4.4.2 对数函数的图象和性质 第2课时 对数函数的性质及应用 教案（含答案）

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第四章
指数函数与对数函数
4.4
对数函数
4.4.2
对数函数的图象和性质
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用描点法画出具体对数函数的图象.
2.知道对数函数
（
，且
）与指数函数
（
，且
）互为反函数.
3.通过学习对数型函数，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用.
1.数学运算——会求对数型函数的单调区间和值域.
2.逻辑推理——能掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题.
第2课时
对数函数的性质及应用
互动探究·关键能力
探究点一
对数型函数的单调性
精讲精练
例
（1）已知
，求
的取值范围；
（2）求函数
的单调递增区间.
答案：（1）
函数
在
上为减函数，
由
，
得
解得
，
的取值范围为
.
（2）要使函数有意义，则
，
解得
，
即函数的定义域为
.
令
，
.
在
上，
增大，
增大，
减小，
即在
上，
随
的增大而减小，为减函数；
在
上，
增大，
减小，
增大，
即在
上，
随
的增大而增大，为增函数.
综上，
的单调递增区间为
.
解题感悟
形如的函数
（
，且
）的单调区间的求法：
（1）先求
的解集（也就是函数
的定义域）.
（2）当
时，在
的前提下，
的单调增区间是
的单调增区间，
的单调减区间是
的单调减区间.
（3）当
时，在
的前提下，
的单调增区间是
的单调减区间，
的单调减区间是
的单调增区间.
迁移应用
1.解下列不等式：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）由题意可得
解得
，所以原不等式的解集为
.
（2）当
时，
原不等式等价于
解得
；
当
时，
原不等式等价于
解得
.
综上所述，当
时，原不等式的解集为
；当
时，原不等式的解集为
.
探究点二
对数型函数的值域
精讲精练
例函数
.
（1）当
时，求该函数的值域；
（2）若
对任意
恒成立，求
的取值范围.
答案：（1）
，
令
，当
时，
，
此时
，
易知当
时，
取得最小值
，当
时，
取得最大值1，
该函数的值域为
.
（2）令
，
，
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
对任意
恒成立，
令
，
，
易知
在
上单调递增，
，
，即
的取值范围为
.
解题感悟
求对数型函数的值域时，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解.一定要注意定义域对它的影响，当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化.
迁移应用
1.已知
，求函数
的值域.
答案：
.
令
，
，
，
则
.
易知当
时，
，当
时，
，
函数
的值域为
.
探究点三
对数型函数性质的综合应用
精讲精练
例
已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
.
（1）求
，
的值；
（2）求函数
的表达式；
（3）若
，求实数
的取值范围.
答案：（1）
，
.
（2）因为
在
上为奇函数，
所以
，
令
，则
，
所以
，
所以
（3）当
时，
，
令
，则
.
由于
是增函数，
是减函数，则
在
上是减函数，
因为
是奇函数，
且
，
所以
是
上的减函数.
由
，得
，
解得
，
即实数
的取值范围是
.
解题感悟
对数型函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提.
迁移应用
1.已知函数
.
（1）若
为奇函数，求
的值；
（2）在（1）的条件下，若
在
上的值域为
，求
，
的值.
答案：（1）
为奇函数，
，
即
，
，
解得
（负值舍去）.
（2）由（1）知
，
则
，
即
或
解得
，
即其定义域为
.
当
时，
为减函数，
又
在其定义域内为增函数，
在其定义域内是减函数，则
.
由题意知
，
解得
，
即
，
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.函数
在
上的最大值是(
)
A.0B.1C.2D.
答案：
解析：
，
在
上是减函数，
.
故选
.
2.函数
的值域是
.
答案：
令
，则
，
所以
，
即函数
的值域是
.
3.（★）（2021浙江丽水高一期末）函数
的单调递增区间
.
答案：
解析：
是复合函数，可以写成
，
，
根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知，外层函数
是增函数，
所以只需求
在定义域内的单调递增区间.
由不等式
，解得
或
，
易知
在
上单调递增，
故函数
的单调递增区间为
.
4.求函数
的单调区间.
答案：由于方程
的判别式
，
在
上恒成立，
令
，
当
时，
为减函数，
当
时，
为增函数，
易知
在定义域内单调递减，
函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
素养演练
逻辑推理——利用对数函数的性质求参数
1.已知函数
.
（1）若函数的定义域为
，求实数
的取值范围；
（2）若函数的值域为
，求实数
的取值范围.
答案：（1）若
的定义域为
，
则关于
的不等式
的解集为
，
结合二次函数的图象（图略）可得
解得
.
故实数
的取值范围是
.
（2）若函数
的值域为
，则
可取遍所有正实数，结合函数图象（图略）可得
或
解得
.
故实数
的取值范围是
.
素养探究：对数型函数的定义域为
的问题，多转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，在解题时，当最高次项的系数带字母时，需进行分类讨论.
迁移应用
1.若函数
的定义域为
，求实数
的取值范围.
答案：当
时，
，符合题意；
当
时，由题意得
解得
.
综上，
的取值范围是
.
课时评价作业
基础达标练
1.设函数
，则使得
成立的
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（多选）下列关于函数
的说法错误的是(
)
A.函数的定义域是
B.函数的值域是
C.函数在定义域上单调递增
D.函数在定义域上单调递减
答案：
;
;
3.（2020陕西宝鸡高一期中）若
，则
，
满足的条件是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.（多选）（2020重庆江津中学高一月考）关于函数
，下列说法正确的是(
)
A.定义域为
B.定义域为
C.值域为
D.递增区间为
答案：
;
;
5.（2021四川成都高一月考）已知函数
，则该函数的单调递减区间是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
6.（2021甘肃高一期末）定义在
上的奇函数
，当
时，
，则不等式
的解集是
.
答案：
7.（2021安徽池州一中高一月考）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
.
答案：
8.（2021浙江高一期末）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围为
.
答案：
9.已知函数
.
（1）求函数
的定义域并证明该函数是奇函数；
（2）若当
时，
，求函数
的值域.
答案：
（1）由题意得
，解得
或
，
即函数
的定义域为
，且定义域关于原点对称，
因为
，
所以函数
为奇函数.
（2）由题意得，
，
当
时，
，函数
是增函数，
故当
时，
，即函数
的值域为
.
10.（2020福建三明高一期中）设函数
.
（1）求函数
的定义域；
（2）若
，求函数
在区间
上的最大值；
（3）解不等式
.
答案：（1）由题意得
解得
，所以函数
的定义域为
.
（2）因为
，所以
，所以
.
则
，
所以当
时，
是增函数；当
时，
是减函数，
故函数
在
上的最大值是
.
（3）当
时，
解得
不等式的解集为
；
当
时，
解得
不等式的解集为
.综上所述，当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
素养提升练
11.（多选）下列函数中值域为
的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：
选项，令
，则由对数函数的性质可得
的值域为
，即
的值域为
，故
满足题意；
选项，由
得
，解得
.令
，则
，根据对数函数的性质可得
的值域为
，则
的值域为
，故
满足题意；
选项，令
，所以
，即函数
的值域为
，故
不满足题意；
选项，令
，则
，根据对数函数的性质可得
的值域为
，即
的值域为
，故
满足题意.
故选
.
12.（多选）已知函数
，则(
)
A.当
时，
的定义域为
B.
一定存在最小值
C.
的图象关于直线
对称
D.当
时，
的值域为
答案：
;
解析：当
时，方程
的判别式
，则方程
有两个不等根，故函数
的定义域应该在两根之外，即其定义域不为
，
错误；
若
，则
的定义域为
，值域为
，没有最小值，
错误；
由于函数
为偶函数，其图象关于
轴对称，将该函数的图象向左平移一个单位即可得到函数
的图象，此时对称轴为直线
，
正确；
当
时，方程
的判别式
，函数
的值域包含
，故函数
的值域为
，
正确.
故选
.
13.若函数
（
，
）在区间
内恒有
，则
的单调递增区间是
.
答案：
解析：易知
在
上单调递增，所以
，
又
在区间
内恒有
，所以
，则对数函数
在定义域内单调递增，
由
，解得
，即
的定义域为
，
因为
在
上递增，所以
的单调递增区间是
.
14.已知
，
，则
的最大值是
.
答案：13
解析：
，
函数
的定义域为
，
要使函数
有意义，
必须满足
，
.
.
当
，即
时，函数
取得最大值13.
创新拓展练
15.已知
，
，
.
（1）求函数
的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
（2）当
的定义域为
时，解不等式
；
（3）若
恰在
上取负值，求
的值.
解析：命题分析
本题考查对数型函数的奇偶性和单调性，函数不等式的解法，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
（1）答题要领
通过换元法令
，则
，即得解析式；利用奇偶性定义即得函数是奇函数；讨论
和
两种情况，根据指数函数的单调性判断该函数的单调性即可.
（2）答题要领
利用奇偶性、单调性和定义域得到
，
满足的关系式，解不等式即可.
（3）答题要领
根据
恰在
上取负值，得出
，代入求参数
的值即可.
答案：（1）详细解析
令
，则
，
故
所以
.
又
，所以
是奇函数.
当
时，
是增函数，
是减函数，故
是增函数，而
，故
在
上是增函数；
当
时，
是减函数，
是增函数，故
是减函数，而
，故
在
上是增函数.
综上，
在
上是增函数.
（2）详细解析
由（1）可知，
等价于
，再根据函数的单调性可得
解得
，
所以不等式的解集是
.
（3）详细解析
依题意
恰在
上取负值，结合单调性知，当
时，
，即
，化简得
，解得
.
方法感悟
利用奇偶性和单调性解不等式时，移项将不等式化成
的形式，结合
的单调性，脱去“
”，即得到式子
与
的关系，再结合定义域解不等式即可.
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