5.2.2　同角三角函数的基本关系 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
5.2.2　同角三角函数的基本关系
　　注意体会逻辑推理的过程,加强数学运算核心素养的培养,并注意以下问题:
1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系.
2.理解同角三角函数的基本关系式.
3.能运用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的化简、求值和证明.
1.平方关系:同一个角α的正弦、余弦的①　平方和????等于1,即②????sin2α+cos2α=1
????.
2.商数关系:同一个角α的正弦、余弦的③　商????等于角α的正切,即④????tan
α=?
????,其中角α满足条件⑤????α≠kπ+?,k∈Z????.
同角三角函数的基本关系
1.sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
sin
α=±?
,cos
α=±?.
2.sin
α=cos
α·tan
α?,
cos
α=??.
3.1±2sin
αcos
α=(sin
α±cos
α)2.
同角三角函数基本关系的变形
由于同一个角的终边相同,用终边上一点的坐标定义了三种三角函数,从而同一个
角的三角函数有密切的关系.由同角三角函数的基本关系,判断下列结论1~3的正
误.
1.对任意的角α,都有tan
α=?成立.?(?????　)
提示:当α=?+kπ,k∈Z时,左右两边没有意义,等式不成立,但我们还认为此等式是恒
等式.
2.对任意角α,β,都有sin2α+cos2β=1.?(?????　)
提示:在同角三角函数的基本关系中要注意是“同角”才成立,即sin2α+cos2α=1.
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
.
3.sin2?+cos2?=1.?(　√　)
提示:在sin2α+cos2α=1中,令α=?,可得sin2?+cos2?=1.
4.存在角α,使得sin
α=?,且cos
α=?.?(?????　)
提示:因为?+?=?≠1,因此不存在角α,使得sin
α=?,且cos
α=?.
5.若sin
α=?,则cos
α=?.?(?????　)
提示:由sin
α=?得cos
α=±?,结论不正确.
利用同角三角函数的基本关系求值
　　同角三角函数的基本关系经常组合在一起使用.sin
α,cos
α,tan
α这三个“知一
求二”.
?
问题
1.已知一个角的三角函数值求其他三角函数值,若不确定已知角所在的象限,如何
求解?
提示:分类讨论.
2.已知sin
α=m,如何求tan
α的值?
提示:若已知sin
α=m,可以先应用公式cos
α=±?求得cos
α的值,再由公式tan
α
=?求得tan
α的值.
3.使用平方关系求sin
α,cos
α的值时,要注意哪些方面?
提示:使用变形公式sin
α=±?,cos
α=±?时,三角函数值的正负是由α的
终边所在的象限确定的.
4.已知tan
α的值,如何求sin
α,cos
α的值?
提示:先用公式cos2α=?求出cos
α,再用公式sin
α=cos
α·tan
α求出sin
α.
?
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法:
1.已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,公式的选择要合理;
2.若角α的终边所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一种结果;若角α
的终边所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两种结果.
??
(1)已知sin
α=-?,且α是第三象限角,求cos
α,tan
α的值;
(2)已知cos
α=-?,求sin
α,tan
α的值.
思路点拨
(1)中明确α是第三象限角,所以只有一种结果.(2)中未指出角α的终边所在象限的情
况,需分类讨论.
解析????(1)∵sin2α+cos2α=1,
∴cos2α=1-sin2α=1-?=?.
又∵α是第三象限角,∴cos
α<0,即cos
α=-?,
∴tan
α=?=-?×?=?.
(2)∵cos
α
=-?<0,∴α是第二或第三象限角.
当α是第二象限角时,sin
α>0,tan
α<0,
∴sin
α=?=?=?,
tan
α=?=-?;
当α是第三象限角时,sin
α<0,tan
α>0,
∴sin
α=-?=-?=-?,
tan
α=?=?.
在使用关系式sin
α=±?和cos
α=±?时,一定要注意正负号的选取,确定
正负号的依据是角α的终边所在的象限.?
??
　　已知tan
α=?,且α是第三象限角,求sin
α,cos
α的值.
思路点拨
思路一:利用“平方关系”和“商数关系”列方程组求解.
思路二:先由cos2α=?求出cos
α的值,再求出sin
α的值.
解析????解法一:∵α是第三象限角,
∴sin
α<0,cos
α<0.
由?得?
解法二:由cos2α=?得cos2α=?.
又α是第三象限角,∴cos
α=-?,
从而sin
α=?cos
α=-?.
?
　　1.若已知tan
α=m,求形如??的式子的值,其方法是
将分子、分母同除以cos
α(或cos2α)转化为关于tan
α的代数式,再求值,如果先求出
sin
α和cos
α的值再代入,那么运算量会很大,问题的解决就会变得烦琐.
2.形如asin2α+bsin
αcos
α+ccos2α的式子,通常把分母看作1,然后用sin2α+cos2α代换,
分子、分母同除以cos2α,再求解.
关于sin
α,cos
α的齐次式的求值问题
??
　　已知?=2,计算下列各式的值.
(1)?;
(2)sin2α-2sin
αcos
α+1.
思路点拨
由?=2得tan
α=3.根据齐次式的求解方法,将(1)(2)转化为关于tan
α的代数
式,再求值.
解析????由?=2得sin
α=3cos
α,
所以tan
α=3.
(1)原式=?=?=?.
(2)原式=?+1
=?+1=?+1=?.
　　同角的正弦与余弦具有平方关系sin2θ+cos2θ=1,解题时结合完全平方公式,可
以得到一些有用的公式.
利用同角三角函数的基本关系化简与证明
问题
1.sin
θ+cos
θ与2sin
θcos
θ有何关系?
提示:(sin
θ+cos
θ)2=1+2sin
θcos
θ.
2.sin
θ-cos
θ与2sin
θcos
θ有何关系?
提示:(sin
θ-cos
θ)2=1-2sin
θcos
θ.
拔高设问
3.如何解决已知sin
α±cos
α,sin
αcos
α的求值问题?
提示:一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.
4.已知sin
θ+cos
θ,sin
θ-cos
θ,sin
θcos
θ中的任何一个,如何求出另两个式子的值?
提示:利用三角恒等式:(sin
θ+cos
θ)2+(sin
θ-cos
θ)2=2;(sin
θ-cos
θ)2=(sin
θ+cos
θ)2-4
sin
θcos
θ可以进行求值.
?
1.三角函数式的化简过程中常用的方法:
(1)化切为弦,即把正切函数化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目
的.
(2)对于含有根号的,常把根号下的式子化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目
的.
(3)对于含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函
数次数,达到化简的目的.
2.利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多,主要方法有:(1)从
左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简;(2)左右归一法,即证明左右两边都等于
同一个式子;(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差
异;(4)变更命题法,如要证明?=?,可证ad=bc或证?=?等;(5)比较法,即设法证明
“左边-右边=0”或“?=1(右边≠0)”.
??
　　若sin
α·tan
α<0,化简?+?.
思路点拨
先确定cos
α的符号,然后利用平方关系去掉根号,再进行化简.
解析????∵sin
α·tan
α<0,∴cos
α<0.
原式=?+?
=?+?
=?+?=-?.
导师点睛????化简含有根号的式子时,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去
根号达到化简的目的.
??
　　证明:?=?.
思路点拨
思路一:等式右边分子、分母同乘(tan
α-sin
α)?由右式向左式转化.
思路二:左右两式切化弦?整理化简得证.
证明????证法一:
右边=?
=?
=?
=?
=?=左边,
∴原等式成立.
证法二:左边=?
=?=?,
右边=?
=?=?,
∴左边=右边,原等式成立.