华师大版数学八年级上册14.1.2直角三角形的判定学案（含答案）

2.直角三角形的判定
学习目标：
1.掌握勾股定理逆定理的概念（重点）；
2.让学生理解勾股数的概念，并牢记勾股数，学会勾股定理的使用技巧；
3.利用勾股定理的逆定理解决实际问题（难点）.
自主学习
一、知识链接
1.勾股定理的内容是什么？
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
①
a＝3，b＝4；c=_____；
②
a＝2.5，b＝6；c=_____；
③
a＝4，b＝7.5，c=_____.
二、新知预习
1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.
A.3、4、3
；
B.3、4、5；
C.3、4、6；
D.6、8、10.
2.判断:通过测量角度，判断上述你所画的三角形的形状.
A._________
B.__________
C._________
D._________
3.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边（c）的平方与其他两边（a，b）的平方和之间的关系.
A._________
B.__________
C._________
D._________
合作探究
一、探究过程
探究点1：勾股定理的逆定理
活动
有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
问题
算一算上面边长的平方之间的关系，结合形状的判断，你发现了什么？
猜测
如果三角形的三边长a,b,c满足___________,那么这个三角形是_________三角形.
验证
下面我们根据全等进行证明.
已知：△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形.．
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
则A′B′2=_______+________
。
∵a2+b2=c2，∴A′B′=_______.
在△ABC和△A′B′C′中，
A′C′=AC，
B′C′=BC，
______=_______,
∴△ABC____△A′B′C′(________)
.
∴∠C____∠C′_____90°，
即△ABC是__________三角形.
【要点归纳】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a
、b
、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形
，最长边所对应的角为直角.
例1若△ABC的三边a,b,c满足
a:b:
c=3:4:5，判断△ABC的形状.
【方法总结】已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
【针对训练】
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4
B．3，4，6
C．5，12，13
D．4，6，7
2.已知a、b、c是△ABC的三边长，若|a﹣b|+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　
　．
例2
某木工做了一个长方形的门框，AB=1.5m，AD=2m，测得BD=2.6m．若∠DAB=90°，则符合要求，请问他做的门框符合要求吗？说明理由.
探究点2：勾股数
【概念提出】
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.
【典例精析】
例3
下面各组a、b、c，是勾股数的是　
　．（填序号）
①a＝7，b＝24，c＝25
②a＝5，b＝13，c＝12
③a＝4，b＝5，c＝6
④a＝0.5，b＝0.3，c＝0.4
【方法总结】根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
二、课堂小结
内
容
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a
、b
、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形,且边c所对的角为直角.
勾股定理的逆定理的作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形.
注
意
最长边不一定是c，
∠C也不一定是直角.
勾股数一定是______数.
第
1
页
共
5
页
当堂检测
1.下列各组数是勾股数的是
(
)
A.3，4，7
B.6，10，8
C.1.5，2，2.5
D.1，3，5
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形
(
)
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
3.在△ABC中，∠A,
∠B,
∠C的对边分别a,b,c.若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是（
）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
4.若a，b，c满足（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0，则以a，b，c为边的三角形面积是　
　．
5.一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是
cm.
6.
如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝.
（1）求AD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
拓展提升
7.若△ABC的三边长a,b,c
满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.
试判断△ABC的形状，并说明理由.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
2.①
5
②6.5
③8.5
二、新知预习
1.画图略.
2.锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
直角三角形
3.a?+b?＞c?
a?+b?=c?
a?+b?＜c?
a?+b?=c?
合作探究
一、探究过程
探究点1：
猜测
a?+b?=c?
直角
验证
A′C′2
B′C′2
c
A′B′
AB
≌
SSS
=
=
直角
例1
解：设a=3k，b=4k，c=5k，且k≠0，则a2+b2=9k2+16
k2=25k2=c2.∴a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形．
【针对训练】
1.C
2.等腰直角三角形
例2
解：不符合，理由如下：因为1.52+22=6.25，2.62=6.76，所以AB2+AD2≠BD2，因此△ABD不满足直角三角形的条件，所以∠DAB≠90°.所以不符合要求.
探究点2：
例3
①②
课堂小结
正整数
当堂检测
1.B
2.A
3.C
4.30
5.12
6.（1）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝.
（2）证明：由（1）知AD＝，同理可得BD＝，∴AB＝AD+BD＝5．∵32+42＝52，∴BC2+AC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形．
7.解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c可以变形为（a-3）?+（b-4）?+（c-5）?=0.即a=3，b=4，c=5.∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．