华师大版数学九年级上册 24.2 直角三角形的性质 学案（含答案）

第24章
解直角三角形
24.2
解直角三角形的性质
学习目标：
1.掌握直角三角形的性质定理.
2.利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明（重、难点）.
自主学习
一、知识链接
1.回顾一下我们已经知道的直角三角形的性质有哪些？
2.直角三角形的边与边，角与角之间有什么关系？
合作探究
一、探究过程
探究点1：直角三角形斜边上的中线的性质
活动
如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.
问题
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想
直角三角形斜边上的中线等于斜边的________.
证一证
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
证明：延长BO至D,
使OD=BO,连接AD、DC.
∵AO=OC,
BO=OD，
∴四边形ABCD是____________.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是________，
∴AC_______BD，
∴BO=_____BD=_____AC.
【要点归纳】直角三角形的性质：直角三角形斜边上的_______等于斜边的________.
【典例精析】
例1
如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
方法总结:当已知条件中含有线段的中点、直角三角形的有关内容时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
【针对训练】
1.如图，在△ABC中,∠ABC
=
90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC
=_____cm;
(2)若BC=
5cm,AB
=
5cm,则AC
=_____cm,
BD
=_____cm.
探究点2：含30°角的直角三角形的性质
拼一拼：如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
填一填：
∠A=∠D=_______°∠BAE=__________°;
AB=DE△ABE是__________三角形2BC=BE=________.
证一证：
已知：如图，在Rt△ABC
中，∠C
=90°，∠A
=30°.
求证：BC=AB.
方法一：倍长法
【提示：延长BC至D，使CD=BC，连接AD】
证明：
方法二：截长法
【提示：在BA上截取BD=BC，连接EC】
证明：
【要点归纳】
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的_____.
方法总结:在证明线段之间的和差倍分关系时，倍长法与截长法是常用的两种作辅助线的方法.
【典例精析】
例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
例2题图
例3题图
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
例3如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A．3
B．2
C.1.5
D．1
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
例4
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
【针对训练】
2.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AB的长是(
)
A．2
cm
B．4
cm
C．6
cm
D．8
cm
3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h＝____
m.
二、课堂小结
内
容
直角三角形斜边中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的______.
含30°角的直角三角形的性质
应用的前提在直角三角形中，结论是30°角所对的直角边是斜边的______，而不是任意一直角边是斜边的一半．
当堂检测
1.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为
(
)
A.13
B.6
C.6.5
D.不能确定
2.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(
)
A．6米
B．9米
C．12米
D．15米
第2题图
第3题图
3.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(
)
A．300a元
B．150a元
C．450a元
D．225a元
4.如图，在△ABC
中，∠ACB
=90°，CD
是高，∠A
=30°，AB
=4．则BD
=
.
第4题图
第5题图
5.若等腰三角形的底角为15°，腰长为20.则腰上的高为
.
6.如图,在△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．
s
7.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，求AC的长．
.
拓展提升
8.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.直角三角形中：①两个锐角互余；②两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.
2.如图，在直角三角形ABC中，边与边的关系满足：a?+b?=c?；
角与角的关系满足：∠A+∠B=∠C=90°.
合作探究
一、探究过程
探究点1：
问题
Rt△ABC中，BO是Rt△ABC的中线.它的长度与斜边AC的一半.
猜想
一半
证一证
平行四边形
矩形
＝
中线
一半
【典例精析】
例1
（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE=AE=AB=×10=5，DF=AF=AC=×8=4，∴四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18.
（2）证明：∵DE=AE，DF=AF，∴EF垂直平分AD．
【针对训练】
1.（1）6
（2）10
5
探究点2
填一填：30
60
等边
AB
证一证
方法一
证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD．
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．在△ACB和△ACD中，∴△ACB≌△ACD（SAS）．∴AB=AD．∵∠BAC=30°,∴∠BAD=60°．∴△ABD为等边三角形.∴AB=AD=BD，∴BC=BD=AB．
方法二
证明：如图，在BA上截取BD=CD，连接CD.
∵∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°.又∵BD=CD,∴△BCD是等边三角形，∴BC=BD=CD.∴∠DCB=60°.∴∠DCA=90°-∠DCB=30°.∵∠A=30°,∴△ACD是等腰三角形,∴DC=DA.∴BC=BD=CD=DA.∴BC=AB．
【要点归纳】
一半
【典例精析】
例2
D
例3
C
例4
解：CD=DB．理由如下：∵DE⊥AB，
DE是∠ADB的平分线，∴△ADB是等腰三角形，且AD=BD，∠DAE=∠B.∵AD平分∠BAC,∠CAD=∠DAE,∴∠CAB+∠B=90°.∴∠CAD=∠B=∠D
AE=30°.在直角三角形ACD中，∠CAD=30°，∴CD=AD=BD，即CD=DB．
【针对训练】
2.D
3.4
二、课堂小结
一半
一半
当堂检测
1.C
2.B
3.B
4.1
5.10
6.6
7.解：连接AE.∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠B=∠BAE=15°，∴∠AEC=30°.
∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．
8.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠C=∠ABC=60°.∵AE=CD，∴EC=BD.∴△BEC≌△ADB（SAS），∴∠EBC=∠BAD.∵∠ABE+∠EBC=60°，则∠ABE+∠BAD=60°.∵∠BPQ是△ABP外角，∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ，又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．