华师大版数学九年级上册 24.4 第1课时 解直角三角形及其简单应用 学案（含答案）

第24章
解直角三角形
24.4解直角三角形
第1课时
解直角三角形及其简单应用
学习目标：
理解直角三角形中的五个元素之间的联系.
2.学会解直角三角形（重点）.
3.通过解直角三角形解决一些简单实际问题（难点）.
自主学习
一、新知预习
在直角三角形中，已知一条直角边和一个锐角，可求出另一条直角边.
在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素.那么在直角三角形中已知哪些元素能够求出其他元素？
三边之间的关系是：________________.
两锐角之间的关系是：__________________.
边角之间的关系是：
sin
A=______________;cos
A=______________;tan
A
=_____________.
由这五个元素的已知元素求其余未知元素的过程叫做____________.
合作探究
一、探究过程
探究点1：解直角三角形
【典例精析】
例1已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝－1，b＝3－，解这个直角三角形．
【归纳总结】在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数求解．
【针对训练】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=35,b=28,则tanA=　　　,tanB=　　　.?
2.在Rt△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝8，解这个直角三角形．
【典例精析】
例2如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向航行，在点A处测得岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．求货船在航行过程中离小岛C的最短距离.
【归纳总结】实际问题中先确定直角三角形，然后用已知量的三角函数求出未知量，代入数据即可求得．
【针对训练】
3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向上的A处，已知PA＝6海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离AB的长是（　　）
A．6海里
B．6cos55°海里
C．6sin55°海里
D．6tan55°海里
第3题图
第4题图
4.如图，沿AB方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，在AB上取一点C，使得∠ACD＝146°，CD＝500m，∠D＝56°．要使点A，C，E在同一条直线上，那么开挖点E离点D的距离是（　　）
A．500
m
B．500sin56°m
C．500cos56°m
D．500tan56°m
二、课堂小结
已知条件
内容
两边
两直角边(a,b)
由________可求∠A，则∠B=____，c=________
斜边，一直角边(c,a)
由________可求∠A，则∠B=____，b=________
一边一角
一直角边和一锐角
锐角，邻边(∠A,b)
∠B=____，a=b·______,c=______或c=______
锐角，对边(∠A,a)
∠B=____，b=a·______或b=a·______，c=______或c=______
锐角，斜边（∠A,c）
∠B=____，a=c·______,b=c·______
方位角问题
以观测者的位置为原点，由东西南北四个方向把平面划成四个象限，以正北或者正南方向为始边，先转到观测者方向的锐角称为方向角
图解
当堂检测
1.如图，AC是电杆AB的一根拉线，现测得BC＝6米，∠ABC＝90°，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（　　）
A．米
B．米
C．米
D．6?cos52°米
第1题图
第2题图
2.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=
，则AC=_____.
3.在Rt△ABC中，∠C
=
90°，sinA
=，则tanB的值为_____.
4.如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为_____m（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78,精确到0.1m）．
第4题图
第5题图
5.如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为　
　米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．
能力提升
7.如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离A处40海里的B处有一艘可疑船只正在向正东方向航行，海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C处成功拦截可疑船只．求∠ABC的度数和
海监执法船行驶的路程（即AC长）（结果精确到0.1海里，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414，≈2.449）.
参考答案
自主学习
一、新知预习
a?+b?=c?
∠A+∠B=∠C
解直角三角形
合作探究
一、探究过程
【典例精析】
例1
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝﹣1，b＝3﹣，∴tanA＝，c＝＝2﹣2.∴∠A＝30°，∠B=60°.
【针对训练】
1.
2.解：∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°.∵sinB＝sin30°＝＝，∴b＝×8＝4，∴a＝＝＝4.
【典例精析】
例2
解：作CE⊥AB交AB
的延长线于E，由题意得AB＝24×＝12，∠CBE＝60°，∠CAE＝30°，易得∠ACB＝30°，∴∠CAE＝∠ACB.∴BC＝AB＝12.在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，∴CE＝BC×sin∠CBE＝12×＝6（海里）.故货船在航行过程中离小岛C的最短距离为6海里．
【针对训练】
3.B
4.C
二、课堂小结
tanA=
90°-∠A
；
sinA=
90°-∠A
；
90°-∠A
tanA
；
90°-∠A
tan（90°-∠A）
；
90°-∠A
sinA
cosA
当堂检测
1.C
2.5
3.
4.8.1
5.
566
6.解：∵∠C＝90°，∠B＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∴BC＝AC.∵sinB＝，
∴AC＝10?sin45°＝5，∴BC＝5．
解：如图，过B作BD⊥AC.∵∠BAC＝75°﹣30°＝45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°.易得BD＝AD＝×40＝20（海里）.在Rt△BCD中，
∠C＝15°，∠CBD＝75°，∴tan∠CBD＝，即CD＝20×3.732≈105.5（海里），则AC＝AD+DC＝20+105.5≈133.8（海里），即我海监执法船在前往监视巡查的过程中约行驶133.8海里．