4.2.2 指数函数的图象和性质 第2课时 指数函数的性质及应用 教案（含答案）

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第四章
指数函数与对数函数
4.2
指数函数
4.2.2
指数函数的图象和性质
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
2.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式.
逻辑推理——能根据指数函数的图象说明指数函数的性质，并解决实际问题.
第2课时
指数函数的性质及应用
互动探究·关键能力
探究点一
指数式大小的比较
精讲精练
例
比较下列各组数的大小：
（1）
和
（2）
和
（3）
和
（4）
与
且
答案：（1）
可看作函数
的两个函数值，
因为底数1.5＞1，所以函数
在
上是增函数.
因为2.5＜3.2，所以
.
（2）
可看作函数
的两个函数值，
因为函数
在
上是减函数，且-1.2＞-1.5，所以
.
（3）
，
.
（4）当
时，
在
上是增函数，故
当
时，
在
上是减函数，故
.
解题感悟
比较指数式大小的三种类型及求解方法
迁移应用
1.（2020辽宁沈阳二中高一期中）设
，则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.比较下列各组中两个值的大小：
（1）
（2）
（3）
.
答案：（1）
，
在
上是增函数.
，
.
（2）
，
在
上，
的图象位于
的图象的上方.
又0.3＞0，
.
（3）
.
探究点二
解指数型不等式
精讲精练
例
（1）解不等式
（2）已知
且
，求
的取值范围.
答案：（1）
原不等式可以转化为
.
在
上是减函数，
，解得
，
故原不等式的解集是
.
（2）①当
时，函数
且
在
上是减函数，
解得
或
;
②当
时，函数
且
在
上是增函数，
解得
.综上，当
时，
或
；
当
时，
.
解题感悟
1.利用指数函数的单调性解不等式时，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
2.解不等式
，且
）的依据是指数型函数的单调性，要先判断底数的取值范围，若底数不确定，则需进行分类讨论，即
迁移应用
1.不等式
的解集是
.
答案：
2.设
，则关于
的不等式
的解集是
.
答案：
解析：
因为
，
所以
在
上是减函数.
所以
，解得
.
所以不等式的解集是
.
探究点三
指数型函数的单调性及最值
精讲精练
例
（1）若函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
（2）判断
的单调性，并求最值.
答案：（1）
解析：（1）因为底数
，所以函数
的单调性与
的单调性相同.因为函数
在
上是减函数，所以
在
上是减函数，所以
，解得
，则实数
的取值范围是
.故选A.
答案：（2）令
，则原函数变为
在
上单调递减，在
上单调递增，且
在
上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，原函数的最大值为3，无最小值.
解题感悟
1.指数型函数
且
的单调性由两点决定：一是底数；二是
的单调性，它由两个函数
，
复合而成.
2.求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成
，
，通过
和
的单调性求出
的单调性.
迁移应用
1.（2020河北唐山一中高一期中）函数
的单调递增区间为(
)
A.（
B.
）
C.
D.
答案：
解析：令
，可得
或
，
所以函数的定义域为
.
因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
在
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间为
.故选A.
评价检测·素养提升
1.（2020贵州毕节实验高级中学高一期中）设
则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.若
则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.函数
的单调递增区间是
.
答案：
解析：因为函数
是由函数
与
复合而成，
且
的单调递减区间为
在
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间为
.
4.若函数
则不等式
的解集为
.
答案：
解析：当
时，由
，得
，解得
.
当
时，不等式
明显不成立.
综上，不等式的解集是
.
5.若
且
求
的取值范围.
答案：因为
所以
当
时，
为增函数，则
，解得
；
当
时，
为减函数，则
，解得
.
综上，当
时，
的取值范围为
；当
时，
的取值范围为
.
课时评价作业
基础达标练
1.已知
则
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2020山西太原高一期中）已知函数
，则函数
的值域是(
)
A.
B.
C.
）D.
答案：
3.（多选）（2021浙江温州高一期末）已知实数
满足等式
，则下列关系式中，可能成立的关系式有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
4.已知
且
，当
时，恒有
，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
5.关于
的不等式
的解集为
.
答案：
6.比较下列各组中两个值的大小；
（1）
（2）
.
答案：（1）
与
可看作函数
的两个函数值.
因为底数0＜0.5＜1，所以函数
在
上单调递减.
因为-1.3＞-1.4，所以
.
（2）因为
所以
.
7.已知函数
且
（1）讨论
的单调性；
（2）若
恒成立，求实数
的取值范围.
答案：（1）
且
则
当
时，
当
时，
在
上单调递增，
同理，当
时，
在
上单调递减.
（2）由
恒成立，得
.即实数
的取值范围是
.
素养提升练
8.已知函数
.当
时，
取得最小值
，则函数
的图象可能是(
)
A.B.
C.D.
答案：
解析：函数
，
令
，则
.
所以
，当且仅当
时，等号成立.
故当
时，
取得最小值，则
.
故
其图象是由
的图象向左平移一个单位长度得到的，故选项A中图象符合.
9.把
从小到大排列为
.
答案：
解析：根据幂的特征，可将4个数分类：
①负数：
；②大于1的数：
③大于0且小于1的数：
.
因为
所以
.
10.（2021浙江舟山高一期末）已知函数
.
（1）若
，求
的单调区间；
（2）若
的最大值为3，求实数
的值；
（3）若
的值域是
，求实数
的值.
答案：（1）当
时，
令
，
易知
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
在
上为减函数，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
即函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.
（2）令
则
因为
的最大值为3，所以
的最小值为-1，
当
时，
，无最大值；
当
时，有
解得
.
综上，当
的最大值为3时，实数
的值为1.
（3）若要使
的值域为
则需
的值域为
.
当
时，
，值域为
，符合题意；
当
时，
为二次函数，其值域不为
，不符合题意.
综上，当
的值域是
时，实数
的值为0.
创新拓展练
11.函数
若关于
的方程
有五个不同的实数解，求实数
的取值范围.
解析：命题分析
本题考查函数的图象与一元二次方程根的分布，采用数形结合的方法解题.
答题要领
方程
有五个不同的实数解，即要求
等于某个常数有3个不同的实数解，根据题意，先画出函数
的图象，结合图象可知，只有当
时，有3个根，再结合方程
有2个不等实根，可求
的取值范围.
答案：详细解析
有五个不同的实数解，
等于某个常数有三个不同的实数解，
根据题意作出
的简图，如图所示.
由图可知，只有当
时，才有三个根.
.
再根据
有两个不等实根，
令
，则方程
有两个不等实根，
解得
且
.
故a的取值范围是
.
方法感悟
复合函数零点问题的特点：在解决关于
的方程
根的个数问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于
的方程，观察有几个
的值使得等式成立；第二层是结合第一层
的值求出每一个
被几个
对应，将
的个数汇总后即为
的根的个数.关键在于“抽丝剥茧”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数的图象，利用图象解决.
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