22.5.1《菱形的性质》课后练习2020-2021学年八年级数学冀教版下册（word版含解析）

22.5.1《菱形的性质》课后练习
一、单选题
1．下列命题中，是真命题的是（
）
A．若菱形ABCD的对角线的长分别为6，8，则该菱形的边长为10
B．若菱形ABCD的一个内角为60°，且其中一条对角线长为3，则该菱形的边长为3
C．若☉O经过菱形OABC的顶点A，B，C，则该菱形的一个内角为60°
D．若菱形ABCD的对角线相等，则∠ABC=60°或120°
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（
）
A．两组对边分别平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．两组对角分别相等
3．如图，菱形中，，于点E．则的度数为（　　）
A．25°
B．35°
C．40°
D．50°
4．如图，在菱形ABCD中，，，则的周长等于（
）
A．20
B．15
C．10
D．12
5．如图，有一块菱形纸片，沿高剪下后拼成一个矩形，若矩形相邻两边和的长分别是5和3，则的长是（
）
A．
B．1
C．2
D．
6．如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝12，BD＝16，则此菱形的边长为（　　）
A．10
B．8
C．6
D．5
7．如图，在菱形中，已知，，，，，求的长是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．96
B．48
C．24
D．6
9．如图，菱形的边长是5，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．12
D．24
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE=CB，连续AE．下列结论①AE=2OE；②；③四边形ADBE为平行四边形；④中，正确的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
11．如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE．若∠D＝70°，则∠AEF＝________．
12．在菱形ABCD中，∠BAD＝108°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的度数是_____．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝2，AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥CE交CE于点F，则OF的长度为__．
14．如图，在边长为13的菱形ABCD中，对角线BD＝24，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝__________________．
15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝6，M、N分别是BC，CD的中点，P是对角线BD上的一个动点，则△PMN周长的最小值为__．
16．如图，菱形的面积为20，于E，连结，交于F，连结，记的面积为．的面积为，则的值为_______．
17．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝8，AC＝10，那么菱形ABCD的面积为____．
18．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为_____．
19．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，CE＝DE，AE⊥CD，E为垂足，则AE2+BE2＝_____．
20．如图，菱形的边长为1,
．分别是上的动点，且,则的最小值为_______．
三、解答题
21．如图，在菱形中，点E，F分别在，上，连接，，且．求证：．
22．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上两点，AE＝AF．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若∠ECF＝60°，∠B＝80°，试问BC＝CE吗？请说明理由．
23．已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DEAC,AEBD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=4,tan∠ACB=，求四边形AODE的面积.
24．如图，在菱形中，分别是和上的点，且
（1）求证：
（2）若，求的度数．
25．如图，矩形的顶点分别在菱形的边上，顶点在菱形的对角线上．
（1）求证：；
（2）若为中点，，求菱形的周长；
26．如图，在菱形中，为对角线上一点，且，连接．
（1）求证：．
（2）当于点，时，求菱形的边长．
27．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求菱形的面积．
参考答案
1．C
解：A.
若菱形ABCD的对角线的长分别为6，8，根据勾股定理可知菱形的边长为5，故该选项错误；
B.
若菱形ABCD的一个内角为60°，且其中较长的对角线长为3，则该菱形的边长不为3，故该选项错误；
C.
若☉O经过菱形OABC的顶点A，B，C，则都是等边三角形，所以该菱形的一个内角为60°，故该选项正确；
D.
若菱形ABCD的对角线相等，菱形ABCD是正方形，则∠ABC=90°，故该选项错误；
2．B
解：A、是菱形的性质，是矩形的性质，故本选项不符合题意；
B、是矩形的性质，不是菱形的性质，故本选项符合题意；
C、是菱形的性质，不是矩形的性质，故本选项不符合题意；
D、矩形、菱形的对角都相等，故本选项不符合题意；
3．A
解：∵
∴
∵
∴
∵是菱形
∴
∴
∴
4．B
解：在菱形ABCD中，AB∥CD，
∵∠BCD=120°，
∴∠B=60°，
∵BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，
故可得△ABC的周长=3AB=15．
5．B
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB=5，
∵DE是高，
∴DE⊥AB，
在Rt△ADE中，，
∴=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
6．A
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=AC=×12=6，OB=BD=×16=8，AC⊥BD，
∴AB==10．
∴此菱形的边长为10．
7．D
解：如图，作FH⊥AB，垂足为H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，
∵DF＝1，
∴AF＝AD?FD＝2，
∵∠DAB＝60°，
∴∠AFH＝30°，
∴AH＝1，FH＝，
∵，
∴，
又∵∠EFG＝15°，
∴∠EFH＝∠AFG?∠AFH?∠EFG＝90°?30°?15°＝45°，
∴△FHE是等腰直角三角形，
∴HE＝FH＝，
∴AE＝AH＋HE＝1＋，
8．C
解：∵BD＝4，AC＝3BD，
∴AC＝12，
∴菱形ABCD的面积为AC×BD＝＝24．
9．A
解：连接、，如图所示：
菱形的边长是5，是两条对角线的交点，，
，，，，
，
，
菱形的面积，
是菱形两条对角线的交点，
阴影部分的面积菱形的面积；
10．D
解：四边形是菱形，
，，，
又，
，
四边形是平行四边形，故③正确，
，
，故①正确；
四边形是平行四边形，四边形是菱形，
，，
，即，故②正确；
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，故④正确；
11．30°．
解：在菱形ABCD中，CB=CD，∠B=∠D=70°，∠BCD=180°-∠D=110°，
根据折叠可得：∠ECB=∠ECF，CB=CF，
∴CF=CD
∴∠DCF=180°-70°-70°=40°，
∴∠ECF=（∠BCD-∠DCF）=35°，
∴∠BCF=2∠ECF=70°，
∴∠BEF=360°-∠B-∠BCF-∠EFC=360°-70°-70°-70°=150°，
∴∠AEF=180°-∠BEF=180°-150°=30°．
故答案为：30°．
12．18°．
解：如图，连接BN，
∵在菱形ABCD中，∠BAD＝108°，
∴AD＝AB，∠ABC＝72°，∠CAB＝54°，
∵AB的垂直平分线交AC于点N，
∴AN＝NB，
∴∠CAB＝∠ABN＝54°，
∴∠CBN＝72°﹣54°＝18°，
在△DCN和△BCN中，
，
∴△DCN≌△BCN（SAS），
∴∠CDN＝∠CBN＝18°，
13．
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
在中，，
，
，
，
又，即点是的中点，
是的中位线，
，
14．
解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，AB=AD=13，BD＝24，
∴
在Rt△ABG中，
∴
∵S△ABD=S△AOB+S△AOD，
∴
∴24×5=13×OE+13×OF，
∴；
15．7
解：如图，作ME⊥BD交AB于E，连接EN，与BD交于点，连接
当P与重合时，则EN就是PM+PN的最小值，
∵M、N分别是菱形ABCD的边BC、CD的中点，
∴CN＝BM＝CM，
∵ME⊥BD交AB于E，
∴BE＝BM，
∴BE＝CN，BE∥CN，
∴四边形BCNE是平行四边形，
∴EN＝BC＝AB＝4，
∴DN＝NC，CM＝BM，
∴
∴△PMN的周长的最小值为4+3＝7．
16．
解：由题知：四边形ABCD为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中：，
∵，，，
∴≌（SAS），
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
17．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=5，
在Rt△AOB中，BO=，
则BD=2BO=，
故=AC×BD=．
18．48．
解：连接AC、BD，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝10，OB＝OD＝BD＝6，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OA＝，
∴AC＝2OA＝16，
∴菱形ABCD的面积＝＝×16×12＝96，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝×96＝48；
19．40
解：连接AC，
∵在菱形ABCD中，AB＝4，
∴BC＝CD＝AB＝AD＝4，
∵CE＝DE，AE⊥CD，
∴CE＝DE＝AD＝2，∠AED＝90°，AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∴AE2＝AD2﹣DE2＝42﹣22＝12，
过E作EF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠EFC＝90°，∠ECF＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝1，
∴EF2＝CE2﹣CF2＝22﹣12＝3，
∴BE2＝BF2+EF2＝52+3＝28，
∴AE2+BE2＝40，
20．
过点C作于点G，使得，连接AG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
．
，
．
在和中
，
，
．
，
，
，
∴AE+AF的最小值为
，
21．证明见解析
证明：∵四边形是菱形，
∴，，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
22．（1）见解析；（2）BC＝CE，见解析
（1）证明：∵ABCD是菱形，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠B＝∠D，
∵AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AD﹣AF，
∴BE＝DF，
在△BCE与△DCF中，∵，
∴△BCE≌△DCF，
∴CE＝CF；
（2）结论是：BC＝CE．
理由如下：
∵ABCD是菱形，∠B＝80°，
∴∠A＝100°，
∵AE＝AF，
∴
由（1）知CE＝CF，∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，
∴∠CEB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴∠B＝∠CEB，
∴BC＝CE．
23．（1）证明见解析；（2）4
解：（1）∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴∠AOD=90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）∵tan∠ACB=，
∴∠OCB=60°，
∴cos∠OCB=cos60°=
，sin∠OCB=sin60°=，
∴OA=OC=2，OD=OB=2，
∴矩形AODE的面积为
．
24．（1）见解析；（2）25°
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，AB=CB，AD=DC，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=150°，
∵∠ADB∠ADC=75°，
∵∠CDF=50°，
∴∠EDB=∠ADB-∠ADE=∠ADB-∠CDF=25°．
25．（1）见解析；（2）菱形的周长
（1）证明：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，
，
（2）解：连接，
四边形是菱形，
，
为中点，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
菱形的周长．
26．（1）见解析；（2）
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠CDE，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CD，
又∵AE=DE，
∴；
（2）如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，BH=DH，AH=CH，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AE═ED=1，
∴∠DAE=∠EDA，
∴∠DAE=∠ADE=∠ABD，
∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD=180°，
∴∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，
∴BE=2AE=2，
∴BD=BE+DE=3，
∴BH=DH=，
∵∠ABD=30°，AH⊥BD，
∴AB=2AH，BH=
AH，
∴AH=，AB=2AH=，
∴菱形的边长为．
27．（1）四边形是矩形，证明详见解析；（2）96
解：（1）四边形是矩形，
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵菱形对角线交于点，
∴，即，
∴四边形是矩形；
（2）∵菱形，∴，
∵，∴根据勾股定理算出，
∴，∴，
∴菱形的面积．