华师大版数学八年级上册13.5 3 角平分线 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 华师大版数学八年级上册13.5 3 角平分线 学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 251.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-10 09:08:13 | ||
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文档简介
13.5
逆命题与互逆定理
3.角平分线
学习目标：
1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.（重点）
2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.（难点）
自主学习
一、知识链接
我们知道角是轴对称图形，它的对称轴就是角平分线所在的直线，试着在下图中画出∠ABC的对称轴BD.
二、新知预习
在上图的BD上取一点H，点H在∠ABC的内部，作HE⊥AB，HF⊥BC，求证：HE=HF.
合作探究
一、探究过程
探究点1：角平分线的性质定理
问题
根据上述的作图及证明，你认为过角平分线上一点向角的两边作垂线，这两条垂线有什么关系？
【要点归纳】角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离
___
.
例1
如图，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．
例2
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
【方法总结】利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
【针对训练】如图，OP是∠MON的平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB＝10cm，CA＝4cm．则△OBC的面积为
cm2．
探究点2：角平分线的性质定理的逆定理
问题
写出角平分线性质定理的逆命题，它是真命题还是假命题？
【要点归纳】角平分线的性质定理的逆定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的
上.
例3
如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
【方法总结】证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是利用角平分线的性质定理的逆定理．
【针对训练】
如图，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．（提示：作辅助线如图所示）
二、课堂小结
内容
角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
如果点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，那么PD＝________．
角平分线性质定理的逆定理
角的内部到角的两边距离________的点在角的平分线上．
如果点P为∠AOB内一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD＝PE，那么点P在∠AOB的平分线上.
第
1
页
共
5
页
当堂检测
1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，
且DE
=DF，
∠EDB=
60°，则
∠EBF=______度，BE=________
.
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
2.如图，在△ABC中,
∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是______.
3.如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是________．
4.如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝
°．
5.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下面给出四个结论，①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6.如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
参考答案
自主学习
一、知识链接
解：对称轴如下图所示：
二、新知预习
证明：由作图知BD平分∠ABC，∴∠FBH=∠EBH，∵EH⊥AB，HF⊥BC，∴∠BEH=∠BFH，∵BH=BH，∴△BEH≌△BFH，∴EH=FH.
合作探究
一、探究过程
探究点1
【要点归纳】相等
例1
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF．
例2
D
【针对训练】20
探究点2
【要点归纳】平分线
例3
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD=90°．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线．
【针对训练】证明：分别过D作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF．同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．
二、课堂小结
PE
相等
当堂检测
1.60
BF
2.3
3.42
4.35
5.D
6.证明：连接AD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD=CD．
逆命题与互逆定理
3.角平分线
学习目标：
1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.（重点）
2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.（难点）
自主学习
一、知识链接
我们知道角是轴对称图形，它的对称轴就是角平分线所在的直线，试着在下图中画出∠ABC的对称轴BD.
二、新知预习
在上图的BD上取一点H，点H在∠ABC的内部，作HE⊥AB，HF⊥BC，求证：HE=HF.
合作探究
一、探究过程
探究点1：角平分线的性质定理
问题
根据上述的作图及证明，你认为过角平分线上一点向角的两边作垂线，这两条垂线有什么关系？
【要点归纳】角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离
___
.
例1
如图，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．
例2
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
【方法总结】利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
【针对训练】如图，OP是∠MON的平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB＝10cm，CA＝4cm．则△OBC的面积为
cm2．
探究点2：角平分线的性质定理的逆定理
问题
写出角平分线性质定理的逆命题，它是真命题还是假命题？
【要点归纳】角平分线的性质定理的逆定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的
上.
例3
如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
【方法总结】证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是利用角平分线的性质定理的逆定理．
【针对训练】
如图，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．（提示：作辅助线如图所示）
二、课堂小结
内容
角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
如果点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，那么PD＝________．
角平分线性质定理的逆定理
角的内部到角的两边距离________的点在角的平分线上．
如果点P为∠AOB内一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD＝PE，那么点P在∠AOB的平分线上.
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当堂检测
1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，
且DE
=DF，
∠EDB=
60°，则
∠EBF=______度，BE=________
.
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
2.如图，在△ABC中,
∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是______.
3.如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是________．
4.如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝
°．
5.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下面给出四个结论，①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6.如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
参考答案
自主学习
一、知识链接
解：对称轴如下图所示：
二、新知预习
证明：由作图知BD平分∠ABC，∴∠FBH=∠EBH，∵EH⊥AB，HF⊥BC，∴∠BEH=∠BFH，∵BH=BH，∴△BEH≌△BFH，∴EH=FH.
合作探究
一、探究过程
探究点1
【要点归纳】相等
例1
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF．
例2
D
【针对训练】20
探究点2
【要点归纳】平分线
例3
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD=90°．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线．
【针对训练】证明：分别过D作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF．同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．
二、课堂小结
PE
相等
当堂检测
1.60
BF
2.3
3.42
4.35
5.D
6.证明：连接AD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD=CD．