华师大版数学九年级上册23.4中位线学案（含答案）

23.4
中位线
学习目标：
1．理解三角形中位线的概念与性质．（重点）
2．能够利用三角形中位线解决实际问题．（难点）
自主学习
一、新知预习
如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出他需要篱笆的长度吗？
合作探究
一、探究过程
探究点1：三角形的中位线及其性质
【典例精析】
例1
如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若DE=1.5，则BC的长是（　　）
A．3
B．4
C．2
D．1
图1
图2
【归纳总结】我们把连接三角形两边_____的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的_____．
【针对训练】1.如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）
?
A.8
B.10
C.12
D.14
【典例精析】
例2
如图3，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(　　)
A．80°
B．90°
C．100°
D．110°
图3
图4
【针对训练】
2.如图4，△ABC中，AB=AC，
AD平分∠BAC，
DE∥AC交AB于E，
则S△EBD∶S△ABC=（　　）
A.1∶2
B.1∶4
C.1∶3
D.2∶3
【归纳总结】三角形中位线容易和其他知识联系在一起，如例2中中位线与平行线结合求角度问题；针对训练中中位线与相似结合，由中位线知相似比进而求面积比.中位线还可以结合更多知识一起考察，比如结合角平分线等等.
探究点2：三角形的重心
【探究活动】
如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G.
求证：.
【探究】如果在图中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与G′是重合的.于是，我们有以下结论：　
【归纳总结】三角形三条边上的_____交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的_____.
【针对训练】
3.如图，△ABC中，D是△ABC的重心，连接AD并延长，交BC于点E．若AD=8，则DE=（　　）
A．3
B．3.5
C．4
D.4.5
二、课堂小结
内容
描述
1.三角形中位线
连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的_______．
2.三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的______．
3.三角形的重心
三角形三条边上的_____交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.
当堂检测
1.如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若AD＝3，EF=1,则AB的长为(　
　)　　　　　　　　　　
A.2
B．4
C．8
D．12
第1题图
第2题图
2.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　）
A．点D
B．点E
C．点F
D．点G
3.如果△ABC的两边长分别为3和5，那么连接△ABC三边中点D、E、F所得的△DEF的周长可能是（　　）
A.3
B.4
C.5
D.6
4.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E
.求证：四边形DGFE是平行四边形．
?
参考答案
自主学习
一、新知预习
解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，∴.∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC.∴∠AEF=∠B,.∵EF=5米，∴BC=2EF=10米.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴BE=CF=BC=5米.∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25(米)．
合作探究
一、探究过程
【典例精析】
例1
A
【归纳总结】中点
一半
【针对训练】
1.
C
【典例精析】
例2
A
【针对训练】
2.B
【探究活动】
证明:
如图，连接ED.∵　D、E分别是边BC、AB的中点.
∴　DE∥AC，（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）.
∴△DEG∽△ACG.∴　.
∴　.
【归纳总结】中线
【针对训练】
3.C
二、课堂小结
中位线
一半
中线
当堂检测
1.C
2.A
3.D
4.证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，且DE=BC，同理，GF∥BC，且GF=BC，∴DE∥GF.又∵DE=GF，∴四边形DGFE是平行四边形．