4.4.2 对数函数的图象和性质 第1课时 对数函数的图象和性质 教案（含答案）

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第四章
指数函数与对数函数
4.4
对数函数
4.4.2
对数函数的图象和性质
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用描点法画出具体对数函数的图象.
2.知道对数函数
（
，且
）与指数函数
（
，且
）互为反函数.
3.通过学习对数型函数，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用.
1.数学运算——会求对数型函数的单调区间和值域.
2.逻辑推理——能掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题.
第1课时
对数函数的图象和性质
自主学习·必备知识
要点一
对数函数的图像与性质
底数互为①
倒数
的两个对数函数的图象关于
轴对称.
一般地，对数函数的图象和性质如表所示，
图象
定义域
值域
性质
过定点②
，即
时，
减函数
③
增函数
要点二
反函数
一般地，指数函数④
（
，且
）
与对数函数
（
，且
）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
自主思考
1.函数
与
的图象有什么关系？
答案：提示函数
与
的图象关于
轴对称.
2.对数函数图象的“上升”和“下降”与
有怎样的关系？
答案：提示
当
时，对数函数的图象“上升”；当
时，对数函数的图象“下降”.
3.若函数
的定义域是
，则它的反函数的值域是什么？
答案：提示
.
名师点睛
有关对数型函数图象问题的应用技巧
（1）求函数
（
，且
）的图象所过的定点坐标时，只需令
，求出
，即可得到定点坐标为
.
（2）给出函数解析式判断函数的图象时，应首先考虑函数对应哪种基本初等函数，其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等，最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法.
（3）根据对数函数的图象判断底数大小的方法：作直线
与所给的图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.
互动探究·关键能力
探究点一
对数函数单调性的应用
精讲精练
例1
若
在
上是增函数，则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：由题意得，
，解得
.
例2
比较下列各组值的大小：
（1）
与
；
（2）
与
；
答案：（1）因为
，
，所以
.
（2）
，
又对数函数
在
上是增函数，且
，
所以
，
所以
所以
.
解题感悟
比较对数式的大小时常用的方法
（1）同底数的对数式，直接利用对数函数的单调性.
（2）同真数的对数式，利用对数函数的图象或用换底公式转化.
（3）底数和真数都不同的对数式，找中间值.
（4）若底数为同一参数的对数式，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
迁移应用
1.已知函数
若
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：由题意得
解得
.
2.比较下列各组值的大小：
（1）
，
（2）
，
；
（3）
，
（4）
，
.
答案：（1）因为函数
在
上是减函数，且
，所以
.
（2）因为函数
在
上是增函数，且
，所以
.
（3）因为
，所以
，即
.
（4）因为
，
，所以
.
探究点二
对数型函数的图象
精讲精练
例
函数
的图象大致为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
函数
是偶函数，
的图象关于
轴对称，
当
时，
是增函数；
当
时，
是减函数，
又
函数
的图象过
，
两点，
结合选项可知选项
中的图象符合题意.
解题感悟
对数函数图象的特点
（1）底数大于1，图象呈上升趋势；底数大于0且小于1，图象呈下降趋势.
（2）在第一象限内，各图象对应的对数函数的底数顺时针增大.
迁移应用
1.对数函数
（
，且
）的图象如图所示，已知
分别取
，
，
，
，则与
，
，
，
相对应的
的值依次为(
)
A.
，
，
，
B.
，
，
，
C.
，
，
，
D.
，
，
，
答案：
2.已知函数
（
，为常数，其中
，且
的图象如图，则下列结论成立的是(
)
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
答案：
探究点三
定点问题
精讲精练
例
若
，且
，则函数
的图象恒过定点
.
答案：
解析：令
，得
，即
，此时
，所以
的图象恒过定点
.
解题感悟
对数函数
（
，且
）的图象恒过定点
，即
时，
，令真数等于1，求得的
即为定点.
迁移应用
1.函数
的图象一定经过点(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.已知函数
的图象过定点
，则
.
答案：
4
解析：
函数
的图象过定点
，
令
，解得
，
此时
，
函数
的图象过定点
，
，
，则
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.设
，
，
，其中
为自然对数的底数，则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
，
，
，
，故选
.
2.（2021浙江杭州高一期末）已知
，且
，则函数
与
的图象可能是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：当
时，函数
为减函数，且其图象过
点，函数
为减函数，且
，选项
中的图象符合；
当
时，函数
为增函数，且其图象过
点，
函数
为增函数，且
，选项中的图象都不符合.
故选
.
3.已知
在
，
上是减函数，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由选项知
，所以
为减函数，而当
时，
是增函数，所以当
时，
是减函数.由
，得
在
上恒成立，所以
，故实数
的取值范围是
.故选
.
4.函数
的图象必过定点
.
答案：
5.设
，
，
，则
，
，
的大小关系为
（用“
”连接）.
答案：
6.比较下列各题中两个值的大小：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
（
，且
）
答案：（1）因为
在
上是增函数，且
，所以
.
（2）因为
，
，
所以
.
（3）
，当
时，函数
在
上是增函数，有
；
当
时，函数
在
上是减函数，有
.
综上所得，当
时，
；当
时，
.
素养演练
直观想象——对反函数的理解和应用
1.（2021陕西宝鸡高一期末）若函数
是函数
（
，且
）的反函数，且
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题意得，
，
则
，
解得
，
因此，
.
2.（2021甘肃张掖第二中学高一月考）已知函数
与
互为反函数，并且函数
的图象与
的图象关于
轴对称，若
，则
的值是
.
答案：
解析：因为函数
与
互为反函数，
所以
，
则
，
所以
，
解得
.
素养探究：已知
与
互为反函数，则①函数
的定义域、值域是函数
的值域、定义域.②
的图象与
的图象关于直线
对称.③若
的图象经过点
，则
的图象经过点
.
迁移应用
1.（2021福建福州第一中学高一月考）已知函数
（
，
）的图象经过点
，则函数
的图象经过点(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为函数
与函数
互为反函数，
所以函数
的图象经过点
.
2.设
，若
的反函数的图象经过点
，则
(
)
A.7B.3C.1D.
答案：
解析：
的反函数的图象经过点
，
的图象经过点
，
，
解得
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021浙江杭州高一期末）设
，
，
，则实数
，
，
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（多选）已知函数
（
，
）的图象恒过点
，则下列函数的图象也过点
的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
3.函数
的图象大致为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.（2021江苏南通高一期末）已知函数
的图象恒过定点
，且函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
5.函数
（
，
）的图象恒过定点
，则点
的坐标为
；若
，则实数
.
答案：
;
6.（2020江西南昌师大附中高一期中）已知函数
是函数
（
，
）的反函数，且
，则
.
答案：
素养提升练
7.（多选）若实数
，
满足
，则下列关系中可能成立的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：当
时，
，即
，故
，
正确；
当
时，
，
，故
，
正确；
当
时，
，即
，故
，
正确；
当
时，
，故
，
错误.
故选
.
8.已知函数
若
的值域是
，则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：根据题意知
，由
的值域是
可作出图象，如图：
当
时，
，
由
，
，
，
可知
；
当
时，
，
由
，
，可知
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
9.已知函数
，
（
，且
）
（1）求函数
的定义域；
（2）判断函数
的奇偶性，并予以证明.
答案：
（1）要使函数
有意义，
必须有
解得
.
所以函数
的定义域是
.
（2）
是奇函数.证明：由（1）知函数
的定义域关于原点对称，
，
所以函数
是奇函数.
创新拓展练
10.设函数
且
.
（1）求
的解析式及定义域；
（2）求
的值域.
答案：（1）
，
，
.
且
，
应满足
的定义域为
.
（2）
，且
的定义域为
，
的值域为
.
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