4.2.2 指数函数的图象和性质 第1课时 指数函数的图象和性质 教案（含答案）

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第四章
指数函数与对数函数
4.2
指数函数
4.2.2
指数函数的图象和性质
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
2.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式.
逻辑推理——能根据指数函数的图象说明指数函数的性质，并解决实际问题.
第1课时
指数函数的图象和性质
自主学习·必备知识
底数
互为倒数
的两个指数函数的图象关于①
轴
对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.
一般地，指数函数的图象和性质如表所示.
图像
定义域
值域
②
性质
过定点③
(0,1)
，即
④
0
时，
⑤
1
减函数
增函数
自主思考
1.若
且
，则函数
与
的图象具有什么关系?
答案：提示两函数的图象关于
轴对称.
2.“指数函数的图象一定在x轴的上方"这种说法正确吗?
答案：提示正确.
名师点睛
1.底数
与1的大小关系决定了指数函数图象“升”与“降”.当
时，指数函数的图象是“上升”的，当
时，指数函数的图象是“下降”的.
2.函数
且
的图象的变化趋势：当
时，底数越大，图象越靠近
轴；当
时，底数越小，图象越靠近
轴.
3.指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象不经过第三、四象限.
4.解简单指数不等式问题的注意点
（1）形如
的不等式，可借助
的单调性求解．如果
的值不确定，那么需分
和
两种情况进行讨论．
（2）形如
的不等式，可以将
化为以
为底的指数幂的形式，再借助
的单调性求解．
（3）形如
的不等式，可借助图象求解．
5.（1）研究
型函数的单调区间时，要注意
还是
.
当
时，
与
的单调性相同.
当
时，
与
的单调性相反.
（2）研究
型函数的单调区间时，要注意
属于
的增区间还是减区间.
互动探究·关键能力
探究点一
指数函数的图象
精讲精练
例
（1）函数
且
的图象可能是(
)
A.B.
C.D.
（2）已知
，则指数函数①
，②
的图象为(
)
A.B.
C.D.
答案：（1）
（2）
解析：
（1）当
时，
，故函数
的图象过定点(1,0)，结合图象可知选C.
（2）因为
，所以
与
都是减函数，故排除A、B.作直线
与两个曲线相交，交点在下面的是函数
的图象，故选C.
解题感悟
1.底数对函数
，且
图象的影响如图所示（
）.在第一象限中具有“底大图高”的特征.
⒉指数函数的图象的变换
（1）平移规律:设
，
①
的图象
的图象；
②
的图象
的图象；
③
的图象
的图象；
④
的图象
的图象；
（2）对称规律
，且
的图象
与
的图象关于
轴对称
与
的图象关于
轴对称
与
的图象关于坐标原点对称
迁移应用
1.指数函数①
的图象如图所示，则
，
，
，
与1的大小关系为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
探究点二
指数函数的定义域和值域
精讲精练
例
求下列函数的定义域和值域：
（1）
（2）
.
答案：（1）由题意得，
，
，
函数的定义域为
.
函数的值域为.
（2）由题意得，函数的定义域为
.
函数的值域为
.
解题感悟
求函数
的定义域、值域的方法
（1）定义域：形如
形式的函数的定义域是使
有意义的
取值的集合．
（2）值域：①换元，令
;
②求
的定义域
;
③求
的值域
;
④利用
的单调性求
，
的值域．
提醒：（1）通过建立不等式组求定义域时，要注意解集为各不等式解集的交集.（2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.
迁移应用
1.求下列函数的定义域和值域：
（1）
（2）
.
答案：（1）要使函数有意义，则
即
因为函数
在
上是增函数，所以
.故函数
的定义域为
.
因为
所以
所以
，
即函数
的值域为
.
（2）由题意得，函数的定义域为
.
又
函数的值域为
探究点三
定点问题
精讲精练
例
函数
且
的图象恒过定点
且点
在幂函数
的图象上，则
.
答案：
27
解析：当
时，
，
函数
的图象恒过定点
.
又点
在幂函数
的图象上，
解得
.
解题感悟
指数函数
（
＞0，且
）的图象恒过定点(0,1)，即令指数等于0，求得的点
即为其图象恒过的定点.
迁移应用
1.已知函数
且
的图象恒过定点
，则定点
的坐标是
.
答案：(1,5)
解析：令
，故函数
的图象恒过定点
.即点
的坐标为(1,5).
评价检测·素养提升
1.若函数
的定义域是
，则
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2021天津和平一中高一期末）函数
与
且
的大致图象在同一平面直角坐标系中可能为(
)
A.B.
C.D.
答案：
3.函数
且
的图象过定点
.
答案：(0,-2)
4.函数
的图象一定过第
象限.
答案：
三、四
解析：
的图象与
的图象关于
轴对称，则一定过第三、四象限.
5.求下列函数的定义域和值域：
（1）
（2）
.
答案：
（1）由
得
，所以函数的定义域为
.
由
得
，
所以函数的值域为
.
（2）由
得
，所以函数的定义域为
.
由
，得
，
所以函数的值域为
.
素养演练
数学运算——利用换元法求函数的值域
1.求函数
的值域.
答案：令
则原函数可化为
因为函数
在
上是增函数，
所以
，即原函数的值域是
.
素养探究：求形如
且
的函数的值域一般用换元法，令
，将原问题转化为二次函数求值域的问题.换元时要注意新元的取值范围，过程中体现了数学运算的核心素养.
迁移应用
1.求函数
的值域.
答案：
令
则原函数可化为
因为函数
在
上是增函数，所以
，
故原函数的值域为
.
课时评价作业
基础达标练
1.函数
的图象是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2020四川成都实验外国语学校高一期中）当
时，函数
的值域是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（多选）在同一平面直角坐标系中，函数
与
且
的图象可能是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
4.（2021浙江嘉兴高一期末）函数
且
的图象恒过定点
.
答案：
(-1,3)
5.（2020广西桂林高一期中）函数
的定义域是
.
答案：
解析：
要使函数有意义，需满足
即
，解得
.
所以函数
的定义域是
.
6.已知函数
且
，且
，则
的值是
.
答案：
12
解析：
由
得
即
7.已知函数
的图象经过点
，其中
且
（1）求实数
的值;
（2）求函数
的值域.
答案：（1）因为函数
的图象过点
，所以
，则
.
（2）由（1）知
因为
，所以
，
因为
，所以
在
上单调递减，
所以
所以函数
的值域为
8.求下列函数的定义域、值域：
（1）
（2）
.
答案：（1）由题意得，函数的定义域为
.
，即函数的值域为(0,1).
（2）由题意得，函数的定义域为
.
当
即
时，
取得最小值
函数的值域为
.
素养提升练
9.（多选）已知函数
，定义域为
，值域为
，则下列说法中一定正确的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：
且
当
时，函数值
，故A中说法错误;
函数的定义域为
，故B中说法正确;
当函数取最小值1时，仅有
满足，
，故C中说法正确;
当函数取最大值2时，仅有
满足，
，故D中说法正确.故选BCD.
10.（多选）（2020浙江宁波北仑中学高一期中）定义在
上的奇函数
和偶函数
满足
，下列结论中正确的有(
)
A.
且
B.
总有
C.
，总有
D.
使得
答案：
;
;
解析：
函数
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，且满足
，
即
，与
联立，
可得
故
，故A中结论正确;
，故B中结论正确;
故C中结论正确;
，故D中结论错误.
故选ABC.
11.（2021浙江绍兴高一期末）已知
是定义在
上的奇函数，当
]时，函数
，函数
.如果对于任意
，存在
，使得
，那么实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：当
时，
，
因为
是定义在
上的奇函数，
所以
，当
时，
，记
.
，其图象的对称轴为直线
，故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
即当
时，
，
记
.
对于任意
，存在
，使得
等价于
，
所以
解得
.故选A.
12.函数
的最小值为
.
答案：
-4
解析：
，
令
则
易知
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数取得最小值，且最小值为-4.
13.设函数
，若函数在
上有意义，则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：
设
则原函数在
上有意义等价于
在
上恒成立，
.设
则
，
，即
的取值范围是
.
创新拓展练
14.（2020湖南临澧第一中学高一期中）已知函数
为偶函数.
（1）求
的值及函数
的最小值;
（2）设
，当
时，
，求实数
的取值范围.
答案：（1）因为函数
为偶函数，所以
恒成立，即
恒成立，
即
恒成立，
解得
，
所以
令
，由对勾函数的性质得，
（当且仅当
时，等号成立），
所以函数
的最小值为0.
（2）由（1）得，
，
因为当
时，
，
所以
恒成立，
即
恒成立，
令
因为
在
上单调递增，
所以
，
所以
，即
，
所以
的取值范围是
.
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