5.1.1任意角 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
5.1
任意角和弧度制
5.1.1　任意角
1.了解任意角的概念,能正确区分正角、负角和零角.
2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.
3.掌握终边相同的角的含义及其表示方法,并能解决有关问题.
　　1.任意角
一条射线绕其端点按①　逆时针????方向旋转形成的角叫做正角,按②　顺时针????
方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零
角.零角的始边与终边③　重合????.这样,我们就把角的概念推广到了任意角.
2.角的加法
(1)若角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β.
(2)设α,β是任意两个角,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是④????α+β????.
(3)相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相
反角,角α的相反角记为-α,α-β=⑤????α+(-β)????.
角的相关概念
　　所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合⑥????S={β|β=α+k·360°,
k∈Z}????,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
终边相同的角
1.象限角
在平面直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那
么,角的终边在第几象限,就
说这个角是第几象限角.如果角的终边在⑦　坐标轴????上,那么就认为这个角不属
于任何一个象限.
2.象限角的表示
(1)终边在第一象限的角:{α|k·360°<α(2)终边在第二象限的角:{α|k·360°+90°<α(3)终边在第三象限的角:{α|k·360°+180°<α(4)终边在第四象限的角:{α|k·360°-90°<α象限角
象限角是三角函数中的一个重要的概念,如何理解这个概念,有下列结论,判断其正
误.
1.第一象限角都是锐角.?(?????　)
提示:-300°为第一象限角,但不是锐角.
2.钝角是第二象限角.?(　√　)
提示:钝角的范围是{α|90°<α<180°},是第二象限角.
3.第三象限角一定比第一象限角大.?(?????　)
提示:例如240°为第三象限角,390°为第一象限角,结论不成立,故错误.
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
.
4.终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.?(　√　)
提示:由终边相同的角的概念知结论正确.
5.终边与始边重合的角是零角.?(?????　)
提示:终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
6.经过1小时,时针转过30°.?(?????　)
提示:因为是顺时针旋转,所以时针转过-30°.
任意角概念的理解
　　在花样滑冰比赛中,运动员的动作是那么优美!尤其是原地转身和空中翻转动
作都让我们叹为观止.运动员在原地转身的动作中,仅仅几秒内就能旋转十几圈,甚
至二十几圈,因此,花样滑冰美丽而危险.
?
问题
1.运动员顺时针旋转两圈半是多大的角度?
提示:顺时针旋转两圈半,即-(2×360°+180°)=-900°.
2.若是逆时针旋转两圈半呢?
提示:应为900°.
3.把任意角化为α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式的关键是什么?
提示:关键是确定k,可以用观察法(角的绝对值较小),也可用除法.
?
1.角的分类的关键与技巧:
(1)关键:正确理解象限角、锐角、直角、钝角、平角、周角等概念;
(2)技巧:判定一种说法正确需要证明,而判定一种说法错误只需举出反例即可.
2.确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和旋转量:
(1)表示角时,箭头的方向代表角的正负,因此箭头不能丢掉,尤其是在顺时针旋转形
成负角时;
(2)当角的始边相同时,若角相等,则终边相同,但终边相同,角不一定相等.始边和终
边重合的角不一定是零角,只有没做任何旋转,始边与终边重合的角才是零角.
3.要求符合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角α终边相
同的角的一般形式α+k·360°(k∈Z),再依条件构建不等式求出k的值.
??
　　平行于x轴且方向与x轴正方向相同的射线OA绕端点O按逆时针方向旋转90°
到射线OB的位置,接着再按顺时针方向旋转30°到射线OC的位置,求∠AOC的度数.
思路点拨
根据旋转的方向和旋转量画出图形.结合图形利用角的运算求∠AOC的度数.
解析????画出简图如图,由图和已知可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°)=60°.
所以∠AOC的度数为60°.
题后反思????角的概念推广后,确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小,画
图分析有助于培养直观想象的数学素养.
已知角α=2
020°.
(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-360°≤θ<720°.
思路点拨
把角α化为β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,利用观察法(角的绝对值较小)或除法
确定k的值.
解析????(1)2
020°除以360°,商为5,余数为220°,
∴k=5,β=220°,
∴α=5×360°+220°.
又β=220°是第三象限角,
∴α为第三象限角.
(2)由(1)知α=5×360°+220°,∴θ=k·360°+220°(k∈Z).
当k=-2时,θ<-360°,不满足题意;当k=-1时,θ=-140°,满足题意;当k=0时,θ=220°,满足题
意;当k=1时,θ=580°,满足题意;当k=2时,θ>720°,不满足题意.
综上,角θ的值为-140°,220°或580°.
??
　　你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25小时,你应
如何将它校准?
思路点拨
一要注意旋转量的大小,二要注意旋转的方向.
解析????将分针按顺时针方向旋转360°×?=30°;将分针按逆时针方向旋转360°×1.2
5=450°.
?
1.求终边在某条直线上的角的集合的策略:
(1)若所求角β的终边在某条射线上,则集合的形式为{β|β=k·360°+α,k∈Z};
(2)若所求角β的终边在某条直线上,则集合的形式为{β|β=k·180°+α,k∈Z}.
2.区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:
(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界;
(2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°到360°范围内的角α和β,并将该
范围内的区域角表示为{x|α(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍,即得区域角的范围.
??
区域角的表示
　　如图所示:
(1)分别写出终边在OA,OB位置上的角的集合;
(2)写出终边在阴影部分内的角的集合.
解析????(1)终边在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k
·360°,k∈Z};
终边在OB位置上的角的集合为{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)由题图及(1)知,终边在阴影部分内的角的集合为{γ|-30°+k·360°≤γ≤135°+k·360
°,k∈Z}.
??
　　若α是第一象限角,则角(1)2α;(2)?;(3)?各是第几象限角?
解析????(1)∵α是第一象限角,
∴k·360°<α)
∴k·720°<2α故2α是第一或第二象限角或是终边在y轴的非负半轴上的角.
(2)解法一:由(
)得k·180°①当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),
得n·360°②当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),
得n·360°+180°综合①②知,?是第一或第三象限角.
解法二:如图,将各象限分成两等份,再从x轴正方向的上方起,依次在各区域内标上
Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,标有Ⅰ区域(阴影部分)即?的终边所在的区域,故?是第一或第三象限
角.
(3)解法一:由(
)得k·120°　　①当k=3n(n∈Z)时,n·360°②当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°③当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+240°综合①②③知,?是第一或第二或第三象限角.
解法二:如图,将各象限分成3等份,再从x轴正向的上方起,依次将各区域标上Ⅰ,Ⅱ,
Ⅲ,Ⅳ,则标有Ⅰ的区域(阴影部分)为?的终边所在的区域,故?是第一或第二或第三
象限角.
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