华师大版数学八年级上册13.5. 1 互逆命题与互逆定理 学案（含答案）

13.5
逆命题与逆定理
1.互逆命题与互逆定理
学习目标：
1．让学生理解互逆命题、互逆定理的概念，通过比较，提高学生的辨析能力；
2．能正确写出一个命题的逆命题，能判断一个命题的逆命题是否是逆定理（重点）；
3．能正确理解互逆命题与互逆定理的联系与区别（难点）．
自主学习
一、知识链接
1._________________叫做命题．
2．命题分为_______和_______，每一个命题都是由_____和_____两部分组成，可以写成“如果……，那么……”的形式．
3．把命题“过平面上一点作已知直线的垂线，有且只有一条直线与这条直线垂直”改写成“如果……，那么……”的形式为_____________________________________________．
4.数学中，有些命题可以从基本事实和其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做__________.
二、新知预习
说出下列命题的条件和结论：
1．两直线平行，内错角相等；
2．内错角相等，两直线平行；
3．若a＝b，则a2＝b2；
4．若a2＝b2，则a＝b.
观察上面几组命题，发现1和2、3和4这两个命题的_____和_____恰好互相换了位置．
【自主归纳】一般来说，在两个命题中，如果一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做_________．如果把其中一个命题叫做________，那么另一个命题叫做它的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题不一定正确．
合作探究
一、探究过程
探究点1：互逆命题
例1指出下列命题的条件和结论，说出它们的逆命题，并判断逆命题的真假．
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
条件：_____________________．
结论：_____________________．
逆命题：_______________________________．这个逆命题是___命题．
(2)全等三角形的对应角相等．
条件：____________________．
结论：____________________．
逆命题：____________________________________________．这个逆命题是___命题．
【针对训练】指出下列命题的条件和结论，说出它们的逆命题，并判断逆命题的真假．
(1)如果一个数能被10整除，那么这个数也一定能被5整除；
条件：___________________．
结论：___________________．
逆命题：________________________________．这个逆命题是___命题．
(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
条件：________________________________________．
结论：_________________．
逆命题：________________________________________．这个逆命题是___命题．
【变式题】指出下列命题的条件和结论，说出它们的逆命题，并判断逆命题的真假．
(1)等角对等边；
条件：____________________________．
结论：____________________．
逆命题：___________．这个逆命题是___命题．
(2)等边三角形三条边上的高相等．
条件：_______________________．
结论：_______________．
逆命题：_________________________________________________．这个逆命题是___命题．
探究点2：互逆定理
1．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做________，其中的一个定理叫做另一个定理的_______．
2．一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．
例2(1)命题：两直线平行，内错角相等；
逆命题：________________________．
因此它们是_________.
(2)命题：_____________________．
逆命题：对顶角相等．
此逆命题是___命题，且是_____．
二、课堂小结
内容
互逆命题
如果第一个命题的条件是第二个命题的_____，而第一个命题的结论是第二个命题的_____，那么这两个命题叫做互逆命题．
互逆定理
如果一个定理的逆命题也是______，那么这两个定理叫做互逆定理．
当堂检测
1．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．对顶角相等
C．等边对等角
D．全等三角形的面积相等
2．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．全等三角形的面积相等
B．等腰三角形两个底角相等
C．若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角
D．若a=b，则a3=b3
3．“同位角相等”的逆命题是_________________________．
　
4．我们已经学习了一些定理，例如：①全等三角形的对应边相等；②等腰三角形的两个底角相等；③等边三角形的三个内角相等．
上述定理中存在逆定理的是　
　（填序号）．
5．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
（1）全等三角形的对应角相等；
（2）同旁内角互补，两直线平行．
6．写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假.若为真命题，请证明；若为假命题，请举出反例．
参考答案
自主学习
一、知识链接
表示判断的语句
2．真命题
假命题
条件
结论
3．如果经过平面上的一点作已知直线的垂线，那么有且只有一条直线与这条直线垂直
4．定理
二、新知预习
条件
结论
【自主归纳】互逆命题
原命题
合作探究
一、探究过程
探究点1
例1
（1）一个三角形是直角三角形
它的两个锐角互余
如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形
真
（2）两个三角形是全等三角形
它们的对应角相等
如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等
假
【针对训练】(1)一个数能被10整除
这个数也一定能被5整除
如果一个数能被5整除，那么这个数也一定能被10整除
假
(2)两条直线被第三条直线所截，内错角相等
这两条直线平行
两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等
真
【变式题】
(1)在一个三角形中，有两个角相等
这两个角所对的边相等
等边对等角
真
(2)一个三角形是等边三角形
该三角形三条边上的高相等
如果一个三角形三条边上的高相等，那么这个三角形是等边三角形
真
探究点2
互逆定理
逆定理
例2
(1)内错角相等，两直线平行
互逆定理
(2)相等的角是对顶角
真
定理
二、课堂小结
结论
条件
定理
当堂检测
1．C
2．A
3．相等的角是同位角
4．①②③
5．解：（1）没有.“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题.
（2）有.逆定理为：两直线平行，同旁内角互补．
6．解：逆命题是：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题．证明如下：
已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，BD＝DC.
求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ADB和△ADC中，
，∴△ADB≌△ADC（SAS）．∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．