4.4.3 不同函数增长的差异 教案（含答案）

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第四章
指数函数与对数函数
4.4
对数函数
4.4.3
不同函数增长的差异
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
2.会分析具体的实际问题,通过建模解决实际问题.
1.逻辑推理——能从几类特殊函数中分析出一般函数的增长特点.
2.数学建模——能通过比较几种不同类型的函数模型的增长特点进行决策,进而解决实际问题.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
要点一
指数函数与一次函数增长的差异
一般的，指数函数
与一次函数
，即使
的值远远大于
的值，
的①
增长速度
最终都会大大超过
的②
增长速度
.
要点二
对数函数与一次函数增长的差异
一般的，虽然对数函数
与一次函数
在区间
上都单调③
递增
，但它们的④
增长速度
不同.随着
的增大，一次函数
保持⑤
固定
的增长速度，而对数函数
的增长速度⑥
越来越慢
.无论
的值比
的值大多少，在一定范围内，
可能会⑦
大于
，但由于
的增长最终会⑧
慢于
的增长，因此总会存在一个
，当
时，恒有⑨
.
自主思考
1.对于任意的
，都有
（
,且
），该说法是否正确？
答案：提示
错误。
名师点睛
指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地，在区间
上，尽管函数
和
都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.
随着
的增大，
的增长速度越来越快，会超过并远远大于
的增长速度，而
的增长速度则会越来越慢.
因此，总会存在一个
，使得当
时，恒有
互动探究·关键能力
探究点一
几种函数模型增长的差异
精讲精练
例
甲、乙、丙、丁四人同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程
关于时间
的函数关系式分别为
，有以下结论：
①当
时，甲走在最前面;
②当
时，乙走在最前面;
③当
时，丁走在最前面，当
时，丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面;
⑤如果他们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．
其中正确结论的序号为
.
答案：
③④⑤
解析：
在同一平面直角坐标系中作出这四个函数的图象（图略），易得
①错误：因为
所以
，所以当
时，乙在甲的前面.
②错误：因为
所以
，所以当
时，甲在乙的前面.
③正确：当
时，
的图象在
图象的下方，
的图象在
图象的上方，即丁走在最前面;当
时，
的图象在最下方，即丁走在最后面.
④正确：当
时，丙在甲、乙前面，在丁后面;当
时，丙在丁前面，在甲、乙后面;当
时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.
⑤正确：当x充分大时，指数函数的增长速度越来越快
的图象必定在
图象的上方，所以最终走在最前面的是甲．
综上，正确结论的序号为③④⑤.
解题感悟
常见的函数模型及增长特点
（1）一次函数模型：
一次函数模型
的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
（2）指数函数模型：
指数函数模型
的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，被称为“指数爆炸”．
（3）对数函数模型：
对数函数模型
的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
迁移应用
1.下列函数中，增长速度越来越慢的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.四个变量
随变量
变化的情况如下表：
1
5
10
15
20
25
30
2
26
101
226
401
626
901
2
32
1024
32768
2
10
20
30
40
50
60
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
其中，关于
呈指数函数变化的变量是
.
答案：
解析：以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.
探究点二
不同函数模型的图象及其应用
精讲精练
例
函数
和
的图象如图所示．设两个函数的图象交于点
,且
.
（1）请指出图中曲线
分别对应的函数;
（2）结合函数图象，判断
的大小．
答案：（1）当
充分大时，位于上方的图象对应的函数是指数函数
，另一个函数就是幂函数
，
曲线
对应的函数为
，曲线
对应的函数为
.
（2）
，
.
从图象上可以看出，当
时
.
当
时，
.又
，
.
解题感悟
由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，图象增长速度不变的函数是一次函数．
迁移应用
1.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间
（小时）成正比，药物释放完毕后，
与
的函数关系式为
（
为常数），如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间
（小时）之间的函数关系式为
;
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过
小时后，学生才能回到教室．
答案：（1）
（2）0.6
解析：（1）由题图可知，当
时，
;当
时，由
，得
，则当
时，
.
故
（2）由题意可知，
，得
.即至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室.
评价检测·素养提升
1.下列函数中，随着
的增大，增长速度最快的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.测得
的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型：甲：
，乙：
，若又测得
的一组对应值为（3，10.2），则应选用
（选填“甲”或“乙”）作为函数模型.
答案：
甲
3.函数
与函数
在区间
上增长速度较快的是
.
答案：
4.函数
的图象如图所示.
（1）指出曲线
分别对应哪一个函数;
（2）比较两函数增长速度的差异（以两图象交点为分界点，对
的大小进行比较）.
答案：（1）由函数图象特征及变化趋势，知曲线
对应的函数为
，曲线
对应的函数为
.
（2）当
时，
;当
时，
;当
时，
.
呈直线增长，其增长速度不变，
随着
的增大而逐渐增大，其增长速度越来越慢.
课时评价作业
基础达标练
1.某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值
万公顷关于年数
的函数关系式大致可以是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.今年小王用7200元买了一笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格会比去年降低
，则三年后这种笔记本的价格是(
)
A.
元B.
元
C.
元D.
元
答案：
3.向高为
的水瓶内注水，注满为止，如果注水量
与水深
的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(
)
A.B.C.D.
答案：
4.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量
与净化时间
（月）的近似函数关系：
且
的图象.有以下叙述：
①第4个月时，该种有害物质的残留量低于
;
②每月减少的有害物质的量都相等;
③若残留量为
时，其净化所经过的时间分别是
则
.
其中所有正确叙述的序号是
.
答案：
①③
素养提升练
5.以下四种说法中，正确的是(
)
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的
C.对任意的
D.不一定存在
当
时，总有
答案：
解析：对于
，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较．对于
，当
时，显然不成立．对于
，当
时，一定存在
，使得当
时，总有
，但若去掉限制条件“
”，则结论不成立．故选D.
6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长
，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据:
）(
)
A.2018B.2019C.2020D.2021
答案：
解析：设2015年后的第
年该公司投入的研发资金为
万元，则
.
由
，得
.
两边取对数，得
，
从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.故选B.
7.三个变量
随自变量
的变化情况如下表：
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
5
135
625
1715
3645
6655
5
29
245
2189
19685
177149
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中关于
呈对数型函数变化的变量是
，呈指数型函数变化的变量是
.
答案：
;
解析：根据三种模型的变化特点，观察题表中的数据可知，
随x的增大而迅速增大，故呈指数型函数变化，
随
的增大而增大，但变化缓慢，因此呈对数型函数变化.
8.某品牌汽车的月产能
（万辆）与月份
且
满足关系式
.现已知该品牌汽车2021年4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车2021年7月的产能为
万辆．
答案：
解析：
由已知得
解得
则
当
时
（万辆）.故该品牌汽车2021年7月的产量为1.875万辆.
创新拓展练
9.某国2017年至2020年国内生产总值（单位：万亿元）如表所示：
年份
2017
2018
2019
2020
（年份代码）
0
1
2
3
生产总值
（万亿元）
8.2067
8.9442
9.5933
10.2398
（1）画出函数的图象，猜想
与
之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式;
（2）利用得到的关系式求2018年和2019年的生产总值，且与表中的实际生产总值进行比较;
（3）利用关系式预测2034年该国的国内生产总值.
答案：（1）画出函数图象，如图所示．
从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为
．
把直线经过的两点（0，8.2067）和（3，10.2398）代入上式，解得
.
函数关系式为
.
（2）由得到的函数关系式计算出2018年和2019年的国内生产总值分别为
6777×1+8.2067=8.8844（万亿元），
6777×2+8.2067=9.5621（万亿元）．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
（3）2034年，即当
时，由（1）得
（万亿元），
即预测2034年该国的国内生产总值约为19.7276万亿元．
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