4.3.2 对数的运算 教案（含答案）

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第四章
指数函数与对数函数
4.3
对数
4.3.2
对数的运算
课标解读
课标要求
素养达标
1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.
2.能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数.
1数学运算－能利用对数的运算性质进行对数式的化简、求值.
自主学习·必备知识
要点一
对数的运算性质
自主思考
如果
，且
，
，
，那么
（1）
①
；
（2）
②
；
（3）
③
.
要点二
对数换底公式
（
且
，且
）.
自主思考
1.
正确吗？
答案：提示
不正确.
2.求式子
的值.
答案：提示原式
.
名师点睛
1.换底公式的应用技巧
（1）换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
（2）题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.
2.解对数综合应用问题的3个要点
（1）统一化：所求为对数式,条件转为对数式.
（2）选底数：针对具体问题,选择恰当的底数.
（3）会结合：学会换底公式与对数运算性质结合使用．
3.性质
与
的作用
（1）
的作用在于能把任意一个正实数转化为以
为底的指数形式.
（2）
的作用在于能把以
为底的对数转化为一个实数.
互动探究·关键能力
探究点一
对数运算性质的应用
精讲精练
例
求下列各式的值：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）原式
（2）原式
.
解题感悟
1.对数式的化简、求值的求解方式一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，同时要注意各部分变形时要化到最简形式.
2.化简同底的对数常用的方法：
（1）“收”，将两对数的和（差）收成积（商）的对数.
（2）“拆”，将两对数的积（商）拆成和（差）的对数.
迁移应用
1.（多选）下列计算正确的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
2.计算下列各式的值：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
.
探究点二
对数换底公式的应用
精讲精练
例
求下列各式的值：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）原式
（2）原式
.
解题感悟
1.在化简带有对数的表达式时,若对数的底不同，则需利用换底公式.
2.常用的公式：
，
等.
迁移应用
1.下列运算正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.求下列各式的值：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
探究点三
对数运算性质的综合应用
精讲精练
例（1）已知
，求
（用
表示）；
（2）若
，求
的值.
答案：（1）因为
，
所以
.
则
（2）由题意得
，
所以
，
即
，
所以
，
所以
.
由题意得
,所以
，
所以
.
解题感悟
对数等式中含有字母参数时,要注意隐含条件，如例题中应有
，
，
，
，由此可得
，得
，故xy＝-1应舍去.故当多个变量出现在同一个关系式中时,变量的取值范围会相互限制,因此应特别注意变量之间的相关性.
迁移应用
1.
在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度
（单位：
）和燃料的质量
（单位：
），火箭（除燃料外）的质量
（单位：
）满足
（
为自然对数的底数）当燃料的质量
为火箭（除燃料外）的质量
的2倍时，求火箭的最大速度.
答案：因为
，
所以
.
故当燃料的质量
为火箭（除燃料外）的质量
的2倍时,火箭的最大速度为
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.（多选）下列等式中不成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
2.方程
的解
.
答案：2
解析：由
，得
，
即
，整理得
.
解得
或
.
，
.
3.已知
，
是方程
的两根，则
的值是
.
答案：2
解析：由题意得，
，
，所以
.
4.（2020吉林长春高一月考）计算下列各式的值：
（1）
；
（2）设
，求
的值.
答案：（1）原式
.
（2）
，
，
.
素养演练
数学运算——利用恒等转化思想求值
1.
已知
，且
，求
的值.
答案：令
，
则
，
，
，
，
，
，
由
，得
，
，
，
，
.
素养探究：利用指数式与对数式之间的互化进行化简求值的过程，体现了数学运算的核心素养.
迁移应用
1.
已知
均为正数，
.
（1）求实数
的值；
（2）求证：
.
答案：（1）设
，则
，
，
.
由
，得
.
，
.
（2）证明：由（1）知
，
又
，
.
课时评价作业
基础达标练
1.
的值为(
)
A.2B.
C.1D.
答案：
2.（多选）（2020江苏江浦高级中学高一月考）下面给出的四个式子（式中
，且
，
，
，且
，
）中错误的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
3.设
，
，则
的值是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.
，则
的值为(
)
A.
B.4C.1D.
或1
答案：
解析：由对数的运算性质,得到
，整理得
，进而得到
，解得
，因为
，即
，所以
.
5.（多选）（2020辽宁朝阳第二高级中学高一月考）若
，
，则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：将指数式化为对数式，利用对数的运算性质，对每个选项进行逐一求解，即可选择.
6.
.
答案：1
7.已知
，则用
表示
.
答案：
8.已知
，且
，则
.
答案：
9.求下列各式的值：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
.
素养提升练
10.已知
均为正实数,若
，
，则
(
)
A.
或
B.
C.
D.2或
答案：
解析：令
，则
，
，即
，
解得
或
，
或
，
或
，
，代入得
或
，
，
或
，
，
或
.故选D.
11.（多选）（2020浙江杭州学军中学高一期中）已知
，则
满足的关系有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：由题意知，
，
，
，即
，
，
，故A、B正确；
，故C不正确；
，故D正确.
故选ABD.
12.（多选）（2020南京第十三中学高一期中）任何一个正整数
可以表示成
，此时，
.
真数
2
3
4
5
6
7
8
常用对数
（近似值）
0.301
0.477
0.602
0.699
0.778
0.845
0.903
下列结论中正确的有(
)
A.
是
位数
B.
是
位数
C.
是48位数
D.一个11位正整数的15次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5
答案：
;
;
解析：
，
由于10是两位数，所以
是
位数，故A中结论正确，B中结论不正确；
设
，则
，
所以
，所以
是48位数，故C中结论正确；
对于
，只需要说明
是不是一个11位正整数，
若
，则
，
则
，故
为一个11位正整数，故D中结论正确.
故选ACD.
13.（2021浙江宁波镇海中学高一期末）计算：
.
答案：
解析：
.
14.若
是方程
的两个实根,则
的值是
.
答案：12
解析：原方程可化为
.
设
，则方程可化为
，
.
是方程
的两个实根，
，
，
即
，
.
.
创新拓展练
15.（2020四川成都七中万达学校高一期中）设声强级
（单位：
）由公式
给出，其中
为声强（单位：
）.
（1）若航天飞机发射时的最大声强是
，求其声强级；
（2）若一般正常人听觉的声强级的取值范围为
,
(单位：
)，求其声强的取值范围.
答案：（1）由已知得,航天飞机发射时的最大声强是
，即
，
因为
，所以航天飞机发射时的声强级为
.
（2）由题意得
，所以
，化简得
，
所以
，所以其声强的取值范围为
.
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