湖南省邵东三高2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 湖南省邵东三高2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 588.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-10 09:42:28 | ||
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文档简介
邵东三高2020-2021学年高二上学期期中考试
数学试卷
时量：120分钟
分值：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上。）
1.已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.若复数同时满足，，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.下列命题中，真命题是（
）
A.，
B.“，”是“”的充分条件
C.，
D.的充要条件是
4.已知向量，，，若，则实数（
）
A.
B.
C.2
D.
5.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（
）
A.
B.
C.
D.
6.经过点作圆的切线，则的方程为（
）
A.
B.
C.或
D.或
7.在某项测试中，测量结果服从正态分布（），若，则（
）
A.0.8
B.0.4
C.0.6
D.0.2
8.安排A、B、C、D、E、F，6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有（
）
A.30种
B.40种
C.48种
D.42种
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。）
9.已知函数，则正确的结论是（
）
A.在区间上递增
B.的图象关于点对称
C.最小正周期为
D.的值域为
10.已知立方体棱长为，则下列说法正确的是（
）
A.线段的长度为
B.异面直线、互相垂直
C.对角面的面积为
D.的体积为
11.关于函数，下列结论正确的是（
）
A.图像关于轴对称
B.图像关于原点对称
C.在上单调递增
D.恒大于0
12.凸四边形的4个顶点均在抛物线上，则（
）
A.四边形可能为平行四边形
B.存在四边形，满足
C.若为正三角形，则该三角形的面积为
D.若过拋物线的焦点，则直线，斜率之积恒为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.
13.若，互为对立事件，其概率分别为，，则的最小值为______.
14.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则______.
15.若展开式中的二项式系数和为64，则等于______，该展开式中的常数项为______.
16.在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题10分）在中，、、分别是内角、、的对边，.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长.
18.（本题10分）在公比为2的等比数列中，，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19.（本题12分）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
20.（本题12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛（其中两人比赛，另一人当裁判，每局结束时，负方在下一局当裁判），设在情况对等中各局比赛双方获胜的概率均为，但每局比赛结束时，胜的一方在下一局比赛时受体力影响，胜的概率均降为，第一局甲当裁判.
（1）求第三局甲当裁判的概率；
（2）设表示前4局乙当裁判次数，求的分布列和数学期望。
21.（本题12分）已知椭圆（）的左顶点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，当取得最大值时，求的面积.
22.（本题14分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由.
数学答案
一、1.C2.A3.B4.D5.B6.B7.A8.D
二、9.ACD10.ABD11.ACD12.BC
三、13.9
14.4
15.6，15
16.
四、
17.（本题10分）
【解析】（1）（5分）【解析】（1）∵，
∴由正弦定理可得：
，
即，
∵，∴，
∵，∴.
（2）（5分）∵，，的面积为，
∴，∴，
∴由余弦定理可得：，
即，
解得，
∴的周长为.
18.（本题10分）
【解析】（1）（4分）因为，，成等差数列，
所以，所以，
解得，所以.
（2）（6分）因为，所以，
所以，
所以
.
19.（本题12分）
【解析】（1）（4分）由已知得，平面，平面，
故.又，所以平面.
（2）（8分）由（1）知.
由题设知≌，所以，
故，.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.
设平面的法向量为，则
即所以可取.
设平面的法向量为，则
即所以可取.
于是.
所以，二面角的正弦值为.
20.（本题12分）
【解析】（1）（4分）第三局甲当裁判的概率为.
（2）（8分）的可能取值为0，1，2，当时，前三局乙均胜，故，
∵不能连续两局当裁判，第一局由甲当裁判，故乙只能是第2、4局当裁判，故乙在第一局中输掉，在第三局中也输掉，故，
∴.
其分布列为
0
1
2
.
21.（本题12分）
【解析】（1）（4分）由题意可得：，，得，则.
所以椭圆.
（2）（8分）当直线与轴重合时，不妨取，，此时；
当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，，，
联立得，
显然，，.所以
.
当时，取最大值.
此时直线方程为，不妨取，，
所以.又，
所以的面积.
22.（本题14分）
【解析】（1）（6分）.
令，得或.
若，则当时，；当时，.
故在，单调递增，在单调递减；
若，在单调递增；
若，则当时，；当时，.
故在，单调递增，在单调递减.
（2）满足题设条件的，存在.
（ⅰ）当时，由（1）知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.
（ⅱ）当时，由（1）知，在单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.
（ⅲ）当时，由（1）知，在的最小值为，最大值为或.
若，，则，与矛盾.
若，，则或或，与矛盾.
综上，当且仅当，或，时，在的最小值为，最大值为1.
数学试卷
时量：120分钟
分值：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上。）
1.已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.若复数同时满足，，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.下列命题中，真命题是（
）
A.，
B.“，”是“”的充分条件
C.，
D.的充要条件是
4.已知向量，，，若，则实数（
）
A.
B.
C.2
D.
5.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（
）
A.
B.
C.
D.
6.经过点作圆的切线，则的方程为（
）
A.
B.
C.或
D.或
7.在某项测试中，测量结果服从正态分布（），若，则（
）
A.0.8
B.0.4
C.0.6
D.0.2
8.安排A、B、C、D、E、F，6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有（
）
A.30种
B.40种
C.48种
D.42种
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。）
9.已知函数，则正确的结论是（
）
A.在区间上递增
B.的图象关于点对称
C.最小正周期为
D.的值域为
10.已知立方体棱长为，则下列说法正确的是（
）
A.线段的长度为
B.异面直线、互相垂直
C.对角面的面积为
D.的体积为
11.关于函数，下列结论正确的是（
）
A.图像关于轴对称
B.图像关于原点对称
C.在上单调递增
D.恒大于0
12.凸四边形的4个顶点均在抛物线上，则（
）
A.四边形可能为平行四边形
B.存在四边形，满足
C.若为正三角形，则该三角形的面积为
D.若过拋物线的焦点，则直线，斜率之积恒为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.
13.若，互为对立事件，其概率分别为，，则的最小值为______.
14.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则______.
15.若展开式中的二项式系数和为64，则等于______，该展开式中的常数项为______.
16.在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题10分）在中，、、分别是内角、、的对边，.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长.
18.（本题10分）在公比为2的等比数列中，，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19.（本题12分）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
20.（本题12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛（其中两人比赛，另一人当裁判，每局结束时，负方在下一局当裁判），设在情况对等中各局比赛双方获胜的概率均为，但每局比赛结束时，胜的一方在下一局比赛时受体力影响，胜的概率均降为，第一局甲当裁判.
（1）求第三局甲当裁判的概率；
（2）设表示前4局乙当裁判次数，求的分布列和数学期望。
21.（本题12分）已知椭圆（）的左顶点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，当取得最大值时，求的面积.
22.（本题14分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由.
数学答案
一、1.C2.A3.B4.D5.B6.B7.A8.D
二、9.ACD10.ABD11.ACD12.BC
三、13.9
14.4
15.6，15
16.
四、
17.（本题10分）
【解析】（1）（5分）【解析】（1）∵，
∴由正弦定理可得：
，
即，
∵，∴，
∵，∴.
（2）（5分）∵，，的面积为，
∴，∴，
∴由余弦定理可得：，
即，
解得，
∴的周长为.
18.（本题10分）
【解析】（1）（4分）因为，，成等差数列，
所以，所以，
解得，所以.
（2）（6分）因为，所以，
所以，
所以
.
19.（本题12分）
【解析】（1）（4分）由已知得，平面，平面，
故.又，所以平面.
（2）（8分）由（1）知.
由题设知≌，所以，
故，.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.
设平面的法向量为，则
即所以可取.
设平面的法向量为，则
即所以可取.
于是.
所以，二面角的正弦值为.
20.（本题12分）
【解析】（1）（4分）第三局甲当裁判的概率为.
（2）（8分）的可能取值为0，1，2，当时，前三局乙均胜，故，
∵不能连续两局当裁判，第一局由甲当裁判，故乙只能是第2、4局当裁判，故乙在第一局中输掉，在第三局中也输掉，故，
∴.
其分布列为
0
1
2
.
21.（本题12分）
【解析】（1）（4分）由题意可得：，，得，则.
所以椭圆.
（2）（8分）当直线与轴重合时，不妨取，，此时；
当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，，，
联立得，
显然，，.所以
.
当时，取最大值.
此时直线方程为，不妨取，，
所以.又，
所以的面积.
22.（本题14分）
【解析】（1）（6分）.
令，得或.
若，则当时，；当时，.
故在，单调递增，在单调递减；
若，在单调递增；
若，则当时，；当时，.
故在，单调递增，在单调递减.
（2）满足题设条件的，存在.
（ⅰ）当时，由（1）知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.
（ⅱ）当时，由（1）知，在单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.
（ⅲ）当时，由（1）知，在的最小值为，最大值为或.
若，，则，与矛盾.
若，，则或或，与矛盾.
综上，当且仅当，或，时，在的最小值为，最大值为1.
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