4.1.1 n次方根与分数指数幂 教案（含答案）

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第四章
指数函数与对数函数
4.1
指数
4.1.1
n次方根与分数指数幂
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解n次方根、根式的概念.
2.能正确运用根式的性质化简或求值,能进行根式与分数指数幂之间的相互转化.
数学运算——能用根式的性质化简或求值，能进行根式与分数指数幂之间的相互转化.
自主学习·必备知识
要点一
n次方根与根式
一般地，如果
，那么
叫做
的①
次方根
，其中
，且
.
当
是奇数时，正数的
次方根是一个②
正数
，负数的
次方根是一个③
负数
，这时，
的
次方根用符号
表示.当
是偶数时，正数的
次方根有④
两个
，这两个数互为相反数.这时，正数
的正的
次方根用符号
表示，负的
次方根用符号
表示.正的
次方根与负的
次方根可以合并写成
.式子⑤
叫做根式，这里
叫做⑥
根指数
，
叫做被开方数.
要点二
根式的性质
负数没有偶次方根.
0的任何次方根都是0，记作
⑦
0
.
当
为奇数时，
；
当
为偶数时，
要点三
分数指数幂
正数的正分数指数幕的意义是
⑧
.于是，在条件
，
，
，
下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，
.
0的正分数指数幂等于⑨
，0的负分数指数幂⑩
没有意义
.
要点四
有理数指数幂的运算性质
对任意有理数
，
，均有下面的运算性质：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
自主思考
1.若一个正数的四次方根为
和
，求
的值.
答案：提示
易知
与
互为相反数，可得
.
2.若式子
无意义，求实数
的取值范围.
答案：提示
若式子无意义，则
，解得
，即
的取值范围是
.
3.用分数指数，表示
.
答案：提示
；
.
4.已知实数
，
，
，且
，
，判断
与
是否相等.
答案：提示
.
名师点睛
1.
与
的区别
（1）
是实数
的
次方根，是一个恒有意义的式子，不受
的正负限制，但这个式子的值受
的奇偶限制.其算法是对
先乘方,再开方(都是
次)，结果不一定等于
.
（2）
是实数
的
次方根的
次幂，其中实数
的取值由
的奇偶决定．其算法是对
先开方，后乘方(都是
次)，结果恒等于
.
2.对分数指数幂的理解
（1）分数指数幂
不能理解为
个
相乘,它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
（2）把根式
化成分数指数幂的形式时，不要轻易对
进行约分.
3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如
有意义，但
就没有意义.
互动探究·关键能力
探究点一
根式的化简与求值
精讲精练
例
化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
.
答案：（1）原式=(-2)+(-2)=-4.
（2）原式
.
（3）原式
.
，
.
当
，
即
时，
;
当
，
即
时，
.
解题感悟
根式化简的思想和注意点
1.根式化简的思想：将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式（完全平方公式、立方和（差）公式）,将所求代数式恰当地变形,达到化繁为简的目的.
2.化简根式时需注意：在根式计算中,含有
（
为正偶数）的形式中要求
，而
中
可以是任何实数.
迁移应用
1.下列各式正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.若
，则实数
的取值范围是
.
答案：
（
解析：
，
.依题意得
，故
,所以
.
探究点二
根式与分数指数幂的互化
精讲精练
例
用根式或分数指数幂表示下列各式：
（1）
;
（2）
;
（3）
;
（4）
（5）
.
答案：（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
（5）
.
解题感悟
根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数化为
分数指数幂的分母,被开方数（式）的指数
化为
分数指数幂的分子.
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用实数指数幂的运算性质解题.
迁移应用
1.用分数指数幂的形式表示下列各式（式中字母都是正数）：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
答案：
（1）
.
（2）
.
（3）
.
探究点三
有理数指数幂的运算
精讲精练
例
计算或化简下列各式：
（1）
；
（2）
.
答案：
（1）原式
.
（2）原式
.
解题感悟
指数幂运算的常用技巧
（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.
（3）底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数，要尽可能用幂的形式来表示，便于运用指数幂的运算性质.
迁移应用
1.计算或化简下列各式：
（1）
（2）
答案：
（1）原式
.
（2）原式
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.若
有意义,则
的取值范围是(
)
A.
)B.[
C.
D.
答案：
2.将
写成根式，正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.若
，则
.
答案：
解析：
因为
，所以
.
4.（2020宁波北仑中学高一期中）
（1）计算：
（2）若
，化简：
.
答案：
（1）原式
.
（2）原式
.
5.已知
，化简
.
答案：
.
当
是奇数时，原式
;
当
是偶数时，原式
.
素养演练
数学运算——根式的化简或求值问题
1.设
，化简:
.
答案：
原式
，
，
当
时，原式
；
当
时，原式
.
原式
素养探究：解决根式的化简或求值问题,要理解根式的意义，注意其限制条件.重点考查学生的数学运算的核心素养.
迁移应用
1.
当
有意义时，
(
)
A.
B.
C.-1D.
答案：
解析：因为
有意义，所以
，即
，所以原式
.故选C.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021浙江镇海中学高一期末）下列式子的互化正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2020广东揭阳三中高一期中）化简：
(
)
A.4B.
C.
或4D.
答案：
3.（2021湖南娄底高一期中）下列式子成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.若
，则实数
的取值范围是
.
答案：
）
5.若
，则
.
答案：
6.若
，则实数
的取值范围是
.
答案：
（
解析：
，由题意得
，则
，即
.
7.用分数指数幂表示下列各式：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
答案：
（1）原式
（2）原式
（3）原式
素养提升练
8.已知
,则
的值是(
)
A.
B.0
C.
D.
答案：
解析：由题意知
，故选B.
9.已知二次函数
的图象如图所示，则
化简的结果是
.
答案：
解析：
由题图可知
，
.
.
10.求下列各式的值：
（1）
;
（2）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
.
11.求使等式
成立的实数
的取值范围.
答案：
.
要使等式
成立，
则需
即
解得
.故a的取值范围是
.
创新拓展练
12.化简
，并画出简图，写出最小值.
答案：
原式
其图象如图所示.
解析：由图象易知函数的最小值为4.
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