华师大版数学八年级上册12.5第3课时运用两数和（差）的平方分解因式学案（含答案）

第3课时
运用两数和（差）的平方分解因式
学习目标：
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点）
2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．（难点）
自主学习
一、知识链接
填一填：（1）（x+1）2=___________；（2）（2a-3）2=___________．
二、新知预习
试一试：观察以上计算结果，分解下列因式：
（1）x2+2x+1=___________；（2）4a2－12a+9=___________．
合作探究
一、探究过程
探究点1：完全平方式
问题1：在整式乘法中我们学过完全平方公式，请写出完全平方公式.
问题2：观察完全平方公式右边的式子，它们有什么特点？
【要点归纳】把a?+______+b?和a?-______+b?这样的式子叫做完全平方式.
例1
如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
)
A
.
11
B.
9
C.
-11
D.
-9
【方法总结】本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，
根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免错解、漏解．
【针对训练】
1.下列式子中为完全平方式的是(
)
A．a2＋b2
B．a2＋2a
C．a2－2ab－b2
D．a2＋4a＋4
2.若x2＋mx＋16是完全平方式，则m的值是________．
探究点2：用完全平方公式进行因式分解
问题1：根据“填一填”“试一试”中的式子，你能写出下列式子分解因式后的结果吗？
解：a2＋2ab＋b2＝________；
a2－2ab＋b2＝________.
【要点归纳】两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的
倍，等于这两个数的和(或差)的平方，即为用完全平方公式分解因式的依据.
例2
分解因式：
(1)m2－6m＋9；
(2)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9.
【针对训练】分解因式：－3x2＋24x－48.
问题2：近两节课中，我们学习了“运用平方差公式分解因式”“运用完全平方公式分解因式”，从名称来看，你能给它们取一个共同的名字吗？
【要点归纳】利用公式（如__________，__________等）把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
例3
因式分解：(a2＋4)2－16a2.
例4
简便计算.
(1)1002－2×100×99+99?；
(2)342＋34×32＋162.
【方法总结】在较为复杂的有理数运算中，通常要先观察式子的特征，利用因式分解将其变形，转化为较为简单的运算.
例5已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
【方法总结】此类问题一般情况是将原式进行变形，将其转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质求出未知数的值，然后代入，即可得到所求代数式的值．
【针对训练】已知|x
y﹣4|+（x﹣2y﹣2）2＝0，求x2+4xy+4y2的值．
二、课堂小结
因式分解
方法
提公因式法
公式法
平方差公式
完全平方公式
公式
ma+mb+mc=__________
a2-b2=__________
a2±2ab+b2=________
步骤
提：提____________________;2.套：套_____________________;
3.检查：检查______________________________________________.
易错题型
1.提公因式时易出现漏项、丢系数或符号错误；2.因式分解不彻底.
当堂检测
1.下列四个多项式中，能因式分解的是（
）
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y
D．x2－5y
2.分解因式x3y﹣2x2y2+xy3正确的是（　　）
A．xy（x+y）2
B．xy（x2﹣2xy+y2）
C．xy（x2+2xy﹣y2）
D．xy（x﹣y）2
3.填空：
(1)x?+4x+4=
(
)?
+2·(
)·(
)+(
)?
=(
)?
(2)a?+4ab+4b?=(
)?+2·
(
)
·(
)+(
)?=(
)?
4.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是_______．
5.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为_______.
6.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36;
（2）4xy2－4x2y－y3；
(3)
y2+2y+1－x2.
7.计算：
（1）38.92﹣2×38.9×48.9+48.92；
（2）20242-2024×4026+20232.
8.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2).
小聪和小明的解答过程如下：
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
9.（1）已知a﹣b＝3，求a（a﹣2b）+b2的值；
（2）已知ab＝2，a+b＝5，求a3b+2a2b2+ab3的值．
拓展提升
10.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
参考答案
自主学习
一、知识链接
填一填：x2+2x+1
4a2－12a+9
二、新知预习
试一试：（x+1）2
（2a-3）2
合作探究
一、探究过程
探究点1：
问题1：解：（a+b）2=a?+2ab+b?，（a-b）2=a?-2ab+b?
.
问题2：解：式子里都含有两个数的平方相加，还有两个数的积的2倍.
【要点归纳】2ab
2ab
例1
B
【针对训练】1.D
2.8
探究点2：
问题1：解：（a+b）2
（a-b）2
【要点归纳】2
例2
解：（1）原式=（m-3）2.（2）原式=（x＋y+3）2.
【针对训练】解：原式=-3（x?-8x+16）=-3（x-4）?.
问题2：解：它们都是用公式分解因式的，可以称为公式法.
【要点归纳】平方差公式
完全平方公式
例3
解：原式=（a2+4-4a）（a2+4+4a）=（a-2）2（a+2）2.
例4
解：（1）原式=(100-99)?=1.
（2）原式=（34+16）2=2500.
例5
解：x2－4x＋y2－10y＋29＝0,即（x-2）2＋（y-5）2＝0，∴x-2=0，y-5=0，解得x=2，y=5.则x2y2＋2xy＋1=（xy+1）?=11?=121.
【针对训练】
解：∵|xy﹣4|+（x﹣2y﹣2）2＝0，∴xy＝4，x﹣2y＝2，∴x2+4xy+4y2＝（x+2y）2＝（x-2y）?+8xy＝2?+8×4=36．
二、课堂小结
m(a+b+c)
(a+b)(a-b)
(a±b)?
公因式
公式
因式分解是否彻底
当堂检测
B
2.D
3.（1）x
x
2
2
x+2
（2）a
a
2b
2b
a+2b
4.1
5.4
6.解：（1）原式=（x－6）2.
（2）原式=-y（2x-y）2.
（3）原式=（y+1+x）（y+1-x）.
7.解：（1）原式＝（38.9﹣48.9）2＝100.
（2）原式＝（2024-2023）2＝1.
8.解：都做错了．（1）原式=（2x+1）2；（2）原式==.
9.解：（1）∵a﹣b＝3，∴原式＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝32＝9.
（2）∵ab＝2，a+b＝5，∴原式＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝2×52＝50．
10.解：△ABC为等边三角形，理由如下:由a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，即（a-b）2+（b-c）2=0，∴a-b=0，b-c=0，∴a=b，b=c，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．