4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 教案（含答案）

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第四章
指数函数与对数函数
4.1
指数
4.1.2
无理数指数幂及其运算性质
课标解读
课标要求
素养要求
1.认识实数指数幂（
且
，
）的含义.
2.了解指数幂的拓展过程,掌握实数指数幂的运算性质.
1.逻辑推理——能推导分数指数幂的运算性质.
2.数学运算——能用指数幂的运算性质对代数式进行化简或求值.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
要点一
无理数指数幂
一般地，无理数指数幂
（
，
为无理数）是一个确定的①
实数
.
要点二
实数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数
，
，均有下面的运算性质.
（1）
②
.
（2）
③
.
（3）
④
.
自主思考
1.因为
是无限不循环小数，所以
是一个不确定的数，这个说法正确吗？
答案：提示
不正确.
2.计算：
答案：提示
原式
.
名师点睛
1.因为
，所以对于
成立.
2.化简指数幂的几个常用技巧
（1）
（2）
使式子有意义）;
（3）1的代换,如
使式子有意义）等;
（4）乘法公式的常见变形,如
均使（
式子有意义）.
互动探究·关键能力
探究点一
实数指数幂的运算
自测自评
1.计算:
.
答案：
原式
.
2.化简：
（其中
答案：
原式
.
3.
.
答案：原式
.
解题感悟
在进行幂和根式的化简时,一般原则是：先将负指数幂化为正指数幂，将小数化为分数，将根式化为分数指数幂，将底数化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质在系数、同底数幂间进行运算，达到化简和求值的目的．
探究点二
条件求值问题
精讲精练
例
已知
求
的值.
答案：
，
.
解题感悟
利用整体代换法求分数指数幂
（1）整体代换法是计算常用的方法技巧，分析条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是解题关键.（2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题时，常常运用完全平方式及其变形公式求解.
迁移应用
1.（变结论）若不改变例题中的条件,求
的值.
答案：
由例题解析知
，
，
，
.
2.（变条件）若将例题中的条件变为
，求
的值.
答案：
，
.
见学用76页
评价检测·素养提升
课堂检测
1.
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由实数指数幂的运算性质
知,
.
2.（★）（2020江苏太湖高级中学高一期中）已知
，则
的值是(
)
A.2B.4C.14D.16
答案：
解析：因为
，所以
，即
，所以
，所以
，故选C.
3.若
，且
，
，则
.
答案：
解析：
因为
，
，
，
所以
4.（1）计算：
（2）化简：
.
答案：
（1）原式
.
（2）原式
.
素养演练
逻辑推理——运用指数幂运算公式求值
1.已知
，
，且
，
，求
的值.
答案：
，
，即
，
.
素养探究：指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则对指数变形，以达到代入、消元等目的，从而考查了逻辑推理的核心素养.
迁移应用
1.已知
，
，求
的值.
答案：
由
，得
，
由
，得
，
，
,故
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021浙江温州高一期末）式子
的计算结果为(
)
A.1B.
C.
D.
答案：
2.计算：
(
)
A.17B.18C.6D.5
答案：
解析：
.
3.（多选）（2020河北唐山一中高一期中）下列计算正确的是(
)
A.
B.
C.
D.已知
则
答案：
;
解析：
,故A错误;
，故B正确；
故C正确；
因为
，所以
，则
，故D错误.故选BC.
4.（2020河南开封高一期中）已知正数
满足
，则
(
)
A.6B.7C.8D.9
答案：
解析：
因为正数
满足
，所以
，即
，则
，所以
，即
，因此
.故选B.
5.（2021天津三中高一期末）已知
，
，则
.
答案：
解析：
，
.
6.计算：（1）
;
（2）
.
答案：（1）原式
（2）原式
.
素养提升练
7.（2020吉林油田高级中学高一期中）若
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
，所以
，且
，则
，故
.故选A.
8.若
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
，因此
.故选C.
9.（2020江苏淮安阳光学校高一月考）设
，
，则
的值为
.
答案：
解析：
由
，得
，则
.
10.式子
的值为
.
答案：
1
解析：
11.（2020湖北南漳高一期中）
（1）计算：
（2）已知
，求
.
答案：
（1）原式
.
（2）
，
，
，
，
又
，
，
.
创新拓展练
12.（1）已知
，
，求
的值;
（2）已知
，
是方程
的两根，且
，求
的值.
答案：（1）
.
将
代入，
得原式
.
（2）
，
是方程
的两根，
.
，
，
，
.
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