）设该种特产每千克应降价x元，
由题意得：(60-x-40)(100+10x)=2240，
?即x2-10x+24=0，
解得：x=4或x=6，
答：该种特产每千克应降价4元或6元.
(2)由(1)知，为了尽可能让利于顾客，所以该种特产每千克降价6元时，
此时该种特产的售价为60-6=54(元)，
∵54÷60=0.9，
∴为了尽可能让利于顾客，该店应按原售价的9折出售.
15.解：设衬衫的单价应下降x元，
由题意得：1200=（20+2x）×（40-x），
解之，得：x1=20，x2=10，
∴每天可售出（20+2x）=60或40件；
∵商场要尽量减少库存，x=10舍去，
∴x应取20元．
答：衬衫的单价应下降20元．
16.（20+2x）?
（40-x）
17.解：设每件童装应降价x元，则平均每天可售出（20+）件，
依题意，得：（40-x）（20+）=1200，
整理，得：x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求尽快减少库存，
∴x=20．
答：每件童装应降价20元．
18.解：由题意得出：
200×（10-6）+（10-x-6）（200+50x）=1550，
即800+（4-x）（200+50x）=1550，
整理得：x2-1=0，
解得：x1=1，x2=-1，（6分）
∴10-1=9，600-200-250=150
答：第二周的销售价格为9元．销售两周后，还剩下150个旅游纪念品未售出．
19.解：（1）设售价为x元
根据题意得
12000-20（x-40）≥11800
解得x≤50
答：该产品的售价最高为50元
（2）根据题意得
12000（1+a%）[50（）-20（1+35%）]=252000
设t=a%
原方程可化为
12000（1+t）[50（1-）-20（1+35%）]=252000
解得t1=
t2=-（舍去）
∴a=40
答：a的值为40
20.解：（1）该航空公司推出x张“重庆飞新加坡”的机票，根据题意可得：
x+≥800，
解得：x≥600，
答：航空公司推出600张“重庆飞新加坡”的机票；
（2）由题意可得：
900×（1-a%）×{600×（1+a%）+200×[1+（40+a）%]}=792000，
解得：a1=0（不合题意舍去），a2=20，
答：a的值为20．
21.解：（1）设该茶农今年收获B品种茶叶x吨，则收获A品种茶叶（500-x）吨，
根据题意得：500-x≤9x，
解得：x≥50．
答：该茶农今年收获B品种茶叶至少50吨．
（2）根据题意得：50×（1-2m%）×100×1000（1+%）+[500-50（1-2m%）]×80×1000-2050000=[50×100×1000+（500-50）×80×1000]×（1-%），
整理得：m2-420m+4100=0，
解得：m1=10，m2=410（不合题意，舍去）．
答：m的值为10．
22.【解答】
解：（1）设有x人选择鸳鸯火锅，则有（2200-x）人选择红汤火锅，
根据题意得：2200-x≤1.5x，
解得：x≥880．
答：至少有880人选择鸳鸯火锅．
（2）根据题意得：880（1-a%）×130（1+a%）+（2200-880）（1-a%）×120（1+a%）=880×130+（2200-880）×120，
令m=a%，整理，得：40m2-9m=0，
解得：m1=0，m2=，
∴a1=0（舍去），a2=．
答：a的值为．
23.解：（1）设第一周卖出腊肠x千克，则卖出腊肉（140-x）千克，
根据题意得：96x+72（140-x）≥11520，
解得：x≥60．
答：至少卖出腊肠60千克．
（2）24÷60%=40（元/千克），24÷50%=48（元/千克），140-60=80（千克）．
根据题意得：，
令m=a%，
则原方程可变形为：2m2+3m-2=0，
解得：，m2=-2（不合题意，舍去），
∴a=50．
答：a的值为50．
24.解：（1）设购进“白玉”枇杷x千克，则购进“大五星”枇杷（1000-x）千克，根据题意可得：
（60-32）x+（48-32）（1000-x）≥23200，
解得：x≥600，
答：购进“白玉”枇杷至少600千克；
（2）五月中旬的销售额=600×60+400×48+800=56000，
60（1-m%）×600（1-m%）+48（1+m%）×400（1+25%）=56000，
令m%=t，整理得：15t2-13t+2=0，
解得：t1=，t2=，
当t=时，售价=60×（1-）=20＜32（不合题意舍去）；
当t=时，售价=60×（1-）=48＞32；
当m%=，
解得：m=20
故m=20．
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