4.2.1 指数函数的概念 教案（含答案）

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第四章
指数函数与对数函数
4.2
指数函数
4.2.1
指数函数的概念
课标解读
课标要求
素养要求
1.通过具体实例了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
1.数学抽象——通过实例了解指数函数的概念.
2.数学建模——能从实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用.
自主学习·必备知识
要点一
指数函数的概念
一般地，函数
，且
叫做①
指数函数
，其中②
指数
是自变量，定义域是③
.
要点二
指数型函数模型
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为
，每次的增长率为
，经过
次增长，该量增长
，则
④
.形如
，且
，且
的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的模型
自主思考
1.某口罩厂2020年1月份平均日产量为20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个.则口罩厂日产量的月平均增长率是
.
答案：
解析：提示设口罩厂日产量的月平均增长率是x，依题意得
，解得
，
（不符合题意，舍去），则口罩厂日产量的月平均增长率是
.
名师点睛
规定
，且
的理由
（1）如果
，那么当
时，
恒等于0；当
时，
无意义.
（2）如果
如
，那么对于
其函数值不存在.
（3）如果
，那么
是一个常量，无研究价值.
为了避免上述各种情况的发生，所以规定
且
.
互动探究·关键能力
探究点一
指数函数的概念
精讲精练
例（1）下列各函数中，是指数函数的为(
)
A.
B.
C.
D.
（2）若函数
（
是自变量）是指数函数，则
的取值范围是(
)
A.
B.[
C.
D.
答案：（1）
（2）
解析：（1）A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；
中，自变量出现在指数上，但-4＜0，不满足“底数大于0且不等于1”的条件，故不是指数函数；
中，指数是
，故不是指数函数；
中，
，符合指数函数的定义，故是指数函数．故选D.
（2）依题意得
，且
，解得
且
，故选C.
解题感悟
指数函数的解析式必须具有三个特征：
（1）底数
为大于0且不等于1的常数；
（2）指数位置是自变量
，且指数位置上只有x这一项；
（3）指数式只有一项，且
的系数是1.
迁移应用
1.下列是指数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.若函数
是指数函数，求
的值.
答案：由指数函数的概念知，
解得
.
探究点二
求指数函数的解析式或函数值
精讲精练
例
（2020湖南临澧第一中学高一期中）指数函数
的图象过点(-2，4），则
.
答案：
解析：
设
且
，因为
的图象过点(-2,4)，所以
解得
即
所以
.
解题感悟
求指数函数的解析式或函数值的关键是求底数
，并注意
的限制条件，主要采用待定系数法求底数a.
迁移应用
1.如果指数函数
的图象经过点
，那么
(
)
A.8B.16C.32D.64
答案：
解析：设
且
，结合题意可得
，解得
，故函数的解析式为
，所以
，故选D.
探究点三
指数型函数模型的应用
精讲精练
例
某地区2012年年底的人口数量为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为
，要使2023年年底该地区的人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少
万平方米（精确到1万平方米，参考数据：
）.
答案：
83
解析：
设平均每年新增住房面积
万平方米，
则
，
解得
，
即平均每年新增住房面积至少83万平方米.
解题感悟
在解决指数型函数模型的应用问题的过程中，大多需要根据条件列出方程，进而求解.
迁移应用
1.某城市房价（均价）经过6年时间从1200元
增加到了4800元
，则这6年间平均每年的增长率是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：设这6年间平均每年的增长率为
，则
，解得
.
2.已知某种产品的生产成本每年降低
.若该产品2015年年底的生产成本为6400元/件，则2018年年底的生产成本为
元/件.
答案：
2700
解析：
由题意得，2018年年底的生产成本为
（元/件）.
评价检测·素养提升
1.下列函数中一定是指数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.若指数函数
的图象过点(3,8)，则
的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.若函数
是指数函数，则
的值为
.
答案：
解析：
函数
是指数函数，
解得
.
4.某钢厂的年产量由2010年的40万吨增加到2020年的50万吨，若按照这样的年增长率计算，则该钢厂2030年的年产量约为
万吨（结果保留整数）.
答案：63
解析：设年增长率为x，根据题意得
，解得
.
若按照这样的年增长率计算，则该钢厂2030年的年产量约为
（万吨）.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）下列函数中不是指数函数的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
2.（2020湖南邵阳高一期中）下列函数中，不能化为指数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.某产品的成本价为
，由于不断改进技术，成本价平均每年降低
，则经过
年后该产品的成本价为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.（2021北京石景山高一期末）已知函数
是指数函数，如果
，那么
（选填“＞”“=”或“＜”）.
答案：
＞
解析：因为函数
是指数函数，
所以设
且
则由
得
解得
或
（舍去），
所以
由此可得
.
5.已知指数函数
的图象经过点(2,4)，求
的值.
答案：
设
且
函数
的图象过点
.
又
且
，
.
6.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为
（
为浓度单位，
表示百万分之一），再过4分钟测得浓度为
.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度
与排气时间
（分钟）之间满足函数关系
（
为常数），求
的值.
答案：
由题意得
解得
故c,m的值分别为
.
素养提升练
7.（多选）已知指数函数
满足
，则下列结论中正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：设指数函数
且
，由题意得，
所以
所以
，故A中结论正确，B中结论错误;
因为
所以C中结论正确;
因为
，所以D中结论正确.故选ACD.
8.已知函数
.若
，则实数
的值等于
.
答案：
-3
解析：由已知得，
.因为
，所以
.当
时，
，所以
不成立，舍去.当
时，
，所以
.
9.某种细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则这种细胞由1个分裂成4096个需经过
小时.
答案：
3
解析：
个细胞分裂一次时变为
个细胞，分裂2次时变为
个细胞，分裂3次时变为
个细胞……
当分裂
次时变为
个细胞，故可得出
细胞15分钟分裂一次，
细胞分裂12次所需的时间为12×15=180分钟=3小时．故这种细胞由1个分裂成4096个需经过3小时．
10.某林区2018年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到
.若经过
年后，该林区的木材蓄积量为
万立方米，求
的表达式，并求此函数的定义域.
答案：
现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为
万立方米，
经过2年后木材蓄积量为
万立方米，
经过
年后木材蓄积量为
万立方米，
.
创新拓展练
11.截止到2018年年底，我国某市人口数量约为130万.若今后能将人口数量的年平均增长率控制在3，经过
年后，此市人口数量为
（单位：万）.
（1）求
与
的函数关系式
，并写出定义域;
（2）若按此增长率，则2029年年底的人口数量约是多少？
（3）哪一年年底的人口数量将达到135万？
（参考数据：
）
答案：（1）2018年年底的人口数量约为130万；
经过1年，即2019年年底的人口数量约为
万；
经过2年，即2020年年底的人口数量约为
万，
经过3年，即2021年年底的人口数量约为
万；
……
所以经过
年后的人口数量约为
万，
即
.
（2）2029年年底的人口数量约为
万.
（3）由（2）可知，2029年年底的人口数量约为134.3万，134.3＜135，
2030年年底的人口数量约为
万，134.8＜135，
2031年年底的人口数量约为
万，135.2＞135，
所以2031年年底的人口数量将达到135万.
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