4.4.1 对数函数的概念 教案（含答案）

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第四章
指数函数与对数函数
4.4
对数函数
4.4.1
对数函数的概念
课标解读
课标要求
素养要求
1.通过具体实例，理解对数函数的概念.
2.会求简单的对数型函数的定义域.
数学抽象——能通过具体实例领会对数函数的概念.
自主学习·必备知识
一般地，函数
（
，且
）叫做对数函数，其中①
是自变量，定义域是②
.
自主思考
1.函数
和
的底数分别是什么？
答案：提示
底数分别为
和10.
名师点睛
在对数函数中，自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记.当对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数.
互动探究·关键能力
探究点一
对数函数的概念
精讲精练
例（2020北京临川学校高一期中）若函数
是对数函数，则实数
的值是
.
答案：3
解析：由题意得
.
解题感悟
若一个函数是对数函数，则其必须是
（
，且
）的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量
.
迁移应用
1.已知下列函数：
①
；
②
；
③
；
④
（
，
是常数）.
其中一定为对数函数的是
（填序号）．
答案：③
解析：由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，
的系数为1，自变量是
，故③是对数函数；对于④，底数
，当
时，底数小于0，故④一定不是对数函数.
2.判断下列函数是不是对数函数.
（1）
；（2）
；（3）
.
答案：（1）符合对数函数的结构形式，是对数函数.
（2）自变量在底数的位置上，故不是对数函数.
（3）不符合对数函数的结构形式，故不是对数函数.
探究点二
对数型函数的定义域
精讲精练
例
函数
的定义域是
.
答案：
解析：
由题意得
解得
.
故函数
的定义域是
.
解题感悟
解决对数型函数的定义域问题时，除了要特别注意真数和底数，还要遵循前面学习过的求函数定义域的知识，比如函数解析式为分式（分母不能为0）、根式（根指数为偶数时，被开方数非负）等情形.
迁移应用
1.函数
的定义域为
.
答案：
解析：由题意得
，解得
，故函数
的定义域为
.
2.（2021浙江宁波高一期末）函数
的定义域为
.
答案：
解析：由题意得
解得
且
，
所以函数
的定义域为
.
探究点三
对数函数的实际应用
精讲精练
例
某工厂生产一种溶液，市场要求其杂质含量不超过
，若开始时溶液中含杂质
，每过滤一次可使杂质含量减少
，则至少应过滤
次才能达到市场要求.（已知
，
）
答案：8
解析：设过滤
次时达到市场要求.
由题意可得
，
即
，
，
.
故至少应过滤8次才能达到市场要求.
解题感悟
解决此类问题时，应根据条件建立数学模型，先利用指数式和对数式的互化转化为对数式，再根据对数的运算性质及所给的数据计算求值.
迁移应用
1.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限
约为
，而可观测宇宙中普通物质的原子总数
约为
，则下列各数中与
最接近的是（参考数据:
）(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题意得
，
，根据对数的运算性质有
，所以
，
所以
.故选
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.下列函数是对数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.若某对数函数的图象过点
，则该对数函数的解析式为
.
答案：
3.（2020浙江台州启超中学高一期中）函数
的定义域为
.
答案：
4.已知函数
则
.
答案：
解析：
，
，
.
素养演练
数学运算——求对数型函数的定义域
1.函数
的定义域为
.
答案：
解析：
由题意得
解得
，
所以函数
的定义域为
.
素养探究：已知函数解析式，求函数定义域的方法：
（1）有分式时：分母不为0；
（2）有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；
（3）有指数时：若指数为0，则底数一定不能为0；
（4）有根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时，根号下大于0；
（5）当函数为对数型函数时，只需满足真数大于0.
迁移应用
1.使
有意义的
的取值范围是
.
答案：
解析：由题意得
，解得
，则
的取值范围是
.
2.函数
的定义域为
.
答案：
解析：由题意得
解得
，则函数
的定义域为
.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）下列函数不是对数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
2.（2020吉林长春外国语学校高一月考）若
为对数函数，则
(
)
A.1B.2C.3D.4
答案：
3.（2021浙江温州高一期末）函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
）D.
）
答案：
5.函数
的定义域是
.
答案：
6.（2021辽宁沈阳高一期末）给定函数
，设集合
，
.若
，
，使得
成立，则称函数
具有性质
.给出下列三个函数：①
；②
；③
.其中，具有性质
的函数是
（填序号）.
答案：
①③
解析：对于①，
，
，显然
，
，使得
成立，即具有性质
；
对于②，
，
，当
时，不存在
，使得
成立，即不具有性质
；
对于③，
，
，显然
，
，使得
成立，即具有性质
.故具有性质
的函数是①③.
7.已知
为对数函数，且
，则
.
答案：
解析：设
（
，且
），则
，
，即
（负值舍去），
，
.
8.求下列函数的定义域.
（1）
；
（2）
.
答案：（1）由题意得
解得
或
，
所以函数的定义域为
.
（2）由题意得
解得
或
，
所以函数的定义域为
.
9.若函数
为定义在
上的奇函数，且当
时，
，求
的解析式.
答案：
为
上的奇函数，
.
又当
时，
，
，
素养提升练
10.函数
的定义域是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
11.（2020江西南昌师大附中高一期中）函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
]D.
答案：
解析：由题意得
解得
且
，所以函数
的定义域为
.故选
.
12.对于实数
，
，
，
，定义
.设函数
，则方程
的解为
.
答案：2
解析：
定义
，
，
由
解得
，
函数
的定义域为
.
若
，则
，即
，解得
（舍去）.
13.设函数
（
，且
），若
，则
的值是
.
答案：12
解析：
.
14.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为
，鲑鱼的耗氧量的单位数为
，研究中发现
与
成正比，且当
时，
.
（1）求出
关于
的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是
时耗氧量的单位数.
答案：（1）设
当
时，
，
，
，
关于
的函数解析式为
.
（2）令
，则
，解得
，即一条鲑鱼的游速是
时，耗氧量的单位数为2700.
创新拓展练
15.已知函数
.
（1）若定义域为
，求实数
的取值范围；
（2）若值域为
，求实数
的取值范围.
解析：命题分析
本题考查对数型函数的定义域和值域、二次函数的图象与性质等知识点，过程中体现了数学运算的核心素养.
（1）答题要领
函数
的定义域是使对数的真数有意义的
的取值范围，故函数定义域为
等价于真数的取值恒大于零，由此得出
时，方程
根的判别式小于0，从而求得实数
的取值范围．
（2）答题要领
函数
的值域为
，说明对数的真数取到所有的正数，由此可得
包含于真数对应的二次函数的值域，从而求得实数
的取值范围.
答案：（1）要使
的定义域为
，则对任意实数
都有
恒成立.
当
时，不符合题意；
当
时，由二次函数
的图象可知
解得
.
故实数
的取值范围为
.
（2）要使
的值域为
，则
的值域必须包含
.
当
时，显然成立；
当
时，二次函数
的图象必须与
轴相交且开口向上，
解得
或
.
综上，实数
的取值范围为
.
方法感悟
若函数
的定义域为
，则
在
上恒成立；若函数
的值域为
，则
，其中
为函数
的定义域.
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