5.3 诱导公式 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
5.
3
诱导公式
通过作出角的终边,观察角终边的对称关系,借助单位圆及三角函数定义得出角的
正弦、余弦、正切间的关系,提高逻辑推理、数学运算的核心素养.学习本节要注
意以下问题:
1.能借助单位圆推导诱导公式二、三、四、五、六.
2.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
　　诱导公式二
sin(π+α)=①　-sin
α????,
cos(π+α)=②　-cos
α????,
tan(π+α)=tan
α
诱导公式三
sin(-α)=③　-sin
α????,
cos(-α)=cos
α,
tan(-α)=④　-tan
α????
诱导公式四
sin(π-α)=⑤????sin
α????,
cos(π-α)=⑥　-cos
α????,
诱导公式
tan(π-α)=-tan
α
诱导公式五
sin?=cos
α,
cos?=sin
α
诱导公式六
sin?=⑦????cos
α????,
cos?=⑧　-sin
α????
　　诱导公式可以统一概括为“k·?±α(k∈Z)”的诱导公式.记忆口诀为:奇变偶不
变,符号看象限.
1.“变”与“不变”是针对三角函数名称而言的.
2.“奇”“偶”是对k·?±α(k∈Z)中的整数k来讲的.当k为奇数时,正弦变余弦,余弦
变正弦;当k为偶数时,函数名不变.
3.“象限”指k·?±α(k∈Z)中,将α看成锐角时,k·?±α(k∈Z)所在的象限,根据“一全
正,二正弦,三正切,四余弦”的符号规律确定函数值的符号.
对诱导公式的理解
sin?=-cos
α,cos?=-sin
α,
sin?=-cos
α,cos?=sin
α.
诱导公式的推广
1.π+α的终边与α的终边关于原点对称,因此sin(π+α)=-sin
α.?(　√　)
提示:设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点,P1是π+α的终边与单位圆的交点,由π+α的
终边与α的终边关于原点对称,得P1(-x,-y),因此sin(π+α)=-y=-sin
α.
2.2π-α的终边与α的终边关于x轴对称,因此cos(2π-α)=cos
α.?(　√　)
提示:设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点,P1是2π-α的终边与单位圆的交点,由2π-α
的终边与α的终边关于x轴对称,得P1(x,-y),因此cos(2π-α)=x=cos
α.
3.α-π的终边与α的终边关于y轴对称,因此sin(α-π)=sin
α.?(?????　)
提示:α-π的终边与α的终边关于原点对称,因此sin(α-π)=-y=-sin
α.
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
.
4.诱导公式中角α是任意角.?(?????　)
提示:正、余弦函数的诱导公式中,α为任意角,但是正切函数的诱导公式中,α的取
值必须使公式中角的正切值有意义.
5.因为180°+100°=280°是第四象限角,所以cos
(180°+100°)=cos
100°.?(?????　)
提示:运用诱导公式时,将100°看成是锐角,则180°+100°看成是第三象限角,因此cos
(180°+100°)=-cos
100°.
?
?
1.诱导公式有很多组,使用不同的组合都可以达到共同的效果,但是一般采用以下
顺序转化角:
(1)化负角为正角;
(2)大于2π的角化为0~2π的角;
(3)把?~2π的角转化为0~?的角.
2.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤:①“负化正”:用公式一或三来转
化.②“大化小”:用公式一将角化为0°到360°的角.③“角化锐”:用公式二或四将
大于90°的角转化为锐角.④“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值.
??
利用诱导公式解决给角求值问题
　　求下列各式的值:
(1)sin?;
(2)cos(-120°)sin(-150°)+tan
855°.
思路点拨
用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数.
解析????(1)sin?
=-sin?
=-sin?
=-sin?
=sin?=?.
(2)原式=-cos(180°-60°)sin(180°-30°)+tan(135°+2×360°)
=-(-cos
60°)sin
30°+tan
135°
=-(-cos
60°)sin
30°+tan(180°-45°)
=-(-cos
60°)sin
30°-tan
45°
=?×?-1=-?.
?
解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运
算之间的差异及联系,再将已知式进行变形(向所求式转化),或将所求式进行变形
(向已知式转化).诱导公式的应用中,利用互余(互补)关系求值是最常见的问题,一
般解题步骤如下:
(1)定关系:确定已知角与所求角之间的关系,常见的互余关系有:?-α与?+α,?+α与
?-α,?+α与?-α等,常见的互补关系有?+α与?-α,?+α与?-α等.
(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
(3)得结论:根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关系,从而得到答案.
利用诱导公式解决条件求值问题
??
　　(1)已知cos?=?,求cos?-sin2?α-??的值;
(2)已知cos?=?,求sin?的值.
思路点拨
(1)观察?-α与?+α,α-?的关系,用?-α表示?+α,α-?.
(2)观察α+?与α+?之间的关系,用α+?表示α+?.
解析????(1)∵cos?=cos?
=-cos?=-?,
sin2?=sin2?
=1-cos2?=1-?=?,
∴cos?-sin2?
=-?-?=-?.
(2)∵α+?=?+?,
∴sin?
=sin?
=cos?=?.
解题模板
(1)观察已知角与待求角的关系;(2)根据角之间的关系,利用诱导公式化简求值.
?
1.三角函数式化简的方法和技巧
(1)方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,灵活
应用相关的公式及变形解决问题.
(2)技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦.
2.证明等式的常用方法
利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用,其证明的常用方法有:
(1)对一边进行化简,使得它等于另一边,一般由繁到简.
(2)左右归一法:即证明等号左右两边都等于同一个数或式子.
注意:针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,以消除差异.
利用诱导公式化简、证明三角函数式
??
　　证明:?=-tan
α.
思路点拨
利用诱导公式直接对等式左边进行化简,从而推出右边.
证明????左边
=?
=?
=?
=?=-?=-tan
α=右边,
即原等式成立.
方法技巧????对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推导右边或从右边
推导左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角
法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的
方法.