华师大版数学八年级上册12.5 第2课时 运用平方差公式分解因式 学案（含答案）

第2课时
运用平方差公式分解因式
学习目标：
1.学会运用平方差公式进行因式分解．（重点）
2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．（难点）
自主学习
一、知识链接
填一填：（1）（a+5）（a-5）=___________；（2）（4m+3n）（4m-3n）=___________．
二、新知预习
试一试：观察以上计算结果，分解下列因式：
（1）a2－25=___________；（2）16m2－9n2=___________．
合作探究
一、探究过程
探究点1：用平方差公式分解因式
思考1：“试一试”中的两个式子，从左到右的变化有什么共同的特点？
思考2：根据“填一填”、“试一试”中的式子，你能将a2－b2因式分解吗？若能，写出分解因式的结果.
【要点归纳】a2－b2=____________.即两个数的平方差，等于这两个数的_____与这两个数的______的________.
例1下列各式中，能用平方差公式分解因式的有(　　)
①2x2＋y2；②x2－4；③－4x2－y2；④1－a2b2.
A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个
【方法总结】能用平方差公式分解因式的多项式具有以下特征：两数是平方，减号在中央．
【针对训练】下列运用平方差公式因式分解正确的是(　　)
A．a2＋b2＝(a＋b)(a＋b)　　　　　B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．－a2＋b2＝(－a＋b)(－a－b)
D．－a2－b2＝－(a＋b)(a－b)
例2分解因式：
(1)a2－4b2；
(2)(m＋n)2－(m－n)2.
【方法总结】因式分解时，出现两个平方相减的形式，应将它们分别转化为两数（或式）整体的平方，再用平方差公式因式分解.
【针对训练】因式分解：(1)a2－b2；
(2)(2x＋3y)2－(3x－2y)2.
【易错题醒】因式分解需注意系数的变化，例如T（1）中的b2要改写成（b）2，再进行计算.
例3因式分解：(1)x－xy2；
(2)3xy3－3xy.
【针对训练】分解因式：
(1)a4－b4；
(2)a2－4b2－a－2b.
【方法总结】分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
例4计算：(1)1012－992；
(2)53.52×4-46.52×4.
【方法总结】较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
【针对训练】用简便方法计算：3.6×1.8－2.4×1.2.
例5已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
【方法总结】在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
【针对训练】已知|a﹣b﹣3|+（a+b﹣2）2＝0，求a2﹣b2的值．
二、课堂小结
当堂检测
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋(－b)2
B．5m2－20mn
C．－x2－9y2
D．－x2＋9
2.分解因式(2x+3)2
-x2的结果是（　　）
A．3(x2+4x+3)
B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3)
D．3(x+1)(x+3)
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）
A．-21
B．21
C．-10
D．10
4.把下列各式分解因式：
（1）9m2﹣n2＝　
　；
（2）x2﹣（y﹣2）2＝　
　；
（3）ax3y﹣axy3＝　
　；
（4）2m﹣32m5＝　
　．
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是______.
6.已知4m+n＝40，2m﹣3n＝5．求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．
7.在边长为a
厘米的正方形木板上开出边长为
b（b）厘米的四个正方形小孔（如图），求剩余部分的面积（用含a，b的代数式表示），并求当a＝14.6，b＝2.7时，剩余部分的面积.
拓展提升
8.
(1)993﹣99能被100整除吗？
(2)n为整数，（2n+1）2﹣25能否被4整除？
参考答案
自主学习
一、知识链接
填一填：a2-25
16m2-9n2
二、新知预习
试一试：（1）（a+5）（a-5）
（2）（4m+3n）（4m-3n）
合作探究
一、探究过程
思考1：解：都是从两个数的平方相减，变成两个式子相乘，且两个式子中间的符号相反
思考2：解：能，a2-b2=（a+b）（a－b）.
【要点归纳】（a+b）（a－b）
和
差
积
例1
B
【针对训练】B
例2
解：(1)原式=(a+2b)(a-2b).
(2)原式=（m+n-m+n）（m+n+m-n）=4nm.
【针对训练】
解：（1）原式=(a+b)(a-b).
（2）原式=
(5x＋y)(
5y－x).
例3
解：（1）原式=x（1+y）（1－y）.
（2）原式=3xy（y+1）（y－1）.
【针对训练】解：（1）原式=（a?+b?）（a+b）（a-b）.
（2）原式=（a+2b）（a-2b-1）.
例4
解：（1）原式=（101+99）（101-99）=400.
（2）原式=4（53.5+46.5）（53.5-46.5）=4×100×7=2800.
【针对训练】解：原式=1.82×2－1.22×2=2×（1.82－1.22）=2×（1.8+1.2）（1.8－1.2）=2×3×0.6=3.6.
例5
解：因式分解得x?-y?=（x+y）（x-y）=-2，∵x+y=1，∴x-y
=-2．联立
解得
【针对训练】解：∵|a﹣b﹣3|+（a+b﹣2）2＝0，∵，∴a﹣b＝3，a+b＝2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6．
二、课堂小结
（a+b）（a－b）
公因式
公式
当堂检测
1.D
2.D
3.A
4.（1）（3m+n）（3m﹣n）
（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）
（3）axy（x+y）（x﹣y）
（4）2m（1+4m2）（1+2m）（1﹣2m）
5.4
6.
解：（m+2n）2﹣（3m﹣n）2＝（m+2n+3m﹣n）（m+2n﹣3m+n）＝（4m+n）（3n﹣2m）＝﹣（4m+n）·（2m﹣3n）.当4m+n＝40，2m﹣3n＝5时，原式＝﹣40×5＝﹣200．
7.
解：根据题意，得剩余部分的面积＝a2﹣4b2.∵a＝14.6，b＝2.7，∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（14.6+2×2.7）（14.6﹣2×2.7）＝184(平方厘米)．
8.
解：（1）能，理由如下：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝98×99×100，则993﹣99能被100整除．
（2）能.理由如下：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1+5）（2n+1-5）＝4（n+3）(n-2)，n为整数，∴（2n+1）2﹣25能被4整除．