4.4对数函数 加练课4 复合函数的图象与性质 教案（含答案）

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第四章
指数函数与对数函数
4.4
对数函数
加练课4
复合函数的图象与性质
学习目标
1.会求复合函数的定义域.
2.掌握复合函数奇偶性的判定方法.
3.掌握复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.
4.掌握复合函数零点的求法及零点个数的判定.
自主检测·必备知识
一、概念辨析，判断正误
1.若
，则
(
√
)
2.函数
可分解为
和
(
√
)
3.函数
的定义域与函数
的值域相同.(
×
)
4.若函数
和
的单调性相反，则函数
在公共定义域内是减函数.(
√
)
二、夯实基础，自我检测
5.（2020陕西西安月考）已知
，则
的单调递增区间是(
)
A.
B.
C.
D.（-2，1）
答案：
6.已知函数
的定义域为
，
，则函数
的定义域为
.
答案：
7.设
为大于1的常数，函数
若关于
的方程
恰有三个不同的实数解，则实数
的取值范围是
.
答案：
互动探究·关键能力
探究点一
复合函数的定义域
精讲精练
例
（2020河北石家庄二中期中）已知函数
，则
的定义域是(
)
A.
）B.
）
C.
D.
）
答案：
解析：由题意可得
即
，
解得
，
即
的定义域为
.
令
，
解得
，
所以
的定义域为
.
故选A.
解题感悟
复合函数的定义域，就是复合函数
中
的取值范围.
①若
的定义域为[
，
]，则
的定义域应由
≤
≤
解出;
②若
的定义域为[
，
]，则
的定义域为
在[
，
]上的值域.
提醒：定义域永远都是
中
的取值范围.
迁移应用
1.若
的定义域为(0，
，则函数
的定义域是(
)
A.
B.
，1)
C.（0，1）D.
答案：
解析：由题意得
解得
.故函数
的定义域为（
，故选A.
探究点二
复合函数的单调性
精讲精练
例
已知函数
.
（1）若
的定义域、值域都是
，求
的值;
（2）当
时，讨论
在区间
上的值域.
答案：（1）
函数
的定义域为
，
恒成立，
方程
的判别式
，
解得
，
故a的取值范围为(-2,2).
函数的值域为
，
函数
能取遍所有的正实数，
方程
的判别式
，解得
或
，故a的取值范围为
.
若
的定义域、值域都是
，则
的取值范围应是这两个取值范围的交集，显然，它们的交集为
，故满足条件的a不存在.
（2）当
时，
.
①若
，则
在定义域内单调递减，故当
时，函数
取得最大值
，
当
时，函数取得最小值
，
故函数
的值域为
.
②若
，则函数
在
时没有意义，故
.
③若
，则
在区间
上没有单调性，故当
时，函数取得最大值
，
当
时，函数值趋于最小且不存在，故函数
的值域为
.
④若
，则
在区间
上没有单调性，当
时，函数取得最大值
，
当
时，函数值趋于最小且不存在，故函数
的值域为
解题感悟
求复合函数的单调性需要注意的点：（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域;（2）
，
单调性相同，则
为增函数;
，
单调性相异，则
为减函数，简称“同增异减”.
迁移应用
已知函数
，其中
.
（1）求函数
的定义域;
（2）判断函数
的单调性，并给予证明.
答案：（1）由题意得
解得
，故函数
的定义域为(-1,1).
（2）
是(-1,1)上的减函数.
证明：
，
设
则
易知
在区间(-1,1)上是增函数，
又
为减函数，
故
是(-1,1)上的减函数.
探究点三
复合函数的奇偶性
精讲精练
例
已知函数
.
（1）判断
的奇偶性;
（2）用定义法证明
是定义域内的增函数.
答案：（1）由题意得
解得
，即函数的定义域为(-3,3)，关于原点对称.
又
，
所以函数
为奇函数.
（2）证明：
，其定义域为(-3,3)，
,且
,
则
，
因为
，所以
故
则
即
则
是定义域内的增函数.
解题感悟
对于复合函数
，若
为偶函数，则
为偶函数;若
为奇函数，则
的奇偶性与
的奇偶性相同.其中
的定义域关于原点对称.
迁移应用
已知函数
.
（1）当
时，若
，求
的取值范围;
（2）设函数
，试判断
的奇偶性，并说明理由.
答案：（1）当
时，
，
若
，则
，所以
，解得
，故x的取值范围是
.
（2）
是偶函数.理由：根据题意得，函数
，
则
解得
，即函数的定义域为(-2,2)，关于原点对称.
因为
，所以函数
为偶函数.
探究点四
复合函数的零点
精讲精练
例
已知函数
若关于
的方程
有8个不等的实数根，则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.（1，2）D.
答案：
解析：函数
的图象如图所示，
令
，则方程
有8个不等的实数根等价于
在（1，2）上有2个不等的实数根，可得
解得
，所以
的取值范围是
.
解题感悟
复合函数零点问题的特点：考虑关于
的方程
根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于
的方程，观察有几个
的值使得等式成立;第二层是结合着第一层
的值求出每一个
被几个
对应，将
的个数汇总后即为
的根的个数.
迁移应用
1.已知函数
若关于
的方程
有三个不同的实根，则实数
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：作出函数
的图象，如图所示，
令
易知
的图象的对称轴方程为
，若原方程有3个不同的实根，则
在
内有且仅有1个根，由对称轴
可知，另外一个根在
内，即方程
在
内各有一个根，
解得
，即实数
的取值范围为
.故选A.
2.已知函数
则函数
的零点个数是
.
答案：
4
解析：由
得
，
设
，则
等价于
，
当
时，由
解得
;
当
时，由
解得
，
所以
或
.
当
时，由
解得
，由
解得
，故此时有两个零点;
当
时，由
解得
由
解得
，故此时有两个零点.
综上，函数
的零点个数为4.
评价检测·素养提升
1.已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.下列函数中，定义域为
的偶函数是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2021福建福州高一期末）已知函数
.
（1）求实数
及
的值;
（2）判断函数
的奇偶性并证明.
答案：（1）根据题意
，解得
，
则
所以
.
（2）函数
是奇函数.
证明：函数
的定义域为
，
且
故
为奇函数.
4.（2021吉林长春外国语学校高一月考）已知函数
.
（1）若
，求函数
的单调递增区间;
（2）若函数
的最小值是0，求实数
的值;
（3）若函数
的值域为
，求实数
的取值范围.
答案：（1）由
，得
，即
.
由
，解得
.
的定义域为(-1,3)，
令
，该函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为
，
在(-1,1)上是增函数，
又
在定义域内是增函数，
函数
的单调递增区间为(-1,1).
（2）
函数
有最小值0，
函数
有最小值1.
解得
.
（3）
函数
的值域为
,
函数
能够取到大于0的所有实数，
则
或
故
.
课时评价作业
基础达标练
1.已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
）D.
答案：
2.（2020贵州毕节实验高级中学高一期中）下列函数为奇函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2020陕西山阳校级月考）若
在
，
上是减函数，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.已知函数
则函数
的零点个数为(
)
A.3B.4C.5D.6
答案：
5.已知函数
.若关于
的方程
有8个不等的实数根，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
6.若函数
为
上的偶函数，则
.
答案：
1
解析：
函数
为
上的偶函数，
，
即
，
故
化简得
则
即
解得
.
7.已知点
在幂函数
的图象上，则函数
的单调递减区间是
.
答案：
8.已知奇函数
是
上的单调函数，若函数
只有一个零点，则实数
的值是
.
答案：
9.（2021江苏南京鼓楼高一期末）设
为正实数，且
，函数
.
（1）若
为偶函数，求
的值;
（2）若函数
的值域为
，求
的取值范围.
答案：（1）由题意得
，
若
为偶函数，则
，
即
，
则
解得
.
（2）根据题意，
，
设
若函数
的值域为
，则必有
，
因为
所以
当且仅当
时等号成立，即
的最小值为
，
则有
，解得
，
故a的取值范围为
.
10.已知函数
.
（1）求
的定义域;
（2）解关于
的不等式
.
答案：（1）根据题意,必有
且
,解得
,
所以
的定义域为(-3,3).
（2）根据题意得,
.
设
,则
,
当
时,
为减函数,
因为
为增函数,所以
在(-3,3)上为减函数,
又
在(-3,3)上为减函数,
所以
在(-3,3)上为减函数,
解得
,即不等式的解集为
.
素养提升练
11.已知函数
的定义域为（
,则函数
的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：令
,由对勾函数的性质可知,当
时,
取得最小值2;当
时,
取得最大值
.故
,即
的定义域为
.
令
,解得
.故函数
的定义域为
.故选C.
12.定义在
上的单调函数
满足：
,则方程
的解所在的区间是(
)
A.
B.
C.（1,2）D.（2,3）
答案：
解析：因为
,且函数
在
上为单调函数,所以
必为定值.设
,则
,又因为
,所以
,解得
,所以
.所以方程
即
所以
解得
,故选A.
13.若函数
在（1,3）上单调递减,则函数
的增区间是
.
答案：
解析：设
,易知
在（1,3）上单调递增,
函数
在（1,3）上单调递减,
在（1,3）上单调递减,可得
,
函数
的增区间就是
的减区间,
令
,解得
或
,
函数
的增区间是
.
14.已知函数
函数
,其中
,若函数
恰有4个零点,则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：
由
得
即
,所以
恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解,即直线
与函数
的图象有4个公共点,由图象（图略）可知
.故实数b的取值范围是
.
创新拓展练
15.已知函数
.
（1）判断函数
的奇偶性并证明;
（2）若函数
在区间
上单调递减,且值域为
,求实数
的取值范围.
答案：（1）
为奇函数.
证明：由题意得
,解得
或
,
即函数
的定义域为
,关于原点对称,
又
,
所以函数
为奇函数.
（2）根据题意,设
易知在区间
上,
为增函数,若函数
在区间
上单调递减,
则
在
上单调递减,故
.
若函数
的值域为
,
则
即
则
为方程
的两个不等的实数根,且
,
设
则有
解得
,即实数
的取值范围是
.
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