华师大版数学九年级上册23.3.2 第2课时 利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 华师大版数学九年级上册23.3.2 第2课时 利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似 学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 306.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-10 20:20:11 | ||
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文档简介
23.3
相似三角形
2
相似三角形的判定
第2课时
利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似
学习目标：
理解判定定理2,3的意义.（重点）
会运用相似三角形的判定定理2，3解决问题.（难点）
自主学习
一、新知预习
1.如图1，画出△ABC和△A'B'C'，使∠A'=∠A,=2.
比较∠C'、∠C（或∠B'、∠B）的大小；
答：______________________.
由比较的结果，能判定△ABC和△A'B'C'相似吗？
答：________.
【猜想】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形_______.
图1
图2
2.如图2，在半透明的纸上画一个△ABC，使AB=1.5cm，AC=2.5cm，BC=2cm，再画一个△A'B'C',使得A'B'=3cm，A'C'=5cm，B'C'=4cm.
比较△ABC和△A'B'C'各个角，它们对应相等吗？这两个三角形相似吗？
答：_________________________________.
我们可以初步确定猜想：三边对应成比例的两个三角形________.
合作探究
一、探究过程
探究点1：利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似
【典例精析】
例1如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
【归纳总结】条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角.
【针对训练】
1.如图，D,E分别在△ABC的边AC,AB上，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长.
探究点2：利用三边的关系判定相似三角形
【典例精析】
例2已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.
【归纳总结】已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.
【针对训练】
2.如图，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由.
3.如图，在△ABC和△ADE中，==
，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
二、课堂小结
相似三角形的判定定理2
所需条件
图例
斜交型
图1中，∠A为公共角，若_____=_____,△ACB∽△AED.
图2中，∠A为公共角，若_____=_____,△ADC∽△ACB.
图3中，∠A为公共角，若_____=_____,△ACB∽△AED.
图4中，∠1和∠2为对顶角，若_____=_____,△ABE∽△DCE.
旋转型
如图，已知∠1=∠2，则∠_____=∠_____.若_______=_______,△ABC∽△A?B?C?.
相似三角形的判定定理3
三条边对应成比例的两个三角形相似.
当堂检测
已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下面哪一组时，这两个三角形相似（
）
A.2
cm,3
cm
B.4
cm,5
cm
C.5
cm,6
cm
D.6
cm,7
cm
2.如图，线段AC和BD相交于点O，且OA=12，OC=54，OB=18，OD=36，则△ABO与△DCO_________相似（填“一定”或“不”）.
第2题图
第3题图
3.如图，BD平分∠ABC,AB=4,BC=6,当BD=_______时，△ABD∽△DBC.
4.一个三角形三边长是3、5、7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其他两边之和是_______.
5.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？
参考答案
自主学习
一、新知预习
1.（1）∠C'=∠C（或∠B'=∠B）
（2）能
【猜想】相似
2.
△ABC和△A'B'C'的各个角对应相等.这两个三角形相似
相似
合作探究
一、探究过程
【典例精析】
例1
证明：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE.即∠DAE=∠BAC.∵AD=AE，AB=AC，∴，∴△ABC∽△ADE．
【针对训练】
1.解：∵AE=1.5，AC=2，∴，且∠EAD=∠CAB.∴△AED∽△ACB，∴,即，解得DE=．
【典例精析】
例2
解：△ABC与△DEF相似.理由如下：∵△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，∴，，
.即三角形的三组对应边的比相等，∴这两个三角形相似．
【针对训练】
解：相等，理由如下：∵AD=3，AE=6，DE=5，BD=15，CE=3，BC=15，
∴AC=AE+EC=9，AB=AD+BD=3+15=18.
∴,,,即.
∴△ADE∽△ACB.∴∠B=∠AED．
3.
解：∵在△ABC和△ADE中，
=
=
，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠CAE=∠BAD=20°．
二、课堂小结
B?AC?
BAC
当堂检测
1.C
2.一定
3.
4.24
5.解：设经过t
s时，△PBQ与△ABC相似.
（1）当＝时，△PBQ∽△ABC.此时＝，解得t＝4.
即经过4s后△PBQ与△ABC相似.
（2）当＝时，△PBQ∽△CBA.此时＝，解得t＝1.6.
即经过1.6s后△PBQ与△ABC相似.
综上可知，点P，Q同时出发，经过1.6s或4s时△PBQ与△ABC相似.
相似三角形
2
相似三角形的判定
第2课时
利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似
学习目标：
理解判定定理2,3的意义.（重点）
会运用相似三角形的判定定理2，3解决问题.（难点）
自主学习
一、新知预习
1.如图1，画出△ABC和△A'B'C'，使∠A'=∠A,=2.
比较∠C'、∠C（或∠B'、∠B）的大小；
答：______________________.
由比较的结果，能判定△ABC和△A'B'C'相似吗？
答：________.
【猜想】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形_______.
图1
图2
2.如图2，在半透明的纸上画一个△ABC，使AB=1.5cm，AC=2.5cm，BC=2cm，再画一个△A'B'C',使得A'B'=3cm，A'C'=5cm，B'C'=4cm.
比较△ABC和△A'B'C'各个角，它们对应相等吗？这两个三角形相似吗？
答：_________________________________.
我们可以初步确定猜想：三边对应成比例的两个三角形________.
合作探究
一、探究过程
探究点1：利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似
【典例精析】
例1如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
【归纳总结】条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角.
【针对训练】
1.如图，D,E分别在△ABC的边AC,AB上，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长.
探究点2：利用三边的关系判定相似三角形
【典例精析】
例2已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.
【归纳总结】已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.
【针对训练】
2.如图，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由.
3.如图，在△ABC和△ADE中，==
，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
二、课堂小结
相似三角形的判定定理2
所需条件
图例
斜交型
图1中，∠A为公共角，若_____=_____,△ACB∽△AED.
图2中，∠A为公共角，若_____=_____,△ADC∽△ACB.
图3中，∠A为公共角，若_____=_____,△ACB∽△AED.
图4中，∠1和∠2为对顶角，若_____=_____,△ABE∽△DCE.
旋转型
如图，已知∠1=∠2，则∠_____=∠_____.若_______=_______,△ABC∽△A?B?C?.
相似三角形的判定定理3
三条边对应成比例的两个三角形相似.
当堂检测
已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下面哪一组时，这两个三角形相似（
）
A.2
cm,3
cm
B.4
cm,5
cm
C.5
cm,6
cm
D.6
cm,7
cm
2.如图，线段AC和BD相交于点O，且OA=12，OC=54，OB=18，OD=36，则△ABO与△DCO_________相似（填“一定”或“不”）.
第2题图
第3题图
3.如图，BD平分∠ABC,AB=4,BC=6,当BD=_______时，△ABD∽△DBC.
4.一个三角形三边长是3、5、7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其他两边之和是_______.
5.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？
参考答案
自主学习
一、新知预习
1.（1）∠C'=∠C（或∠B'=∠B）
（2）能
【猜想】相似
2.
△ABC和△A'B'C'的各个角对应相等.这两个三角形相似
相似
合作探究
一、探究过程
【典例精析】
例1
证明：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE.即∠DAE=∠BAC.∵AD=AE，AB=AC，∴，∴△ABC∽△ADE．
【针对训练】
1.解：∵AE=1.5，AC=2，∴，且∠EAD=∠CAB.∴△AED∽△ACB，∴,即，解得DE=．
【典例精析】
例2
解：△ABC与△DEF相似.理由如下：∵△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，∴，，
.即三角形的三组对应边的比相等，∴这两个三角形相似．
【针对训练】
解：相等，理由如下：∵AD=3，AE=6，DE=5，BD=15，CE=3，BC=15，
∴AC=AE+EC=9，AB=AD+BD=3+15=18.
∴,,,即.
∴△ADE∽△ACB.∴∠B=∠AED．
3.
解：∵在△ABC和△ADE中，
=
=
，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠CAE=∠BAD=20°．
二、课堂小结
B?AC?
BAC
当堂检测
1.C
2.一定
3.
4.24
5.解：设经过t
s时，△PBQ与△ABC相似.
（1）当＝时，△PBQ∽△ABC.此时＝，解得t＝4.
即经过4s后△PBQ与△ABC相似.
（2）当＝时，△PBQ∽△CBA.此时＝，解得t＝1.6.
即经过1.6s后△PBQ与△ABC相似.
综上可知，点P，Q同时出发，经过1.6s或4s时△PBQ与△ABC相似.